Appunti Geometria

Definizione di matrice

Sia X un insieme e siano (m, n) una coppia di interi positivi, si dice matrice di tipo (m x n) con coefficienti in X una applicazione A: N_m x N_n → X.

Se m = n, allora la matrice si dice quadrata di ordine m.

Definizione di permutazione

Sia m un numero naturale, si dice permutazione o sostituzione su m oggetti ogni applicazione p: N_m → N_m.

Il numero delle permutazioni su m oggetti (per m ≥ 2) è m!

Definizione di coppia in inversione

Sia p ∈ G_m e I^m = {(i,j) ∈ N_m x N_m | i < j}. Una coppia (i, j) ∈ I^m si dice in inversione rispetto a p se p(i) > p(j).

Il numero di coppie in inversione rispetto a p sarà indicato con μ(p).

Definizione del segno della permutazione

Fissato un campo IK e una permutazione p ∈ G_m, si dice segno di p (in IK) l'elemento sign p = (-1)^μ(p) ∈ {-1, 1} ⊆ IK.

Definizione di determinante

Se A = (a_ij) ∈ M_m(K), si dice determinante di A, indicato come det A o |A|:

det A = ∑_{p ∈ Gm} sign p ⋅ a_{p a} ⋅ a_{p a} ⋅ ... ⋅ a_{m pm}

DEFINIZIONE DI MATRICE

Sia X un insieme e siano (m, n) una coppia di interi positivi, si dice matrice di tipo (m x n) con coefficienti in X una applicazione A: N_m x N_n → X.

Se m=n, allora la matrice si dice quadrata di ordine m.

DEFINIZIONE DI PERMUTAZIONE

Sia m un numero naturale, si dice permutazione o sostituzione su m oggetti ogni applicazione P: N_m → N_m.

Il numero delle permutazioni su m oggetti (per m > 2) è m!

DEFINIZIONE DI COPPIA IN INVERSIONE

Sia P ∈ G_m e I^m = {(i, j) ∈ N_m x N_m | i < j}. Una coppia (i, j) ∈ I^m si dice in inversione rispetto a P se P(i) > P(j).

Il numero di coppie in inversione rispetto a P sarà indicato con μ(P).

DEFINIZIONE DEL SEGNO DELLA PERMUTAZIONE

Fissato un campo K e una permutazione P ∈ G_m, si dice segno di P (in K) l'elemento sign P = (-1)^μ(P) ∈ {-1, 1} ⊆ K

DEFINIZIONE DI DETERMINANTE

Se A: (a_ij) ∈ M_m(K), si dice determinante di A, indicato come det A o |A|:

det A = ∑_{P ∈ Gm} sign P · a_P(1)¹ a_P(2)² ... a_P(m)^m

DEFINIZIONE DI SOTTOMATRICE

Data una matrice A=(a_ij)∈M_m×n(K) si dice sottomatrice di tipo (h×k) (con h≤m e k≤n) estratta da A ogni matrice avente per elementi gli elementi di A appartenenti contemporaneamente a h righe e k colonne entrambe fissate. ───────────────────────

DEFINIZIONE DI MINORE

Data una matrice A=(a_ij)∈M_m×n(K) si dice di minore (di ordine k con k≤min{m,n}) di A ogni sottomatrice di ordine (k) quadrata estratta da A .

Nel caso in cui A=(a_ij)∈M_m×n(K), si dice minore complementare algebrico dell'elemento a_ij, la matrice M_ij di ordine da A cancellandone la i-esima riga e la j-esima colonna. ───────────────────────

DEFINIZIONE DI COMPLEMENTO ALGEBRICO

Data una matrice A=(a_ij)∈M_m×n(K) si dice complemento algebrico:

A_ij = (-1)^i+j·detM_ij∈K

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TEOREMA DI LAPLACE

Se A=(a_ij)∈M_m×n(K), per ogni h∈N,

∑_j=1ⁿa_hj·A_hj = ∑_i=1ⁿa_ih·A_ih = detA

DIMOSTRAZIONE

Prendo:

detA=det |a_h1 a_h2... a_hm|

|a₂₁ a₂₂... a_2m|

|... ... ... ... ...|

|a_m1 a_m2... a_mm|

Ora vedendo meglio la h-esima riga e applico ripetutamente le proprietà IV^o e IV^o

detA=det (come A) |a_h1 ... a_hm|

+ det |0 ... 0|

(come A)

detA = a₁₁ det(

per generalizzare definisco un indice j tale che:

detA = Σ_j=1^m aᵢⱼ detBⱼ devo dimostrare che detBⱼ = Aᵢⱼ^h

prendo Bⱼ = Cⱼ effetuo m-h scambi di righe e m-j scambi di colonne, in modo che 1 vada in fondo, chiamerò questa nuova matrice Bⱼ.

Bⱼ = ( )

detBⱼ = Σ_p∈Σₘ sigmp b_p(1) ⋅⋅⋅ b_p(m-1) ( b_p(m) )^-1

detBⱼ = Σ_p∈Σₘ sigmp b_p(ⱼ) ⋅⋅⋅ m-j b_p(m-1) = detMᵢⱼ

detBⱼ¹ = (-1)^m-h (-1)^j-1 detB_ⱼ