Appunti/Formulario Geometria: algebra lineare

Matrici

A + B = (a_ij + b_ij) sommacA = (c ⋅ a_ij) prodotto per ctA = a_ji traspostat(A ± B) = tA ± tB proprietà traspostat(cA) = c ⋅ tAA ⋅ B = n x p prodotto matriciAB ≠ BA A(BC) = (AB)C associativat(A ⋅ B) = B ⋅ tA proprietà trasposta(tA)^-1 = t(A^-1)(A ⋅ B)^-1 = B^-1 ⋅ A^-1A^-k = (A^-1)^k proprietà inversa

• matrice simmetrica: tA = A ovvero a_ij = a_ji
• antisimmetrica: tA = -A ovvero a_ij = -a_ij
• idempotente: A² = A
• nilpotente: se ∃ k → A^k = 0
• identità: A ⋅ Id = A = Id ⋅ A
• invertibile: se ∃ B, A ⋅ B = I_m
• inversa: A^-1

Determinante

A^ij sottomatrice ottenuto cancellando la i-esima riga e la j-esima colonnaSviluppo 1a riga: a_j1 (-1)¹⁺¹ det A^j1 + a_j2 (-1)¹⁺² det A^j2 + ... + a_jn (-1)¹⁺ⁿ det A^jnCofattore di A^ij = (-1)^i+j det A^ij

Per Laplace posso sviluppare secondo una riga o una colonna a scelta.Metodo di Gauss Moltiplicando una riga × numero ed una riga in multiplo di un'altra si trasforma in m. triang.sup.Così det = il prodotto degli elementi sulla diagonale.

Teorema di Binet det (A ⋅ B) = det A ⋅ det BCorollario Se A è invert. → det (A^-1) = 1 / det AA^-1 = 1 / det A ⋅ t ( (-1)^i+j det A^ij )

Proprietà:

• det I = n = d
• se una riga o colonna ha tutti 0 → det A = 0
• se A è triangolare sup./inf. → det A = prodotto elem. diagonale
• det A = det tA
• se A' = c ⋅ (una riga o colonna di A) → det A' = c ⋅ det A
• scambiando due righe (colonne) il det cambia segno
• se due righe o colonne sono uguali → det = 0
• se due righe o colonne sono proporzionali → det = 0
• sommando ad una riga un multiplo di un'altra riga il det non cambia
• se una riga è compl. lineare di altre righe → det = 0

Una matrice è invertibile se il suo det ≠ 0

Matrici

A + B = (a_ij + b_ij) somma

C·A = (c·a_ij) prodotto per c

tA = a_ji trasposta

t(A + B) = tA + tB proprietà trasposte

t(c·A) = c·tA

A·B = Σ p[ ] prodotto matrici

A·B ≠ B·A Ab^-1 commutativa

t(A · B) = B^T · A^T proprietà trasposta

(tA)^-1 = t(A^-1)

(A·B)^-1 = B^-1 · A^-1

A^-k = (A^-1)^k proprietà inversa

• matrice simmetrica: tA = A ovvero a_ij = a_ji
• antisimmetrica: tA = -A ovvero a_ij = -a_ji
• idempotente: A² = A
• nilpotente: se ∃ k, A^k = 0
• identità: A · Id = A
• invertibile: se ∃ B, A·B = I_m
• inversa: A^-1

Determinante

A^ij submatrice ottenuto cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna

Sviluppo 1^a riga: a₁₁ (-1)¹⁺¹ det A¹¹ + a₁₂ (-1)¹⁺² det A¹² + ... + a_1n (-1)¹⁺ⁿ det A¹ⁿ

Cofattore di A^ij = (-1)^i+j det A^ij

Per Laplace posso sviluppare secondo una riga o una colonna a scelta

Metodo di Gauss moltiplicando sommando una riga, o sommare ad una riga un'altra in cui un elemento si trasforma in un m. TRIANG. SUP.

con det : è il prodotto degli elementi sulla diagonale.

Teorema di Binet

Consulenza z = A invert. → det(A^-1) = ¹/_{det A}

A^-1 = ¹/_{det A} · [(c(-1)^ij, i^N, j^S, det A^ij)]

Proprietà

• det 1_n = d = 1
• se una riga o colonna ha tutti 0 → det A = 0
• se A è triangolare sup./inf. → det A è prodotto elem. diagonale
• det A = det A^T
• se A¹ = c·(una riga o colonna d'A) → det A¹ = c·det A
• scambiando due righe (o colonne) il det cambia segno
• se due righe o sono proporzionali → det = 0
• somando ad un