Appunti/Formulario Geometria: algebra lineare

Matrici

A+B = (a_ij + b_ij) Somma

c⋅A = (c⋅a_ij) Prodotto per c

tA = a_ji Trasposta

(tA)^-1 = t(A^-1) Proprieta' trasposta

(A⋅B)^-1 = B^-1 ⋅ A^-1 Proprieta' inversa

A⋅X = (A^-1⋅K)

Determinante

A^ij = sotto matrice ottenuta cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna

Sviluppo 1^a riga: a_1,4 (-1)¹⁺⁴ det A¹⁴ + a_1,2 (-1)¹⁺² det A¹² + ... + a_1,n (-1)¹⁺ⁿ det A¹ⁿ

Co fattore di A^ij = (-1)^i+j det A^ij

Per definizione posso sviluppare secondo una riga o una colonna a scelta.

Metodo di Gauss:

Se i↔ Scambiano due righe ⇒ non invert.

Se A^x = λ f(A^x)

Teorema di Binet

Consequenza: Se A è inviato ⇒ det (A^-1) = 1/det A

A^-1 = 1/det A ⋅ t( (-1)^i+j ⋅ det A^ij )

Proprieta'

• det(I) = 1 e det(I ∙ A) = det A.
• Se una riga o colonna è 0 det A = 0
• Se A è triangolare, sup./inf.; ⇒ det A = prodotto degli elem. diagonale
• se A = c∙I (c una riga o colonna di A) ⇒ det A^-1 = c·det A
• Scambiando due righe o colonne, il det cambia segno
• Se k è una riga o colonna, scambiamento della riga in molteplici di un'altra riga, il det non cambia
• se una riga o colonna è lineare di altre righe ⇒ det A = 0

Una matrice è invertibile se il suo det ≠ 0.

RANGO

è il _g maggiore per cui es7ono colonne di Axp con det ≠ 0.

Teorema degli orlati: l'un&k soi. cHe A con det ≠ 0 i cui nec orlati hanno det=0

allora rgA = p.

Oppure: rg A = max numero di righe o colonne lin. indipendenti.

Oppure: riducendo A a scalini : rg A = n° dei pivot

Proprieta: rg tA = rg A

SISTEMI LINEARI

Sistema omogeneo associato : stesso sistema con termini noti = 0. Ammette sempre la sol.

₀ se ed è unica det A ≠ 0

Matrice incompleta: matrice formata dei coefficient

Matrice dei termini noti: matrice formata dei termini noti

Forma compatta: A x = B

Teorema di Cram: se det A ≠ 0 => sol. unica: sol.^X = A^-1.B

• se det A = 0 => Re 0 oo sol.
• se det A ≠ 0 x_j = X = (^a)^b

Matric complet^e: matrici A B (in unⁱ unⁱca matrice

Un sistema ha soluzione no sol rg A = rg C

Come trovare le soluzioni

• trovare sonsoccati p x q di A con ^det ≠ 0;
• considerare a equ che son corrispondono matrice scelta;
• porto a che inn tutte le^ignote che corrisp. sono sott. sciolu;