Appunti Algebra Lineare e Geometria Analitica (formulario)

Vettori Geometrici

Normalizzazione di un vettore:

^→V / ||V|| = ^{^}V

←versore

Moltiplicazione scalare:

:= ||^→U|| ||^→V|| cosθ

• < ^→U, ^→V> >0 ⇔ θ ∈ [0, π/2)
• < ^→U, ^→V> = 0 ⇔ ^→U ⊥ ^→V ]]
• cosθ = < ^→U, ^→V> / ||^→U|| ||^→V||
• < ^→U, ^→V> > 1 ⇔ ||^→U|| · ||^→V||
• < ^→U, ^→V> + ||^→V||²
• ||^→Û - ^→V||² = ||^→Û||² - 2 < ^→Û, ^→V> + ||^→V||²

Moltiplicazione vettoriale:

^→Û × ^→V modulo = ||^→Û|| ||^→V|| sinθ

• [[^→Û // ^→V ⇒ ^→Û × ^→V = 0]]
• ^→Û × ^→V = -^→V × ^→Û

• | i j k |
• | U_x U_y U_z |
• | V_x V_y V_z |

• = i(U_yV_z - V_yU_z) - j(U_xV_z - V_xU_z) + k(U_xV_y - V_xU_y)

• ^→Û × ^→Û = 0

Modulo di un vettore:

||^→X|| = √( x_x × ∑ √((x_x)² + (x_z)² + (x_z)³))

Moltiplicazione mista:

• < ^→Û × ^→V, ^→W> volume tetraedro

1/6 ||< ^→Û × ^→V, ^→W> || volume del parallelepipedo di lati ^→Û, ^→V, ^→W

Vettore // alla retta passante per A e B

• V_x = x_B - x_A
• V_y = y_B - y_A
• Σ = z_B - z_A

GEOMETRIA ANALITICA

PUNTI:

P₁ ≌ (x₁, y₁, z₁)

P₂ ≌ (x₂, y₂, z₂)

Distanza punto-punto:

dist (P₁, P₂) = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²

Punto medio:

M ( x₁ + x₂ ^/ 2, y₁ + y₂ ^/ 2, z₁ + z₂ ^/ 2 )

RETTE:

Rappresentazione parametrica:

r: { x = x₀ + t u_x y = y₀ + t u_y z = z₀ + t u_z }

→

[x y z] = [x₀ y₀ z₀] + t [u_x u_y u_z]

P₀ → u̅

retta passante per P₀ e parallela a u̅

Rappresentazione cartesiana: (intersezione di due piani)

(ℑ₁) a₁ x + b₁ y + c₁ z + d₁ = 0

(ℑ₂) a₂ x + b₂ y + c₂ z + d₂ = 0

retta perpendicolare a n̅₁ e n̅₂

Generico piano che contiene la retta: λℑ₁ + μℑ₂ = 0 n̅₃ ≡ u̅

Distanza punto-retta:

dist (P₀, r) = ^{‖u̅ x P₀P₁‖} ‖u̅‖

P₀: punto ∈ r

PIANI:

Rappresentazione parametrica:

ℑ: { x = x₀ + t u_x + s v_x y = y₀ + t u_y + s v_y z = z₀ + t u_z + s v_z }

→

[x y z] = [x₀ y₀ z₀] + t [u_x u_y u_z] + s [v_x v_y v_z]

P₀ → u̅ v̅

piano passante per P₀ e parallelo a u̅ e v̅

Rappresentazione cartesiana:

piano passante per [x₀ y₀ z₀]

ℑ: a (x-x₀) + b (y-y₀) + c (z-z₀) = 0

e perpendicolare a n̅ ≡ [ a b c ]

Distanza punto-piano:

dist (P₀, ℑ) = ^{|ax₀ + by₀ + cz₀ + d|} √a² + b² + c²

Distanza piani paralleli:

dist (ℑ, ℑ_C) = ^{|d - d'|} √a² + b² + c²

RIDUZIONE DI MATRICI

PIVOT (rispetto alle righe): ogni elemento non nullo di una matrice al di sotto del quale, nella stessa colonna, vi siano solo zeri o nessun altro elemento.

MATRICE RIDOTTA PER RIGHE <=>

ogni riga non nulla contiene almeno un pivot.

MOSSE DI GAUSS (per le righe):

• Scambiare due righe: r_i <-> r_j
• Moltiplicare una riga per una costante non nulla: r_i<-λr_i, λ≠0
• Addizionare a una riga un multiplo di un'altra: r_i<-r_i + λr_g

MARKER (rispetto alle righe): primo elemento non nullo della sua riga, partendo da sinistra.

Una colonna in cui sia presente un marker viene detta MARCATA.

MATRICE SUPER-RIDOTTA PER RIGHE:

• matrice ridotta in cui: ogni marker vale 1
• ogni marker è l'unico elemento non nullo della sua colonna

Una matrice ha diverse forme ridotte, ma un'UNICA forma super-ridotta!

RANGO DI UNA MATRICE

RANGO: il numero di righe non nulle (o quello delle colonne marcate) di una matrice ridotta: r(A), o rankK(A)

PROPRIETÀ:

A∈K l^m×n

• A = 0_m,n <=> rank(A) = 0
• 0 ≤ rank(A) ≤ min (m,n)
• rank(A) = rank(A^t)
• rank(A) = 1 <=> tutte le righe sono proporzionali o una non nulla
• B∈K l^m×p   ⇒   rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B))
• B∈K l^m×p   ⇒   rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B)

LEGAMI FRA I COEFFICIENTI E LE RADICI DEL P.C.

p_A(λ) = (-1)ⁿ(λ - λ₁)... (λ - λ_n)

a₀ = det(A) = Π λ_i

A > 0 è autovalore di A → a₀ = 0

(-1)ⁿ a_n-1 = tr(A) = Σ λ_i

CRITERIO DI DIAGONALIZZABILITÀ

A diagonalizzabile ↔ Σ_i mol_C(λ_i) = n

mol_C(λ_i) = mol_A(λ_i)     ∀i

Se A ∈ K^{n x n} ha n autovalori distinti → A è diagonalizzabile

Nella forma diagonale D di una matrice sulla diagonale principale compaiono gli autovalori con le rispettive molteplicità

TROVARE LA MATRICE DIAGONALIZZANTE

Una volta trovati gli autovalori risolvo il s.l.o. (A - λ_iI) = 0     ∀i e trovo i vettori che saranno le colonne della matrice P tale che P^-1AP = D

MATRICE SIMMETRICA

Una matrice quadrata A ∈ K^{n x n} è SIMMETRICA se A^T = A

Una matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile ad opera di una matrice P ortogonale speciale S = P^TDP

MATRICE TRIANGOLARE

Una matrice quadrata triangolare ha i propri autovalori sulla diagonale principale.