Appunti Algebra Lineare e Geometria Analitica (formulario)

Vettori Geometrici

Normalizzazione di un vettore:

_V / ||_V|| = _V versore

Moltiplicazione scalare:

_u · _v = ||_u|| ||_v|| cosθ

• _u · _v > 0 <=> θ ∈ [0, π/2]
• _u · _v < 0 <=> θ ∈ [π/2, 0]
• _u · _v = 0 <=> _u ⊥ _v

· - cosθ = _u · _v / ||_u|| ||_v||

· |_u · _v| ≤ ||_u|| ||_v||

· _u · _v = _v · _u

· _u · _v = u_xv_x + u_yv_y + u_zv_z

· ||_u + _v||² = ||_u||² + 2_u · _v + ||_v||²

· ||_u - _v||² = ||_u||² - 2_u · _v + ||_v||²

Moltiplicazione vettoriale:

_u × _v modulo = ||_u|| ||_v|| sinθ

• _u ‖ _v => _u × _v = 0
• _u × _v = -_v × _u
• i j k u_x u_y u_z v_x v_y v_z = i(u_yv_z - v_yu_z) - j(u_xv_z - v_xu_z) + k(u_xv_y - v_xu_y)
• · _u × _u = 0

Modulo di un vettore:

||x|| = √(x_x x_x) = √((x₁)² + (x₂)² + (x₃)²)

Moltiplicazione mista:

<_u × _v, _w> volume tetraedro _u × _v × _w

· |<_u × _v, _w>|: volume del parallelepipedo dilat_u, _v, _w

Vettore // alla retta passante per A e B

• _Vx = x_B - x_A
• _Vy = y_B - y_A
• _Vz = z_B - z_A

Vettori Geometrici

Normalizzazione di un Vettore:

↭𝑌/||𝑌|| = ↭ versore

Moltiplicazione Scalari:

𝑌 · 𝑍 = ||𝑌|| ||𝑍|| cosΘ

• 𝑌 · 𝑍 > 0 ⇔ Θ ∈ [0,Π/2)
• 𝑌 · 𝑍 < 0 ⇔ Θ ∈ (Π/2,0]
• 𝑌 · 𝑍 = 0 ⇔ 𝑌 ⊥ 𝑍

cosΘ = 𝑌 · 𝑍/||𝑌|| ||𝑍||

|𝑌 · 𝑍| ≤ ||𝑌|| ||𝑍||

𝑌 · 𝑍 = 𝑍 · 𝑌

||𝑌 + 𝑍||² = ||𝑌||² + 2 𝑌 · 𝑍 + ||𝑍||²

||𝑌 - 𝑍||² = ||𝑌||² - 2 𝑌 · 𝑍 + ||𝑍||²

Moltiplicazione Vettoriale:

𝑌 x 𝑍 modulo = ||𝑌|| ||𝑍|| sinΘ

• 𝑌 //𝑍 ⇒ 𝑌 x 𝑍 = ⭩
• 𝑌 x 𝑍 = - 𝑍 x 𝑌
• 𝑌 x 𝑌 = ⭩

Modulo di un Vettore:

||𝑎|| = √(x_x x_x) = √(x_x)² + (x_y)² + (x_z)²

Moltiplicazione Mista:

𝑌 x 𝑍 x 𝑎  volume tetraedro 𝑌 x 𝑍 / 6

|𝑌 x 𝑍 x 𝑎|  volume del parallelepipedo dallati 𝑌 x 𝑍 x 𝑎

Vettore // alla retta passante per A e B

GEOMETRIA ANALITICA

PUNTI