Segnali
e
Sistemi
Dato sistema tipi
esistono di sistemi
s 2
un :
ingresso 5
memoria
Sistema ' )
il l
11 senza yl uscita
)
>
: →
. .
hanno bisogno di
del concetto stato
> Non }
{
} °
{
sistema > ttt
K MI
memoria to
( t.lt
) it
2) con (
K
: y
◦ to
≥ to to
≥
. ≥
.
e stati
degli
vettore
se : iniziale
to
i istante
: in
funzioni latere funzioni poi
uni considerate
che da certo punto
vengono un
: ,
dell'
prima
0 istante tempo iniziale
di
pari
sono a
è funzione
segnale a
- >
una :
un -
sistemi
Classi di
2
> :
tempo
' IR
continuo se
: =
tempo discreto
' se =
: sistemi
dei
Classificazione
Es (
legge t)
F F
Newton ma
di = ti
= (
: > mo
.
} '
l' celto
F (
(
- sull
ti istantaneo
Mit
Ingresso sistema
) vedo uscito
= _
dell'
istante ingresso
uscita nello
' stesso
act
) )
yct = memoria
Sistema senza
>
aggiungo uscita
nuova
una : %
t
velocità /
fa di
> (
i ( ) MITI t
to
di V
)
✓ to
to ≥
+
( =
t) )
t -1 T
)
✓
( (
= = t.tn
to
> sistema memoria
con dell' all' istante
valore
dice il uscita
Def di
sistema si senza memoria se
un
: dipende dell'
valori ingresso
tempo dai t
t tempi diversi da
non a
dice
si
In sistema memoria
il
caso contrario con dell'
dice
si tempo
al
sistema t
valore
causale
Def il uscita
se
un non
: dell'
dai
dipende ingresso
valori t
tempi oli
maggiori
a
dicono
i sistemi
In contrario causati
caso si non causale
memoria
sistema con ✓
) (t
ylt )
-2M ✓
simul t ) )
ylt ) -
- ✓
✓
sin Sin Mit
ylt ( 1)
) (
)
Ult ) )
+
= - ✓
sin sin Ult )
+1
) )
ylt (
ult )
( )
= + ✓
ylti--dUltIdt_-@jnf.l h ✓
h )
)
ult
)
ult -
- ✓ ✓
h
lim ) )
h
tutt
duct ) dt ult)
)
ylt = +
- -
- e. -
o
→
TUIT
=/ ✓
to
di ✓
t
)
ylt ≥
) .
to
Stato iniziale
Stato {
→ } ° }
{ >
stato
mi
to
(
K i ) lo
Y
se
) stato
°
. to
+ = ,
, infinita
ha il
' si
sistema
se dice
dimensione parametri
lo stato a
.
distribuiti il
finita
lo dimensione
ha parametri concentrati
i sistema dice
se stato si a
,
lo si dicono
dimensione
ha
nei sistemi nulla
- memoria stato e
senza
statici
sistemi dinamici
dimensione
ha finito di
se lo parla sistemi
si
stato nullo e
non .
.
memoria
senza
sistemi
dei
Proprietà
1) Additività : {
S °
)
(
ll (
y
> ) )
llz 1
Me
( Y
( ) )
) y
+
° L
> +
o .
.
1 - -
, 1 a
>
,
=
S
µ ( ) )
(
> yz
z o o
2) Omogeneità : s
s fa scalare
)
mi ( ✗
du
) (
=D ) yl )
y
> >
. . . .
Linearità
3) (2)
(1) +
:
il principio di degli
' vale sovrapposizione ectelti :
{
S °
✗
) da
✗ di
) )
(
M2
(
ll 1
1 y
) )
M + 1 ,
y
> > + y ,
. ° °
. = . .
" =
, e
e "
☐
=
S
(
µ ) ( ,
y
>
.
z o
,
Stazionarietà
4) :
s s
) (
( T (
)
µ µ T)
( =D
) y
y
> o
o > o
o
È←• ' memoria
con
sistemi
dei
Proprietà
1) Additività : {
s
} }
{ > lottato
realtà )
mi ke yf
stato tato
- .
, ,
} s }
{
{ > Kal stato
)
to lo
( lottato
Ka ya
ma stato - ,
, s
{ {
} }
( ) )
to to
( (
Yz
1.)
=D l
(
µ
K U2 K2
sez +
+ (
stato
Ke '
stato > il l stato
+ Ye
+
, e
'
- '
tato
tato tzto
, , ,
Omogeneità
2) : s { {
{ } {
} } }
dklto
(to)
K ) ✗ 2kt l'
Stato
i. > XY
ix.
sei
stato i. > Italia
mi
stato =D fato
µ y -
- -
+
, ,
. ,
.
Linearità (2)
(1)
3) +
: {
s
} }
{ > Kilo )
realtà )
mi yf
stato tato tato
- .
, ,
} s }
{
{ > Kal stato
)
to lo
( lottato
Ka ya
ma stato - ,
, } s
{ (
lo
di Itztjd
like ( Ita
-12 Me
to to ) U2 '
) kz
(
=D • to
, , , §
{ di +4292
l (
Ye
dalla stato
1.)
l stato
✗ 1k + '
' tato
e , +
Stazionarietà
4) : }
← {
}
{ sei lo
tetto MI stato stato
) y
stato
.
•
, , }
}
{ {
MI ) K(
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( to YI
stato
=D t
T stato
t
se ° t
. -
tato
- - . -
, ,
è iniziale to
istante
stazionario
se il sistema mettere o
posso
> -
lineare stazionario
sistema ✓
✓
-10Mt
ylt
) )
- ✓
×
• sincera
ylt
) ))
= ✓
✗
• • =L
(f) ult )
+
y ✗
✓
t 1)
sin ult
( )
)
Lt
y = -
sin sin
( t)
)
(t ( lle
• (t
ye it
ya (
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; =
= s
dalla (
sin
)
t sin
( sin )
(t ) sin
di
( t
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(
( da
di ( )
ll
d.
) (
dalla (t t
)
Lt ll
+ ) (
(
) ) U2
+ )
)
=/ +
> , ,
, 1 i (t Lt)
(t )
Lt
• Me
° ) yz llz
) 1
=
y =
+ +
, (
delle
alta
dell 1 1
( (
)
t ( )
( dalla
Lt
) +
t )
) t
)
✗
+ -1 +
1 sistemi
dei
Linearizzazione
lineare
sistema non : "
discreto
( tempo
I i vettore
IR di stato
per )
)
' kit E
=
= :
{ IRM d'
fi Ult ) vettore
) . ingresso
E
1)
t
( Mit )
)
kit
+
se :
= , IRP
h d'
. uscita
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( t E
yct
)) )
ult
)
sect
y = :
,
Per tempo
l continuo
I IR
• )
=
{ sei Ìect
C- ult al
)
( sect)
)
(t ott
) )
> = sect )
= ,
h (
y ) Ult
(t) sect il
= .
sistema lineare :
Per I discreto
' tempo )
Z (
=
{ A Butt
kit )
)
1) Kit
=
+ + e lineari
applicazioni
)
(
Ylt sett )
) Lt
Del
+
= e
Per continuo
tempo
' te )
IR (
{ vi (f) Butt
a )
)
sect +
=
Y Butti
Lt ) (
ti
CK +
= IRM
" è
( di
coppia IR lavoro
detto
ke nei punto
C- se
una :
✗ .
,
f
- (
( T
)
ke Z )
me see per -
=
,
C- 0
e IRI
( T
) (
Me per
ke =
=
, istanti di
ci rimango
in gli
tutti tempo
di
parto
se lavoro
punto
un per
> 1° riscrivere
lo del
sviluppo Taylor
sfruttando possiamo
cocaina
di :
f fine ) ) ( uf
ref (
(
)
( )
Ue
me me (
K
K ll ll
)
- + lle
ke
= see
+
ke ) +
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.
.
-
, , , ,
hlk hike uh
hike
• ) )
( ( ll Ue
( me
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mi K
) )
me re
+ +
+
= -
se .
.
-
e -
, , , ,
per discreto
> I tempo
(
E
- = )
fiale ) ( uf
kit (
f
e)
i Me )
)
Me (
ll
(
) t
kit )
Ue
(
me
ke )
✗ ke
e)
=
-1 + +
+ -
. .
-
se -
,
,
,
hike h
h '
) )
(
)
(
Me Ue Ue
(
i Ylt
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Re Mit
ke )
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ke + )
= + -1
n -
- .
. .
se ,
,
, { hike
Ylt
i simboli
Introduciamo Ult)
sect )
(t Ue
) (ti me
)
✓
= ke = )
=
: ; ; -
- - ,
kflke.me/&ti-uflke,lle)Vlt)lfixe.uei--ke
sett 1) perchè
> + = + in
ke lavoro
di )
punto
un
sono
Gtt fine
seflke nel
sett Vlt
nel )
) +
-11 see = µ
- , ,
} tie Siti fine
referee nei Vlt
nel
( )
) +
= n
, ,
B.
)
fine
Definendo A uflke.net
' Me =
: ;
= se ,
Et } (
Bvlt
(
a t)
ottengo sistema
1)
che ) lineare )
+ -1
=
:
hlke.me hike
Ylt
) hike
> Nell Mehmet
) )
) )
)
= sett Ue
see -1
+ n
se - -
, ,
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hike uhlke.net
± hike
nel Ue) ) Viti
+
+ se ,
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hike
hike Ue) It ) viti
) )
Ylt Ue -1
a se
- ,
,
" Lt uhlke.net
hike Ue) ) viti
(f) = +
se , Pse hike
Definendo
i )
( utile me
D=
me )
: = ;
, ,
} sistema lineare
otteniamo (
C D
che Mit (
viti
ti
) )
: = + =D
nell' sistema
>
' intorno approssimare
= lavoro
punto
se di
ai
metto posso
mi un
un non
.
lineare
in
lineare uno
per continuo
(
I tempo )
IR
=
{ Il flke f
)
Lt uflke.me
lklt
nel
Ue (
)
) )
( ke Ue
= Mit )
)
ke +
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-1 se - -
,
,
hike khlke
Y uh
)
( t il
= )
Ike
)
me init
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kit) )
Ue
)
me see -1
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, ,
,
:} hike
Definendo ( Ylt
t Miti
) )
)
) me
kit
- Ue
Mit
ke ) i
i Vit
= )
=
- -
- -
- ,
§ Ìe
pie
Ìelt perchè è può
(
) (t
it ) ) si
= = costante
una
ke )
omettere
- ' t-IR-D-ike.me
siamo nell' di
intorno lavoro
ai
perche punto in o
) =
un
→
È }
fine nf nfike.me
(f) nel (ti
nel )
(
= Vit
ke )
-1 +
,
,
yÈÈ }
h ( me uflke.me
(t
)
ke tutti
)
=
, +
se ,
}
h uflke.me tutti
Me
( (t )
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ke
ti
=D ( +
= se ,
• Definendo : Fire
B
a kf ) me
Ike )
=
me ;
= n ,
,
hike uh
D=
me
c Ike
= ) Ue )
se ;
, ,
"
{ } }
( A
ti sistema lineare
(ti Buti (
= + )
}
3ITL C ( ) Due
t +
= )
Esempio 1 :
{ vi (
1)
( 3)
(
K 2)
K n
K
= + -
- -
y Sinise Ram
= ) +
Punto
' lavoro
ai me 0
per =
f ( 3)
(K (
) 1) (
2)
K K
ll K ll
= +
- - -
,
him Sinise KZM
) +
mi =
, il lavoro risolvere
' di
Per calcolare punto oieuo :
fine è
( il
Perché continuo
sistema T
nel )
tempo IR
0
= a =
,
( (
1)
ke ke 0
2) =
-
- sistema
i punti lavoro
di di questo sono :
( ke 1
0) 1
see
= =
con
a a
,
, ,
( Me
ke ) =
2 con 2
=
0 o
o , .
.
, .
calcolo derivate
le
' parziali :
f (
1) -1
(1) (1)
( µ
)
( 2)
+
= zze
se
+ 3
K
me se -2 µ
µ
ke se +
= + +
=
- -
se -
,
uflke.me -3
> = se
f) ( me cosi
ke ) = 2km
) +
se
se ,
mh 2
( se
ke me =
)
,
Punto lavoro
di a
1. :
1
ke ne
= o
=
;
o
.
, f h
1
ao 1,0 ) (
Ca
( 1,0 cos
)
= (e)
=
= =
;
se se
-
. hi
① Da
f 1
0
( =
1,0 -2 1
=
= )
)
= µ
;
a µ ,
{ sei -2m
se
= -
=D y costei
= il
+
Punto B
di lavoro
2. :
ke ne
2 o
b =
;
=
,
ab Bb Cb
1 4
1 Db
i = =
2)
COSI
= i
-
= ;
{ vi se µ
= -
Di UN
+
cose 2)
Esempio 2 }
t 1)
1) Ult
( ) )
( sect
se ( )
t
+ +
se +
= -
y )
t )
( sect
=
supponiamo
- ne = o
flke.me perchè )
IR
( F-
) see
= ?
li
3 1)
(
se r
-1 se
+
- 3
ne 0
se =
- - 2 >
e =D
(
ze +
se
- di
la lavoro
Prendo reale
' IO
soluzione
solo punto 0
=D )
: ,
ne
; 0
0
ke =
= {
a f B e) Miti
-11=1
' (t
f
( +
µ
3k (
0 K
=
= =
ne se
ke = ne
> see
+ ;
= ] =
se µ
- >
,
, =
,
hike 1 nhcxe.me
D= YLT )
sett
'
= io
C =
i )
= )
Ue
se , sistema
al
soluzione
Dalla trovare
Pensiamo di che
generale sistema
soluzione abbia
avere una > come
un
soluzione soluzione
quella
Esempio tempo
F- IR
soluzione in l continuo
generale )
-
: "
ylti-coscti-cilt-C.ae arbitrarie
costanti
eca
Conce
, Deriva costanti
tante le
volte quante sono
>
di
Definiamo =
yiit
)
: )
Ylt
alt { "
et
Yo
# l )
cosa
et
=D )
(f) Cal
ylt cosa c.
)
=
= +
yo + Ci
"
Y et
t 2C +
t < since )
=D
sin =
'
2C
ci @ @
Lt /ti
y ) + ( -
= +
- ,
, a
"
" 4C
et
Yz
ti cosa )
4cal
)
(t Ce @
)
cosa
yz -
= +
-
separo in
e termini
2 :
* "
et [
Do l )
ci "
cosa ' )
(
' Cosa )
)
4C
92 l +
+ '
i -
= <t since
)
Cz
Y Cz
et 2 @ -
,
La
i soluzione in
* cieca quando :
est
et tutti
Quasi
Per
det °
=/
at
et tempi t
i
@
z
a-
est ha soluzione '
_ So
Zt Zt
1
90 Zt cosa )
lt
ci e
cosa 2@
) @ -
= ° °
= =
3T since )
y
since zezt et et
et @
Cz ,
Y -
,
-
, -
+
- ( ZCOSCT
sin Y
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C (f) -290
+ +
- ,
= espressione
sostituisco
d- valore nell' di
questo ya
since )
cosa y
e- ( yo
) +
+ -
,
yz 35in -1391
( )
t
= cosa ) ZYO
+ -
35in (t
)
391+290 cosa
+
= )
ya - ÌYLT
ijit Ìylt 35inch
) ) ) cosa )
= +
+
- ie
sistema
' Are
Obiettivo rappresentare il -113N
nella forma =
:
Introduciamo
> :
} stati
tanti
=D introduco
n . 5 quanti della
iterato
Kz mese
= y
calcoliamo
e ( )
kilt ) Kait
)
sett
si y.lt
- Lt )
(
ka
) )
.lt) e)
o
=
= =
sei ijltl-3y.lt +35in
) Zylt )
(f)
' (f) cosa >
= +
-
> +35in
= 3k ( t ) cosce
2k +
)
It ( )
t )
-
> , +35in
=L 3) (t
2 COSCE
Kit ) ) )
+
-
È ^ 0
° ^ ' 135in )
(ticoslt )
+
=
jg ,
K2
3
2
, -
Definiamo l' te /R
per come
operatore :
=L 202 ojltl Ict
01
(
✗ )
(f) t )
☐ odlt
(f) ) )
=
= =
;
> applico segnale
operatore
un a un
si ^ O
° sei 135inch
, )
cosce )
+
+
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sei ,
K2
3
2
, - ^ O
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' 135inch )<
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