Appunti Fondamenti di automatica

Variabili in ingresso

• m variabili di ingresso
• p variabili di uscita
• n variabili di stato

Eq. di stato: ẋ(t) = f(x(t), u(t), t)

Trasformazione d'uscita: y(t) = g(x(t), u(t), t)

SISTEMI SISO, MIMO

ATEmpo continuo

Sistema stazionario x(t) = f(x(t), u(t))

Sistema linearie

ẋ(t) = Ax(t) + B(t) u(t)

y(t) = Cx(t) + D(t) u(t)

Equilibrio

ẋ(t) = F(x(t), u(t))

Tempo continuo ẋ(t)=0

Formula di Lagrange

Tempo continuo Caso scalare

x(t) = ax(t) + bu(t) y(t) = cx(t) + du(t)

Movimento dello stato

x(t) = e^a(t-to) x_to + ∫_to^t e^a(t-z) b u(z) dz

Movimento dell'uscita

Y(t) = ce^a(t-to) x_to + c∫_to^t e^a(t-z) b u(z) dz + du(t)

Esponenziale scalare

a^at = 1 + a t + (at)²/2! + ...

Matrici esponenziali

e^At = In + At + (At)²/2! + ... = Σ_i=0^∞ 1/i! (At)ⁱ

Tempo discreto

x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)y(k) = Cx(k) + Du(k)

Tempo continuo

x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)

Ax̄ + Bū = 0ȳ = Cx̄ + Dū

Se det(A) ≠ 0 => ∃ una sol. unica:

x̄ = -A^-1Būȳ = (-CA^-1B + D)ū

Tempo discreto

x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)y(k) = Cx(k) + Du(k)

x̄ = Ax̄ + Būȳ = Cx̄ + Dū

Se det(I-A) ≠ 0 => ∃ una sol. unica:

{x̄ = (I-A)^-1Būȳ = [(I-A)^-1B + D]ū}

Variazione rispetto a una condizione di equilibrio

Tempo continuo

δx(t) = x(t) - x̄δy(t) = y(t) - ȳδu(t) = u(t) - ū

cond. iniz. cond. di equilibrio

x(t=0) = x̄x(t=∞) = x̄

Tempo discreto

δx(k) = x(k) - x̄δx(k+1) = A δx(k) + B δu(k)δy(k) = C δx(k) + D δu(k)

δx(k=0) = 0 → condizione iniz. zero

Linearizzazione

Approssimazione del comportamento del sistema nell'intorno di un punto di equilibrio

1. Calcolare le derivate delle eq. di stato e della trasformazione rispetto a tutte le variabili
2. Calcolare i valori delle derivate nel punto di equilibrio
3. Non dimenticare di moltiplicare ciascuna derivata per la variazione corrispondente

Z{f(k) + g(k)} = Zf(z) + Zg(k)

Z{(f(z) - y)g(k)}

Z{f(k - 1)} = z Zf(z) - z f(0)

Z{f(k + m)} = z^mF(t)

Z{f(k - m)} = z^mF(t) - z^m∑_k=0^m-1f(k)z^-k

Z{kf(k)} = - zdF(z)

Teorema del valore finale

f(∞) = limz→∞

Trasformata

y(S) = [C(SI-A)^-1B+D]U(s) + C(e^ST-Δy^T(k₀)

G(s)

Ẋ(t) = AX(t) + Bu(t)

Y(t) = CX(t) + DU(t)

1° Metodo per trovare G(s)

G(s) = C(SI-A)^-1B + D

X(s) = [x₁(0)] + [x₂(0)]

Y(t) = Y_f(t) + Y_g(t)

2° Metodo

ẋ₁(t) = x₂(t)

ẍ₂(t) = 2x₁(t) - 3ẋ₂(t) + u(t)

y(t) = 3x₁(t) + x₂(t)

Sistema SIS0

D ≠ 0 → G(s) = C(SI-A)^-1B = N(s)D(s) → grado n-1

D = 0 → G(s) = C(SI-A)^-1B+D = N(s)D(s) → grado n

S s(s) =

s² + 2ζωs + ω_n²

1 - μ G₀ S(s) =

y(t) = φμ_n¹ u_1-ζ²

Face. 1

sistema A.S.

- espon. decrescente

- la risposta tende

sistem. a 0

sistema INSTABILE

sistema STABILE

s(ω) = U sin (ω_t + φ)

z = a + ib

|z| = √(a² + b²)

arg z =

• π se a ≥ 0, b < 0
• -π se a ≤ 0, b > 0
• arg( π/2 )

Segnali sviluppabili in serie di Fourier

ω ₖ t

ω = 2π / T

arg( b/a )

arg( b/a ) - π

Segnali dotati di Trasformata di Fourier

Y(jω)

G(s) = 10s (1-0,1s)

(1+0,1s+0,2s²)(1+0,01s)

Coniugil e poli complessi coniugati

μ → arg(μ) - 90° = +90°

g = -1

ε₀(μ) → w_ε ←

ε(jω) → w_c = 1

arg(ω(jω))

45°

ω ²

Perché Zs inversa di uscita ai 90° secondo di 90

Diagramma polate

ES 3

G(s)E(s)

G(jω) = }}

arg(ω(jω))

Sistemi afasasimmetri minino

Quadruplo μ 

• Tra tutti gli zeri di G(s) devono avere parte reale negativa o nulla
• G(s) non casuale iritratoli

Filtro passo basso

• ω w → ε altozato
• ω w → ε miu

Risposta in frequenza

|G(jω)| <

anello di risposta

Filtro passo alto

• ω → ε altozato
• ω → ε rallentato

|G(jω)| <

L^-1 a^w D. Laplace

• Funzioni Trasformate

• 1 1
• e^-at

1/ab 1 (e ^-bt - e ^-at)

--- (s+a)(s+b)

--- (be ^-bt - ae ^-at)

--- (s+a)(s+b)

• sin at a

--- s²+a²

• cos at s

--- s²+a²

• sinh at a

--- s²-a²

• cosh at s

--- s²-a²

• t sin at 2as

--- (s²+a²)²

• t cos at s²-a²

--- (s²+a²)²

• sin at - at cos at 2a²

--- (s²+a²)²

• t sinh at 2as

--- (s²-a²)²

• t cosh at s²+a²

--- (s²-a²)²

• at cosh at - sinh at 2as

--- (s²-a²)²

e^-st sin at a²

--- (s²+a²)

• e^-st cos at

s

--- (s²+a²)

• sin at cosh at - cos at sinh at

4a³

--- s⁴+4a²

• sin at sinh at

4a⁴

--- s⁴+4a²

• sinh at - sin at

2a³

--- s⁴-a⁴

• cosh at - cos at

2a²s

--- s⁴-a⁴

• δ(t-1)

1

• δ(t-a)

e^-as

• δ'(t)

s

• δ'(t)

se^-as

• x^n-1

(n>0) 1

--- sⁿ

(n-1)! 1

• tⁿ (n>1)

n!

--- sⁿ⁺¹

• tⁿ-e^-at

(n-1)!

(n>0) (s+a)ⁿ

(n-1)!-a^t tⁿ-2e^-at

(n-1)!

(s+a)ⁿ

• f(t)

L[f(t)] (s+x)

d f(t)

--- [L[y(t)]

d(t) Sf(s)-f(o)

n!

(s+x)ⁿ⁺¹

• L[y(t)]

s³Y(s)-Sy(o)-y^'(o)

t^-3f(t)

(-1)ⁿ dⁿF(s)

---

dsⁿ