Appunti Fisica tecnica (prof. Vallati)

26/10/20

TRASMISSIONE DEL CALORE

CONDUZIONE

Trasmissione del calore di flusso termico all’interno di corpi solidi, è dovuta ad una differenza di

temperatura e questo vale per tutte le forme di trasmissione. All’interno del corpo solido c’è quindi un

gradiente di temperatura, vuol dire che il reticolo cristallino costituito dal corpo solido ha delle zone a

differente temperatura.

Le linee di flusso indicano il verso con cui si propaga il calore e in questo caso nel corpo solido, possono

assumere qualsiasi direzione nello spazio, ed è importante nello studio del calore individuare il tubo di

flusso, che non è altro che una parte di dominio in cui vengono sviluppati i calcoli di trasmissione del

calore, sarà costituito quindi dalle linee di flusso e delimitato dalle superfici isoterme, ovvero superfici ad

egual temperatura e ortogonali alle linee di flusso. Occorre quindi individuare un campo termico costituito

da linee di flusso che ci indicano il percorso del calore e da linee isoterme. È sul tubo di flusso che si inizia

il discorso della trasmissione di calore col postulato di Fourier e c’è un discorso di energia perché occorre

andare a valutare il valore del flusso termico per esempio attraverso due superfici isoterme che

rappresentano la zona di partenza e di arrivo dove quella iniziale avrà una temperatura maggiore di

quella finale. Il discorso energetico è possibile farlo in maniera teorica mentre il campo termico diventa

molto complesso nella convezione e nell’irraggiamento dove dovremmo usare un metodo che è quello

dell’analisi numerica che però non affronteremo.

IL POSTULATO DI FOURIER:

Si basa su analisi sperimentali per la valutazione del flusso energetico in un solido, questa analisi porta a

dire che preso un tubo di flusso con delle linee di flusso, due superfici isoterme una a temperatura T e una

a e una distanza le misure sperimentali hanno portato a dire che il flusso energetico è

− ∆ ∆

proporzionale a un coefficiente (coefficiente di conduzione) che dipenderà dal materiale, dalla

superficie di attraversamento del calore proporzionale al tempo di indagine e alla differenza di

∆,

temperatura tra le due superfici isoterme e inversamente proporzionale alla distanza tra le due.

∆) ∆+ ∆,

∆ = ∆-

È chiaro che maggiore è la superficie e maggiore sarà il flusso energetico, anche il tempo è fondamentale

e più è grande più sarà l’energia che riesco a far passare, la differenza di temperatura più è grande piò il

flusso energetico si sposta, minore è la differenza e più la forza con cui si sposta il calore è piccola. Questo

è il concetto sperimentale che deve poi essere trasformato in un concetto matematico:

=

C’è da dire che la linea di flusso può avere una direzione qualunque e per

studiare quest’evoluzione nello spazio occorre cercare di usare l’approccio

cartesiano per esempio per scomporre il flusso nelle tre direzioni. Faccio la

derivata poi del postulato di Fourier:

= − ∙ ∙

-

Il primo aspetto che notiamo è il (-) considerando che l’integrale va fatto nel

punto finale - il punto iniziale e il calore va da temperatura più alta a più bassa significa che il valore finale

in valore assoluto è minore del valore iniziale e quindi l’integrale avrà valore negativo per questo metto il

(-) così mi torna positivo, indica un calore uscente da una superficie Il secondo aspetto che ci interessa

.

2,

è quello della derivata parziale di è parziale perché riguarda solo una direzione che è quella normale,

2-

in realtà ci sono altre componenti nello spazio. 1

A questo punto ho bisogno di avere un’equazione matematica he ci permetta di valutare il campo

termico ed il flusso all’interno di un corpo utilizzando le coordinate cartesiane x,y,z.

EQUAZIONE DI FOURIER: Considero un cubo e lo posiziono nello spazio,

quindi avrà delle coordinate x,y,z. Si parla ora

di bilancio energetico di questo

parallelepipedo, valutando il calore che entra

e quello che esce. Non sappiamo quale sono

le linee di flusso per questo una volta

sceglieremo come verso di propagazione x,

una volta y e una volta z; poi le riuniremo

successivamente.

Supponiamo che il primo verso sia quindi lungo

x, significa che e sono le superfici

4564

attraverso le quali passa il calore, una è quella iniziale l’altra quella finale. Significa che il calore che passa

lungo x è uguale a quello che entra meno quello che esce: = −

64 4 4564

Facendo lo stesso ragionamento lungo le altre due direzioni otteniamo:

Vado però ad esplicitare singolarmente i termini lungo l’asse x (lo stesso ragionamento sarà poi valido per

le altre direzioni. Le scrivo conoscendo la derivazione matematica del postulato di Fourier quindi:

= − ∙ ∙ ∙

4 :

= − ∙ ∙ ∙ 8 + ;

4564 :

Faccio ora lo stesso procedimento per y e per z:

= − ∙ ∙ ∙

< :

= − ∙ ∙ ∙ 8 + ;

<56< :

= − ∙ ∙ ∙

> :

= − ∙ ∙ ∙ 8 + ;

>56> :

A questo punto possiamo unirle per trovare il flusso termico secondo x secondo y e secondo z andandole

a sommare come espresso nella precedente equazione:

A A A

2 , 2 , 2 , all’interno della parentesi c’è il laplaciano della temperatura.

= ∙ ∙ @ + + B

4<> A A A

24 2< 2>

È importante riprendere ora un concetto di Fisica 1: questa ovviamente è un’energia in Kcal,

= ∙ ∙ ∆,

equazione base della calorimetria se vogliamo ora andare verso il concetto di potenza, dobbiamo

EFG∙∆H

dividerla per il tempo e possiamo dire che: questa non è altro che la variazione di energia nel

= ,

IEJK

tempo in .

L 2,

= ∙ ∙

Dalla precedente equazione della calorimetria posso trovare ora non devo fare

, 2+

altro che unirla con la precedente possiamo andare a scrivere l’equazione di Fourier.

A A A

O 2 , 2 , 2 , 2,

R@ + + BS = EQUAZIONE FOURIER

A A A

PQ 24 2< 2> 2+ 2

Ci serve per la valutazione del campo termico all’interno di un solido durante lo sviluppo del fenomeno

quindi al variare del tempo.

Ci dice che la temperatura varia in funzione di x,y,z e in funzione del tempo ed è proporzionale ad un

O

coefficiente chiamato DIFFUSIVITÀ TERMICA (d) dove è presente il coefficiente di conduzione, c il

PQ

calore specifico e che è la densità; sono tutte grandezze termofisiche del corpo, quindi ci sta dicendo

che il campo termico è fortemente influenzato da queste ultime proprietà.

Se la studio nel regime stazionario ovvero quando la temperatura non varia nel tempo il secondo termine

dell’equazione è pari a 0 e ciò significa che posso eliminare anche il coefficiente di diffusività quindi

l’equazione di Fourier in regime stazionario si riduce ad una variazione di temperatura con derivata rispetto

ad x ad y e a z, non dipende più dalle caratteristiche termo-fisiche del corpo.

: : :

+ + =0

: : :

Più il flusso ha una direzione particolare più l’equazione sarà complessa, ma andremo a trovare degli

esempi con i quali semplificare il procedimento.

Ad esempio, nel caso della parete piana le superfici isoterme saranno verticali e la direzione del calore

A

2 , =0

sarà secondo un flusso orizzontale. Quindi l’equazione di Fourier è un’equazione di questo tipo: A

24

28/10/20

EQUAZIONE DI FOURIER IN REGIME STAZIONARIO

Il tempo è stato tolto perché siamo in regime stazionario.

Il termine diffusività tiene conto delle caratteristiche termofisiche del materiale, cioè , (la densità) e CP

(calore specifico).

Il coefficiente è il coefficiente di diffusione termica. Infatti, il postulato di Fourier ci dice che il flusso di

calore è un flusso proporzionale attraverso il coefficiente alla temperatura, ecc…, quindi è un

coefficiente di proporzionalità, che tiene conto delle proprietà termofisiche dei materiali. È il coefficiente

di conduzione, cioè esprime come un materiale favorisce o meno il passaggio di calore al suo interno.

Sappiamo che in natura esistono diversi tipi di materiale, che in generale si possono dividere in due grandi

categorie: materiali isolanti (materiali che isolano il trasferimento di calore) e materiali conduttori

(materiale che conduce il calore, favorisce il passaggio di calore all’interno dei corpi). Nei materiali

conduttori il coefficiente di conduzione, poiché è un coefficiente proporzionale al passaggio di calore,

avrà un valore alto, e di conseguenza il (passaggio di calore) sarà alto. Viceversa, se il coefficiente è

∆

basso, vuol dire che si sta abbassando la capacità di trasferire calore all’interno del corpo, dunque si tratta

di un materiale isolante. Tipici materiali conduttori sono i metalli; addirittura, il rame ha un coefficiente di

conduzione di circa 200-300 W/mK (watt su metro kelvin). Un isolante che tipicamente viene utilizzato in

edilizia ha un valore di conducibilità termica di 0,04 W/mK. C’è dunque una grande varietà di valori

all’interno di questo range.

Il rame, essendo un materiale molto conduttivo, vuol dire che favorisce il passaggio di calore e che il

reticolo cristallino è un reticolo che si muove in maniera agile favorendo il passaggio di calore tra una

particella e l’altra del corpo. L’isolante, invece, ha un reticolo più bloccato, che non favorisce questo

passaggio di calore.

Nell’ambito dei materiali edili (calcestruzzo, mattone, intonaco, calce) il coefficiente di conduzione

assume dei valori comprese tra 0 (isolante) e 1 (materiale un po’ conduttore, nell’ambito dei materiali edili,

come ad esempio il cemento armato o un tipo di mattone). 3

CENNI STORICI

La parete esterna di un edificio è un elemento costruttivo importantissimo, perché ha una funzione

strutturale ma anche una funzione termica molto importante. Nell’antichità l’obiettivo era quello di

mantenere costante la temperatura dell’interno attraverso una muratura molto grande, ad esempio in

tufo (edifici del centro storico di Roma) o in pietra (trulli e dammusi), in modo tale che questo spessore

enorme (di circa 1-1,5m) riuscisse a creare questo isolamento tra interno ed esterno, così da mantenere la

temperatura all’interno dell’ambiente costante. Poi nel tempo si è capito che muri così spessi fossero,

anche dal punto di vista costruttivo, di ingombri e spazi utili, da modificare. Viene, quindi, ridotto

notevolmente lo spessore di queste pareti, attraverso l’utilizzo di mattoni, e si è creato di conseguenza il

problema dell’isolamento termico e dell’isolamento acustico. Infatti, pareti sottili sono pareti che hanno

una piccola inerzia e quindi mantenere una temperatura costante all’interno di un edificio non è facile.

Comportano, quindi, la necessità di inserire un impianto termico, e poi successivamente di

raffreddamento, per mantenere sempre questa temperatura costante all’interno dell’ambiente per

garantire il comfort. Successivamente, a partire dal 1991, abbiamo una crisi energetica, quindi le murature

rimangono leggere, anche per diminuire i costi strutturali dell’edificio, si cerca di minimizzare il consumo

energetico di un edificio attraverso l’uso di materiali isolanti che vengono inseriti all’interno di una parete.

Oggi, dunque, è necessario inserire un materiale isolante all’interno di una parete, per far sì che l’edificio

sia confortevole, ma che consumi poca energia, dunque sia a basso impatto energetico; questi sono i

due aspetti importanti nella progettazione energetica di un edificio.

La normativa attuale identifica, quindi, la parete esterna come l’elemento da controllare e da normare.

La parete esterna indica tutto ciò che divide l’ambiente interno dall’ambiente esterno, quindi si dovrebbe

parlare più correttamente di involucro di un edificio, perché di intende sia la parete verticale che solaio

orizzontale di copertura e pavimento contro terra.

Il comfort è un aspetto molto importante. Infatti, le temperature di comfort (20 gradi d’inverno e 25 gradi

d’estate) sono numeri che hanno dietro uno studio scientifico e statistico e un campione disomogeneo di

persone.

La normativa italiana non dice che in ambito privato, in un’abitazione privata, le temperature debbano

essere obbligatoriamente 20 gradi d’inverno e 25 d’estate. Questo implica che l’impianto ognuno se lo

gestisce, ma a livello di progettazione di un edificio (in ambito residenziale) dobbiamo comunque

assicurare, attraverso la presenza di un isolante, il rispetto della normativa. In ambito, invece, di impianto

centralizzato, sempre nel residenziale, oppure andando nel civile (uffici, industria), dobbiamo garantire il

rispetto della normativa, quindi 20 gradi e 25 gradi; una deroga si ha solamente nel privato, nelle proprie

abitazioni.

PARETE PIANA Questa parete ha uno spessore s ed è costituita da un

materiale x. Si tratta di una parete cosiddetta monostrato,

che nella realtà non esiste, in quanto le pareti sono

multistrato (hanno l’intonaco, l’isolante, il mattone… sono

composte da molti strati). Studiare la parete monostrato

serve per comprendere il concetto di conduzione termica

all’interno di una parete, per poi applicare questi concetti

ad una parete reale, cioè multistrato.

Prendiamo, dunque, in considerazione una parete

monostrato di spessore s e prendiamo l’equazione di

Fourier: 4

Studieremo l’equazione prima dal punto di vista stazionario e poi transitorio. Dal punto di vista stazionario

l’equazione di Fourier diventa:

in cui ho levato al secondo membro la dipendenza della temperatura dal tempo. Posso poi semplificare

anche questo termine costante D:

e scrivere l’equazione come questa, cioè il laplaciano della temperatura:

derivata seconda della temperatura fatta rispetto a x, y, e z. Sto applicando l’equazione di Fourier ad una

parete monostrato.

La parete può essere studiata dal punto di vista piano, invece che tridimensionale, e metterla quindi

secondo due assi. Lo spessore della parete rispetto alla larghezza e alla lunghezza è molto piccolo, quindi

ininfluente. All’interno di questo piano, se proviamo a immaginare il flusso termico, immaginiamo che si

propaghi lungo questa direzione x (vedi disegno sopra), e quindi una propagazione perpendicolare alla

superficie di attraversamento, di confine. Quindi, queste due facce della parete, interna ed esterna, sono

due facce di confine, due facce isoterme, proprio perché il flusso si propaga perpendicolarmente lungo

l’asse x. Queste sono delle approssimazioni che stiamo imponendo. Infatti, come poi vedremo, in studi

tridimensionali si vede perfettamente che il flusso attraverso una parete piana avviene

perpendicolarmente alle facciate dell’edificio.

Se il flusso varia solamente lungo x, la derivata seconda di T fatta rispetto ad y e la derivata seconda di T

fatta rispetto a z sono uguali a zero, cioè non c’è gradiente di temperatura lungo y e lungo z, ma

solamente lungo x. Quindi l’equazione di Fourier si semplifica in:

che è una semplice equazione differenziale di secondo grado, la cui soluzione è

cioè la temperatura sta variando secondo x attraverso questa legge lineare, in cui occorre andare a

chiarire quali sono i coefficienti A e quali sono i coefficienti B attraverso le condizioni al contorno.

Vediamo infatti nell’immagine sopra che la variazione di temperatura è una variazione lineare; all’interno

di una parete piana la temperatura varia linearmente, ce lo dice l’equazione di Fourier.

Le condizioni al contorno sono:

quindi le andiamo ad inserire all’interno dell’equazione per trovare la variazione della temperatura in

funzione di x:

Vediamo, quindi, che la variazione è una variazione lineare e dipende dalle condizioni iniziale e finale,

cioè e , che si riferiscono ad un discorso di transitorio che noi non andiamo a considerare. Quindi, si

U :

stabilisce una temperatura iniziale e una temperatura finale , in base a questo passaggio di calore, e

U :

la variazione di temperatura dipende semplicemente da questi due valori ( e ) e la variazione

U :

all’interno del solido è lineare.

È quello che abbiamo visto alla scorsa lezione: in regime stazionario la variazione di temperatura non

dipende dalle proprietà termofisiche, ma semplicemente dagli istanti iniziale e finale. Risulta strano, però,

che non conta questo fattore termofisico; ma questo conta nella fase di transitorio, nella fase di passaggio

di calore. Una volta che noi facciamo una fotografia, le nostre proprietà termofisiche non contano più.

Facciamo alcune considerazioni: immaginiamoci questo monostrato una volta