Appunti fisica - Meccanica

Meccanica e punti materiali

Punto materiale = corpo di dimensioni trascurabili modellizzabile con un punto.

Cinematica

Cinematica = descrizione del moto di un punto prescindendo dalle cause che lo generano.

Dinamica

Dinamica = studio del moto e delle cause che lo generano.

Statica

Statica = studio delle condizioni di equilibrio.

Sistemi di punti materiali

Termodinamica = studio dei sistemi basato sulla probabilità.

Cinematica del punto materiale

Esempi: Auto su una autostrada, Terra nell'orbita intorno al Sole.

Il corpo è in moto quando le coordinate di un punto rispetto a un sistema di riferimento variano (concetto relativo). Non esistono sistemi di riferimento privilegiati.

Moto

• Rettilineo
• Circolare
• Ellittico
• Parabolico

Asse curvilineo s(t) _t S = s(t).

Legge oraria

Traiettoria + Legge oraria = descrizione completa cinem

Moto rettilineo

La traiettoria è una retta.

Legge oraria: x = x(t).

Velocità media: V_m = ^{x(t₂) - x(t₁)} / _{t2 - t1} = ^Δx / _Δt = tg α.

Velocità istantanea: V = lim_{Δt → 0} ^Δx / _Δt = dx/dt.

Accelerazione media: V_m = ^{V(t₂) - V(t₁)} / _{t2 - t1} = ^Δv / _Δt = tg β.

Accelerazione istantanea: a(t) = lim_{Δt → 0} ^Δv / _Δt = dv/dt = d/dt (dx/dt) = d²x/dt².

Dall'accelerazione alla legge oraria:
a = a(t) = ^dV / _dt   V(t₀) = V_0t0∫^t a(t) dt = _t0∫^{t dV} / _dt dt = _V(t0)∫^V(t) dV = V(t) - V(t₀)
V(t) = V(t₀) + _t0∫^t a(t) dt
v = v(t) = ^dx / _dt   x(t₀) = x_0t0∫^t v(t) dt = _t0∫^{t dx} / _dt dt = _x(t0)∫^x(t) dx = x(t) - x(t₀)
x(t) = x(t₀) + _t0∫^t v(t) dt.

Moto rettilineo uniforme

a(t) = 0
v(t) = v(t₀) = V₀ = cost
x(t) = x(t₀) + _t0∫^t v(t) dt = x(t₀) + V₀ (t - t₀)
t₀ = 0
a(t) = 0
v(t) = V₀
x(t) = x₀ + V₀t.

Moto rettilineo uniformemente accelerato

a(t) = a₀ = cost
v(t) = V₀ + _t0∫^t a(t) dt = V₀ + a₀ t
x(t) = x₀ + _t0∫^t v(t) dt = x₀ + V₀ t + ¹/₂ a₀ t².

Moto curvilineo

x(t) = x(t)
y(t) = y(t)
z(t) = z(t)
_P(t) = x(t)_i + y(t)_j + z(t)_k

Non c'è dipendenza quadratica tra moto nel piano e nello spazio.
x = x(t)
y = y(t)

Velocità vettoriale media: V_m = ^{_{P(t2) - P(t1)}} / _{t2 - t1} = ^Δ_P / _Δt

Velocità istantanea: V(t) = lim_Δt→0 ^Δ_P / _Δt = ^d_P / _dt, direzione tangente alla traiettoria

Descrizione estrinseca

_P(t) = x(t)_i + y(t)_j
V(t) = ^dx(t) / _{dt i} + ^dy(t) / _{dt j}
V_x = u_x ^dx / _dt + u_y ^dy / _dt

Descrizione intrinseca

Δs = s(b₂) - s(b₁)
_v(b₁) = lim _tb→0 Δs/Δt = ds/dt = _vt, tangente alla traiettoria _t

Accelerazione vettoriale media: _v(b₂) + _v(b₁)
_am = (_v(b₂) - _v(b₁)) / (t₂ - t₁) = Δ_v/Δt

Accelerazione istantanea: _ay = lim_Δt→0 Δ_v/Δt = d_v/dt

L'accelerazione può essere dovuta a: variazione del modulo della velocità a curvatura della traiettoria

Descrizione estrinseca

_a(t) = d_v/dt
_v(t) = _v(t) _ux + _vy (t) _uy
a(t) = d_v/dt _ux + d_v/dt _uy

Descrizione intrinseca

_v(t) = _{v t ut
a}(t) = d_v/dt
_a(t) = d_v/dt _ut + d²s/dt², intral derivato del modulo della velocità, accelerazione tangenziale

_t = 1^du _t + u^{t du} = 0
^du = V u_n

^du _dt = ^d accelerazione normale o centripeta
^du _dt = lim ^ds R
^du _dt = ^V _R u_n
a_t = \(\frac{dV}{dt} = 0 \quad \Rightarrow V \text{ cost} \quad \text{MOTO UNIFORME}\)
a_n = \(\frac{V^2}{R} = 0 \quad \Rightarrow \text{traslazione retta MOTO RETTILINEO} R \rightarrow \infty\)
a_t \quad a_n \quad \text{TIPOLOGIA}
0 \quad 0 \quad \text{UNIFORME}
IND \quad 0 \quad \text{RETTILINEO}
0 \quad 0 \quad \text{RETTILINEO UNIFORME}
\text{cost} \quad 0 \quad \text{RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO}
0 \quad \text{cost} \quad \text{CIRCOLARE UNIFORME}

Moto rettilineo armonico semplice

_________________ o _________________ -A \quad | \quad A \quad | \quad x

Moto periodico di periodo T
\(\cos(x+2\pi) = \cos(x)\)
\(\cos(x+tT) = \cos(x)\)
\(A \cos(\omega t+\omega T + \psi) = A \cos(\omega t + \psi)\)
\(A \cos(x+t\omega T) = A \cos(x)\)
\(\omega T = 2\pi\)
x(t) = A \cos(\omega t + \psi) = A \cos(2\pi ft + \psi) = A \cos(2\pi \frac{t}{T} + \psi)\)
\(\Rightarrow T = \frac{2\pi}{\omega} \Rightarrow f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}\)
v(t) = \(\frac{dx}{dt} = -A \sen(\omega t + \psi) \omega = -A \omega \sen(\omega t + \psi)\)
a(t) = \(\frac{dv}{dt} = -A \omega^2 \cos(\omega t + \psi) = -\omega^2 x(t)\)
x = x(t)
v = v(t)
x = +A
x = -A, punto di inversione del moto
x(t), v(t) si trovano sempre in quadratura di fase, ossia sono sfalsate di \(\frac{\pi}{2} (T/4)\) 
a = a(t)
x(t), a(t) si trovano in opposizione di fase, ossia sono sfalsate di \(\pi (T/2)\)
a(t) = - \(\omega^2 x(t)\)
Equazione dei moti armonici
Un corpo perturbato attorno alla sua posizione di equilibrio stabile si muove di moto armonico semplice

Moto del proiettile

a_y = -g = v̇_y
g = 9.8 m/s²
a⃗ = v⃗ = dν⃗/dt = g⃗
ν⃗(t) = V_o + g⃗t
r⃗(t) = ʏ_o + V_ot + 1/2 gt²
v_x(t) = V_ocosα
v_y(t) = V_osenα - gt
x(t) = V_ocosαt
y(t) = V_osenαt + y_o - 1/2 gt²

Moto rettilineo uniforme lungo x
Moto rettilineo uniformemente accelerato lungo y
t = x/V_ocosα => y = V_osenα x/V_ocosα - 1/2 g x²/V_o²cos²α
y = x tgα - 1/2 g x²/V_o²cos²α
y(x = 0)
x (tgα - 1/2 g x/V_o²cos²α) = 0
x_g = ...
y_max = y(x_g/2) = V_o²/2g sen²α
V_y(t*) = V_osenα - g t* = 0
t* = V_osenα/g

Moto circolare

s(t) = α(t) 2πR / 2π => s(t) = α(t) R
v(t) = ds/dt = R dα/dt
ω = dα/dt
v = ω R, velocità angolare (rad/s)
v(t) = ω x R
d/dt (ω(t) x R(t)) = dω/dt x R + ω x dR/dt
= dω/dt x R + ω x v

Accelerazione angolare
α(t) = dω/dt
a = α R + ω x vaccel tangaccel centrif

Moto circolare uniforme

ω = const => ω₀ = dα/dt
α = α₀ + ∫₀^t ω dt = α₀ + ω₀(t)
a = dv/dt = 0
s(t) = R (α₀ + ω₀ t)
v = v₀ R = const
α = dα/dt = 0
dα = ω₀ R = v₀² R = const
x(t) = R cos (x(t)) = Rcos (₀ + W₀t)
y(t) = R sen (x(t)) = Rsen (₀ + W₀t)
La proiezione del moto circolare uniforme sugli assi è il comportamento che molti moti armonici replicano in quadrature da fase.

Dinamica

1° Principio o inerzia

Un corpo non soggetto a forze continua il suo moto di moto rettilineo uniforme a meno che il moto noto di questo si inverta e la velocità di un corpo è magari la sua velocità intrinseca. Esistono sistemi di riferimento privilegiati: quello in cui vale il 1° principio sono detti inerziali. Uno dei privilegiati ha origine nel Sole e asse diretto verso delle fisse.

Note: Il principio relativistico galileiano: un sistema che ha moto di moto rettilineo uniforme ora un sistema universale e andremo reversibile = tutte le leggi della dinamica analogo in virtù che non si nota rettilineo uniforme tra loro. La Terra non è un sistema reversibile ma per brevi periodi può considerarlo un sistema universale.

2° Principio

L'interazione del corpo con l'ambiente (F) determina un'accelerazione proporzionale ad essa il cui coefficiente è la massa universale del corpo
F_r = m f²₀
F = m(qv)/dt
F?₀ = 0
∫dt = 0, v cost MRU
In questa forma vale solo nei sistemi inerziali, la legge di Newton perde di validità a velocità prossime a quelle delle luce e su corpi di dimensioni microscopiche.

3^o Principio

In natura le forze si presentano a coppie uguali e contrarie.

Forze fondamentali

• Interazione gravitazionale
• Interazione elettromagnetica
• Interazione nucleare debole
• Interazione nucleare forte

Interazione gravitazionale

Attrazione fra due corpi dovuta alla loro massa gravitazionale:
F_AB = F_BA = γ ^{m₁ m₂}/_r²
γ = 6.67 • 10^-11 m³/_{Kg s²}, è una forza debole.

Forza peso

Forza fra un corpo sulla superficie della Terra e la Terra stessa:
F_g = γ ^{M_T m_g}/_R² = m_g (^M_T/_R²) = m_g g
accelerazione di gravità 9.8 m/s²
F_p = -m₀ g ü ^r
F_p = m₀ ü a ü -m₀ g ü ^r = m₀ a ü
a = ^m₀/_m0 ü g ü ^r
massa inerziale e gravitazionale coincidono

Reazione vincolare

N+mg=0
N=-mg
Per un piano da appoggio può solo essere normale al ciclo
Vincolo unilatero
Vincolo bilatero

Forze di attrito

F_AS = F
F_AS ≤ F_{AS max}
F_{AS max} = μ_SN
coefficiente di attrito statico prova scalet con μ_S
F > F_{AS max}
F_AD = μ_DN
μ_D ≤ μ_S
La pressione nei punti di contatto è molto alta e spezzano micro saldature

Caso di equilibrio dinamico

Vincolo liscio: vincolo privo di attrito
Vincolo scabro: vincolo con attrito

Piano inclinato

1. Individuare le forze agenti sul punto
2. Usare la legge di Newton
3. Scrivere vettore in coordinate

Note utili unit accell

Controlli

1. Analisi dimensionale

Forze elastiche

Forza di richiamo F_e = -k x u_x
k costante elastica N/m

Molla ideale

l_riposo = 0

Molla reale

l_riposo ≠ x₀
F_e = -K|x - x₀|u_x

F_el = -k x u_x
F_el + mg + N = mã u_x
asse x: -Kx = mã u_x
ã = -K/m x

Moto armonico semplice

a = -ω² x⇒ ω² = K/m ⇒ ω = √K/m
T = 2π/ω = 2π √m/K
x(t) = Acos(ωt + φ)
v(t) = -Aωsen(ωt + φ)
x(t) = X₀ cos(ωt)

Pendolo semplice

• Filo inestensibile
• Massa trascurabile

P = -T
ma = mg + T
1)_T: ma_T = - mgsen
2)_N: ma_N = T - mgcos
1) a_T = - gsen
d_T = dv/dt, ds/dt, s(t) = l (t)
v(t) = l d/dt
a(t) = l d²/dt² => l d²/dt² = - gsen
d²/dt² = g/l sen
se α è molto piccolo approssimo sen = d²/dt² = - g/l, equazione moto armonico
a = -w²x
d²/dt² = - w² x
w² = g/l => w = √g/l
T = 2π √l/g
(t) = _ocos(wt+ )
s(t) = _olcos(wt+ )
v(t) = - _olwsin(wt+ )
(0) = o, v(0) = 0
(0) = o cos = o, v(0) = - _olwsen = =0
_o=A
s(t) = _ol cos(wt)
osserviamo delle oscillazioni

2) m \vec{a}_{n} = \(\frac{T - mg \cos \alpha}{\frac{r}{N}}\)
\vec{a}_{n} = -\(\frac{v^{2}}{l}\)
T = m \(\frac{v^{2}}{l}\) + mg \cos \alpha

Forza di attrito viscoso

Un fluido esercita una forza su un corpo che si muove in esso
Liquidi: \vec{F}_{v} = -kV
Aeriformi: \vec{F}_{v} = -kV^{2} \hat{u}
m \vec{a} = mg + \vec{F}_{v} = mg - kV^{2} \hat{z} = -\frac{dv}{dt}
m \frac{dv}{dt} = mg - kV^{2} => \frac{dv}{dt} = g - \frac{k}{m} v

Grafico v-t
V{0} {|}= 0
V_{\infty} \equiv \frac{dv}{dt} = 0
g - \frac{k}{m} V_{\infty} = 0
V_{\infty} = \frac{mg}{k}
k = M C \quad \begin{array}{c} viscosità \\ coefficente di forma \end{array}

Ricerca di v(t)
\(\frac{dv}{dt} = -\frac{g}{\frac{k}{m}}v \Rightarrow \frac{dv}{\frac{k}{m}v} = dt\)
\(x = g - \frac{k}{m}v\)
\(dx = -\frac{k}{m}dv\)
\(\Rightarrow -\frac{m}{k} \int_{x_0}^{x} \frac{1}{x} dx = \int_{0}^{t} dt\)
\(\Rightarrow -\frac{m}{k} \int_{x_0}^{x} \frac{dx}{x} = dt\)
\(\Rightarrow \left[ -\frac{m}{k} \log\left(\frac{x}{x_0}\right) \right] = -\frac{k}{m}t\)
\(\Rightarrow x(t) = x_0 e^{\frac{k}{m}t}\)
\(\begin{aligned} v(0) &= 0 \\ x(0) &= x_0 = g \\ &= g - \frac{k}{m}v \\& \Rightarrow g-\frac{k}{m}v = g e^{\frac{k}{m}t} \Rightarrow \frac{k}{m}v(t) = g(1-e^{-\frac{k}{m}t}) \end{aligned}\)
\(v(t) = \frac{mg}{k} \left(1-e^{-\frac{k}{m}t}\right)\)
\(\frac{m}{k} = \text{costante di tempo} (\tau)\)
\(v(t) = V_{\infty}(1-e^{\frac{-t}{\tau}})\)
\(V \equiv V_{\infty} \text{ per } t \rightarrow \infty\)

Lavoro di una forza

_F^→ = cost
W = _F^→ . Δ_s^→ = |_F^→| |Δ_s^→| cosα
se -\(\frac{\pi}{2}\) ≤ α < \(\frac{\pi}{2}\) W > 0, Lavoro motore
se α > \(\frac{\pi}{2}\) ∨ α < \(\frac{3}{2}\)\(\pi\) W < 0, Lavoro resistente
se α = ±\(\frac{\pi}{2}\) W = 0

[J] = Joule = [N][m]
_F^→ variabile
dW_i = _F^→_i d_r^→_i
W = Σ dW_i , Σ _F^→_i d_r^→_i
W = ∫_PA^{P_{B F}→ . d_r→, integrale di linea}
W = ∫_PA^{P_B dW_i = ∫_PAP_B F_x dx + F_y dy}
dW = _F^→ d_r^→ = [F_x â_x^→ + F_y â_y^→] . [dx â_x^→ + dy â_y^→] == F_x dx + F_y dy

Il lavoro dipende dal processo
se dU = F_x dx + F_y dy W = ∫_PI^{P_F dU = U(P_I) - U(P_F)}
differenziale esatto
non dipende dal percorso in questo caso.