Appunti Fisica 2

MATEMATICA

1. DEFINIZIONE DI GRADIENTE, DIVERGENZA E ROTORE DI UN CAMPO VETTORIALE

- GRADIENTE È IL VETTORE DATO DALLE COMPONENTI DELLE 3 DERIVATE PARZIALI PRIME DELLA FUNZIONE LUNGO LE TRE DIREZIONI.

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)

DIVERGENZA

∇ · E = Σ_j=1³ δ^ij E_j (x) = div Ē

SE ∇ · E > 0 (< 0)

GRADIENTE CAMPO VETTORIALE PRODOTTO SCALARE

⁴E₁/∂x₁ + ∂E₂/∂x₂ + ∂E₃/∂x₃

^e_a ^e_a ^e_a

∇ × Ē = det / ∂/∂x₁ ∂/∂x₂ ∂/∂x₃ \ E₁ E₂ E₃ = rot Ē =

(^∂/∂x₂E₃ - ∂/∂x₃E₂, ∂/∂x₃E₁ - ∂/∂x₁E₃, ∂/∂x₁E₂ - ∂/∂x₂E₁)

2. CALCOLO DEL FLUSSO DI UN CAMPO ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE.

- SI DEFINISCE FLUSSO DEL CAMPO Ē ATTRAVERSO LA SUPERFICIE S LA QUANTITÀ SCALARE:

∅ (E) = ∫_S Ē · n ds

È UNA MISURA DEL NUMERO DI LINEE DEL CAMPO ELETTRICO CHE PASSA ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE

PROIEZIONE DEL CAMPO ELETTRICO LUNGO LA NORMALE DELLA SUPERFICIE.

3. VETTORE TANGENTE AD UNA CURVA E INTEGRALE DI LINEA: CIRCOLAZIONE DEL CAMPO ELETTRICO E MAGNETICO

• SI CONSIDERA UNA CURVA:

_P(^t) = ( x(t), y(t), z(t) ) = _{VETTOR POSIZIONE} ( x(t), y(t), z(t) )

• _t ∈ [0, 1]

• ^P(t = 0): PUNTO INIZIALE DELLA CURVA

• ^P(t = 1): PUNTO FINALE DELLA CURVA

IL VETTORE TANGENTE ALLA CURVA É:

^P'(t) = _d^dt _P(t) = _d^dt ( x(t), y(t), z(t) ) =

_{DERIVATA TOTALE}

= ( ^dx(t)_dt, ^dy(t)_dt, ^dz(t)_dt )

IL MODULO DEL VETTORE TANGENTE É DATO DA:

||^P'|| = √( ( ^dx_dt )² + ( ^dy_dt )² + ( ^dz_dt )² )

E IL VERSORE DEL VETTORE TANGENTE É:

^t̂ = ^P̂'_/||^P'||

• FUNZIONE CALCOLATA SU UNA CURVA:

• SIA ^∫(r) FUNZIONE IN R³:

^f(t) = ^∫ ( x(t), y(t), z(t) )

_{← PARAMETRO DELLA CURVA}

Sia il campo elettrico che il campo magnetico sono campi vettoriali ovvero sono descritti in ogni punto dello spazio tramite linee di campo.

5. Prodotto scalare fra due vettori. Prodotto vettoriale tra due vettori. Calcolo della forza di Lorenz.

Prodotto scalare

Prodotto _{x̅ ⋅ ȳ̅}

Prodotto commutativo

→ si ottiene scalare un numero

x̅ = (x₁, x₂, x₃)

ȳ̅ = (y₁, y₂, y₃)

x̅ ⋅ ȳ̅ = x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃

ȳ̅ ⋅ x̅ = x̅ ⋅ ȳ̅

Prodotto vettoriale

Prodotto _{x̅ ∧ ȳ̅}

Prodotto anti-commutativo

→ si ottiene un vettore

x̅ = (x₁, x₂, x₃)

ȳ̅ = (y₁, y₂, y₃)

x̅ ∧ ȳ̅ = (x₂y₃ - x₃y₂, x₃y₁ - x₁y₃, x₁y₂ - x₂y₁)

ȳ̅ ∧ x̅ = -x̅ ∧ ȳ̅

= Forza di Lorentz: È una forza che agisce su una carica elettrica in movimento all'interno di un campo magnetico:

F̅ = q̇ _m ⋅ (_{ω v̅} ∧ _B̅)

• massa
• accelerazione
• carica elettrica
• carica elettrica _puntiforme
• campo magnetico
• prodotto vettoriale
• vettore velocità con cui si muove
• la velocità della luce

La direzione della forza di Lorentz è perpendicolare al piano su cui giacciono i vettori velocità e campo magnetico; il verso della forza è dalla regola della mano destra. La forza di Lorentz riguarda qualsiasi particella carica che sia in movimento: se le particelle sono ferme la loro

pertanto si ha:

b) Φ(E) = 1/ε₀ (∑i qi)int.

essendo la somma estesa a tutte le cariche poste all'interno della superficie S.

nel caso più generale in cui il campo sia generato da una distribuzione continua di cariche descritta da una densità ρ, il flusso diviene:

b) Φ(E) = 1/ε₀ ∫ dq = 1/ε₀ ∫v ρ dv

dove l'integrale, esteso al volume V racchiuso dalla superficie S, rappresenta la carica totale contenuta all'interno di S.

le equazioni a e b costituiscono la legge di gauss.

il campo E è quello prodotto da tutte le cariche interne ed esterne alla superficie; però il suo flusso attraverso S dipende solo dalle cariche interne.

la legge di gauss nella forma:

Φ(E) = ∮s E i n_i ds = q/4πε₀ = ∮s r._i nⁱ ds -

= 9/4πε₀r² ∫ dv.S°9/E₀

è una legge integrale che lega il flusso del campo E attraverso una superficie chiusa a quelle sorgenti del campo che stanno all'interno della superficie. si dimostra che tale legge può essere espressa in forma differenziale tramite una relazione locale che lega la derivata del campo in un determinato punto con la densità di carica ρ in quel punto.

Φ(E) = ∮s E i n_i ds - ∫v ∇.E dv

FORZA ELETTRICA

CAMPO ELETTRICO

CARICA

Se questa è l'unica forza che agisce sulla particella, allora è la forza risultante.

Se anche altre forze agiscono sulla particella, la forza elettrica viene semplicemente sommata vettorialmente alle altre forze per determinarne la risultante.

La forza risultante causa l'accelerazione della particella.

CAMPO ELETTRICO GENERATO DAL DIPOLO È:

E_dipo = Eq_a + Eq_-q

= k [ (q / r₁²) r̂₁ + (-q / r₂²) r̂₂ ]

E₁ = CAMPO ELETTRICO DI q₁

E₂ = CAMPO ELETTRICO DI q₂

E = RISULTANTE

r̂₁ = (x, y, z) - (a, 0, 0) = (x - a, y, z)

r₁² = (x - a)² + y² + z²

r̂₂ = (x, y, z) - (-a, 0, 0) = (x + a, y, z)

r₂² = (x + a)² + y² + z²

Sostituendo si ottiene:

E_dipo = kq [ (x - a) / [(x - a)² + y² + z²]^3/2 - (x + a) / [(x + a)² + y² + z²]^3/2 ]

Si calcola il campo elettrico per ciascuna componente:

E_x (P̂) = kq [ x - a / [(x - a)² + y² + z²]^3/2 - x + a / [(x + a)² + y² + z²]^3/2 ]

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E(r) 4πr² = _q/^ε₀ ⇒ q = ⁴/₃πR³σ

Di conseguenza si ha:

E(r) = ^q/4πε₀r² = ^σN/_3ε0r²

Per cui se la carica fosse concentrata nel centro della sfera. All'interno (r < R) esiste una carica distribuita uniformemente e il campo elettrico è non e più nullo; resta però valido l'argomento di simmetria che porta ad un campo elettrico radiale per cui il flusso attraverso una superficie sferica di raggio r si scrive:

Φ(⨀) 4πr²E = ^q'/_ε0 carica contenuta all'interno della superficie S'

Si ha:

^q'/₃ 4πr³ = ^q/₃ ^4πR³/₃ = q ^r3/R³

Ne segue che il modulo del campo elettrostatico a distanza r < R dal centro vale:

E = ^q'/4πε₀r² = ^{q r}/4πε₀R³ = ^{σ r}/3 ε₀

In conclusione, il campo cresce linearmente dal valore zero assunto nel centro della sfera al valore σR/3ε₀ = σ/4πε₀r² assunto sulla superficie della sfera; all'esterno esso decresce con il quadrato della distanza dal centro. Per r = R il campo è continuo.

11. Condensatori, capacità dei condensatori. Come si modifica la carica del condensatore in funzione del tempo (carica/scarica). Capacita di un condensatore piano e di uno sferico.

- Un condensatore e un sistema di due conduttori tra i quali c'è inun

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