Riassunto esame Matematica per l'Economia, prof. Ferretti, libro consigliato Matematica 2: per l'Economia e le Scienze, Simon, Blume - parte prima

Matematica per l’economia

Capitolo 3 - Funzioni di più variabili

3.1 Funzioni definite tra spazi euclidei

[Dettagli su come le funzioni sono definite tra spazi euclidei.]

3.2 Rappresentazione geometrica delle funzioni

[Descrizione della rappresentazione geometrica delle funzioni.]

3.3 Funzioni particolari

[Esempi e descrizioni di funzioni particolari.]

3.4 Funzioni continue

[Descrizione delle funzioni continue e loro proprietà.]

3.5 Terminologia relativa alle funzioni

[Glossario e terminologia utilizzata per le funzioni.]

Capitolo 4 – Calcolo differenziale in più variabili

4.1 Derivata parziale: definizione ed esempi

Variazione parziale dovuta alla variazione di una sola variabile x, la corrispondente derivata è detta derivata parziale di f rispetto x, indicata con ∂f/∂x.

4.2 Interpretazione economica

Per la funzione di una sola variabile y=f(x), la derivata f’(x) misura la variazione di y conseguente a una variazione di x: Δy≈f’(x)Δx. [...]

4.3 Interpretazione geometrica

[Descrizione dell'interpretazione geometrica delle derivate.]

4.4 Differenziale

Supponiamo di voler studiare il comportamento della funzione di due variabili F(x;y) in un intorno del punto (x*;y*). F(x*+Δx; y*+Δy) ≈ F(x*;y*) + ∂F/∂x (x*;y*) Δx + ∂F/∂y (x*;y*) Δy; il secondo membro è l’espressione parametrica del piano tangente al grafico di F nel punto (x*;y*;F(x*;y*)) ed è una buona approssimazione del grafico stesso vicino al punto (x*;y*;F(x*;y*)).

Per una funzione di una sola variabile, la corrispondente approssimazione è f(x*+h)≈f(x*)+f’(x*)h; il secondo membro è l’espressione parametrica della retta tangente al grafico di f nel punto x*. Pertanto il secondo membro sta a dire che la retta tangente al grafico di f in x* è una buona approssimazione del grafico stesso vicino al punto (x*;f(x*)).

Il gradiente è il vettore che raccoglie le derivate parziali e definisce la migliore approssimazione lineare di F nel punto ∇(x*;y*): F(x*;y*)=(∂F/∂x (x*;y*); ∂F/∂y (x*;y*)). Se consideriamo la funzione di n variabili F(x₁, …, xₙ) in un intorno del punto x*=(x*₁, …, x*ₙ), vale F(x* +Δx₁, …, x* +Δxₙ) ≈ F(x*₁, …, x*ₙ) + ∂F/∂x₁(x*) Δx₁ +…+ ∂F/∂xₙ(x*) Δxₙ.

4.6 Derivata direzionale e gradiente ∇

Derivata direzionale di F in x* nella direzione v: DᵥF(x₀)= ∇F(x₀)·v = f’₁(x₀)v₁ +…+ f’ₙ(x₀)vₙ. Ma è anche vero che DᵥF(x₀)=||∇F(x₀)||cosθ con ||∇F(x₀)||=√[(F’₁(x*))² +…+ (F’ₙ(x*))²].

Sia F:ℝⁿ→ℝ una funzione di classe C¹. Per ogni x del dominio tale che F(x)≠0, il gradiente F(x) applicato nel punto x indica la direzione in cui F aumenta più rapidamente.

Teorema del valore medio: Sia F:U→ℝ una funzione di classe C¹ definita su un insieme aperto U ⊆ ℝⁿ e siano a e b due punti di U tali che tutto il segmento ab che li unisce appartenga a U. Allora esiste un punto c in ab tale che F(b)-F(a)=DᵥF(c)(b-a).

4.8 Derivata di ordine superiore

In generale, se esistono tutte le derivate fino all’ordine k e sono continue sull’intervallo J, la funzione f è detta variabile k(o differenziabile) k volte con continuità, o di classe Cᵏ, in J.

La matrice hessiana è la matrice quadrata n×n le cui derivate parziali seconde sono a due a due uguali.

Teorema di Schwarz: Supponiamo che la funzione y=f(x₁,…,xₙ) sia di classe C² sull’insieme aperto J di ℝⁿ. Allora per ogni x appartenente a J e per ogni coppia di indici i,j vale ∂²f/∂xᵢ∂xⱼ (x)= ∂²f/∂xⱼ∂xᵢ (x), ovvero, le derivate parziali seconde sono uguali.

Capitolo 5 – Funzioni implicite

5.1 Funzioni implicite

Non sempre l’equazione G(x;y)=c definisce implicitamente y in funzione di x (o viceversa). Consideriamo per esempio l’equazione x² + y² = 1, se x>1 non esiste alcuna y che la soddisfa, quindi essa non definisce implicitamente y in funzione di x. In generale, data una soluzione (x₀;y₀) dell’equazione G(x;y)=c, si vuole sapere se al variare x vicino a x₀ esistono y vicini a y₀ per i quali l’equazione è ancora soddisfatta.

Teorema della funzione implicita I: Sia G(x;y) una funzione di classe C¹ su un intorno sferico del punto (x₀;y₀) di ℝ², e valga G(x₀;y₀)=c. Consideriamo l’equazione G(x;y)=c. Se (∂G/∂y)(x₀;y₀)≠0, esiste una funzione y=y(x) di classe C¹ definita su un intorno I del punto x₀ e a valori in un intorno J di y₀ tale che G(x;y(x))≡c per ogni x di I; y(x₀)=y₀; y’(x₀)=-[(∂G/∂x)(x₀;y₀)/(∂G/∂y)(x₀;y₀)].

Teorema della funzione implicita II: Sia G(x₁,…,xₖ,y) una funzione di classe C¹ in un intorno del punto (x*₁,…,x*ₖ,y*). Supponiamo che in tale punto valga G(x*₁,…,x*ₖ,y*)=c e (∂G/∂y)(x*₁,…,x*ₖ,y*)≠0. Allora esiste una funzione y=y(x₁,…,xₖ) definita su un intorno sferico B del punto (x*₁,…,x*ₖ) e a valori in un intorno J di y* tale che G(x₁,…,xₖ,y(x₁,…,xₖ))≡c per ogni (x₁,…,xₖ) appartenente a B; y*=y(x*₁,…,x*ₖ); per ogni i vale ∂y/∂xᵢ(x*₁,…,x*ₖ)=-[(∂G/∂xᵢ)(x*₁,…,x*ₖ,y*)/(∂G/∂y)(x*₁,…,x*ₖ,y*)].

5.2 Curve di livello e loro tangenti

Il teorema della funzione implicita dà la pendenza f’(x) della retta tangente al grafico in (x;y), ossia la pendenza della curva in G(x;y)=c.

Teorema della funzione implicita III: Sia (x₀;y₀) un punto appartenente al luogo geometrico definito da G(x;y)=c, dove G è una funzione di classe C¹ di due variabili. Se (∂G/∂y)(x₀;y₀)≠0, l’equazione G(x;y)=c definisce in un intorno di (x₀;y₀) una curva regolare che può essere considerata il grafico di una funzione y=f(x) di classe C¹. Inoltre la pendenza di tale curva è data da -[(∂G/∂x)(x₀;y₀)/(∂G/∂y)(x₀;y₀)]. Se vale (∂G/∂y)(x₀;y₀)=0 ma (∂G/∂x)(x₀;y₀)≠0, il luogo dei punti tali che G(x;y)=c è una curva regolare liscia in un intorno del punto (x₀;y₀) che definisce x in funzione di y. Inoltre la retta tangente alla curva nel punto (x₀;y₀) è parallela all’asse y, ossia verticale.

Un punto (x₀;y₀) è detto punto regolare della funzione C¹ G(x;y) se (∂G/∂x)(x₀;y₀)≠0 oppure (∂G/∂y)(x₀;y₀)≠0, ossia se non è un punto stazionario.

Sia G una funzione C¹ in un intorno del punto (x₀;y₀). Supponiamo che (x₀;y₀) sia un punto regolare di G. Allora il gradiente G(x₀;y₀) è perpendicolare all’insieme di livello G nel punto (x₀;y₀).

Capitolo 6 – Forme quadratiche

6.1 Forme quadratiche

Ogni forma quadratica Q può essere caratterizzata dalla matrice simmetrica A tale che Q(x)=xᵀAx.

Per esempio, la generale forma quadratica di due variabili a₁₁x₁² + a₁₂x₁x₂ + a₂₂x₂² può essere scritta nella forma matriciale.

6.2 Segno delle forme quadratiche

Ogni forma quadratica si annulla nel punto x=0. Se y=ax² con a>0 allora f è definita positiva e x=0 è minimo globale → la funzione è U. Se y=ax² con a<0 allora f è definita negativa e x=0 è massimo globale → la funzione è ∩.

Se q(0)=0, e q(x)>0 per un x: q(x₁)>0 è positiva, se <0 per x: q(x₂)<0 è negativa, allora è indefinita (forma quadratica che può assumere valori sia positivi sia negativi).

Se q(0)=0 e q(x)≥0 per ogni x≠0 allora è semidefinita positiva (forma quadratica che è sempre positiva o nulla ma si annulla in punti x diversi dall’origine). Se q(0)=0 e q(x)≤0 per ogni x≠0 allora è semidefinita negativa (forma quadratica che non è mai positiva ma può annullarsi in punti diversi dall’origine).

La matrice simmetrica A di dimensione n×n si dice:

• Definita positiva se xᵀAx>0 per ogni x≠0 di ℝⁿ
• Semidefinita positiva se xᵀAx≥0 per ogni x≠0 di ℝⁿ
• Definita negativa se xᵀAx<0 per ogni x≠0 di ℝⁿ
• Semidefinita negativa se xᵀAx≤0 per ogni x≠0 di ℝⁿ
• Indefinita se xᵀAx>0 per almeno un x di ℝⁿ, e se xᵀAx<0 per almeno un x di ℝⁿ

Una matrice definita positiva (negativa) è ovviamente semidefinita positiva (negativa).

Condizione del secondo ordine e convessità: Data la funzione di una sola variabile y=f(x), il segno della derivata seconda f’’(x₀) in un punto stazionario x₀ di f dà una condizione sufficiente per determinare se x₀ è un punto di minimo o massimo.

Minori principali di una matrice: Sia A una matrice n×n. La sottomatrice k×k ottenuta da essa eliminando n-k colonne e le stesse n-k righe si dice sottomatrice principale di A di ordine k. Il determinante di una sottomatrice principale k×k è detto minore principale di A di ordine k.

Sia A una matrice n×n. La sottomatrice principale di ordine k ottenuta eliminando le ultime n-k righe e le ultime n-k colonne è detta sottomatrice principale di nord-ovest di ordine k. Il suo determinante è detto minore principale di nord-ovest di ordine k. Indicheremo la sottomatrice principale di nord-ovest di ordine k con A_k e il minore principale di nord-ovest con |A_k|.

Una matrice n×n ha n matrici principali di nord-ovest: la matrice di nord-ovest 1×1, la matrice di nord-ovest 2×2 e così via. Il seguente teorema fornisce un criterio per determinare il segno di una forma quadratica, basato sul segno dei minori principali di nord-ovest.

Sia A una matrice simmetrica n×n:

• A è definita positiva se e solo se tutti i suoi n minori principali di nord-ovest sono positivi
• A è definita negativa se e solo se tutti i suoi n minori principali di nord-ovest si alternano in segno nel seguente modo: |A₁|<0, |A₂|>0, |A₃|<0 e così via, ovvero il minore principale di nord-ovest di ordine k ha lo stesso segno di (-1)^k
• Se almeno un minore principale di nord-ovest di ordine k è diverso da zero ma non soddisfa nessuno dei due andamenti precedenti, A è indefinita. Ciò accade quando A ha un minore principale di nord-ovest di ordine k che non segue le condizioni di positività o alternanza di segni.