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Riassunto esame Matematica per l'Economia, prof. Ferretti, libro consigliato Matematica 2: per l'Economia e le Scienze, Simon, Blume - parte prima Appunti scolastici Premium

Riassunto per l'esame di Matematica per l'Economi, basato su appunti personali e studio autonomo del testo Matematica 2: per l'Economia e le Scienze di Simon e Blume consigliato dalla docente Ferretti.
Gli argomenti sono:
- cap. 4 Calcolo differenziale in più variabili;
- cap. 5 Funzioni implicite;
- cap. 6 Forme quadratiche;
- cap. 7 Ottimizzazione libera;
- cap. 8... Vedi di più

Esame di Matematica per l'economia docente Prof. P. Ferretti

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1

Teorema della funzione implicita II: Sia G(x ;…,x ,y) una funzione di classe C in un intorno del punto (x* ;…;x* ;y*).

1 k 1 k 1

Supponiamo che in tale punto valga G(x* ;…;x* ;y*)=c e (∂G/∂y)(x* ;…;x* ;y*)≠0. Allora esiste una funzione C

1 k 1 k

y=y(x ;…;x ) definita su un intorno sferico B del punto (x* ;…;x* ) e a valori in un intorno J di y* tale che

1 n 1 k

G(x ,…,x ;y(x ,…,x ))≡c per ogni (x ,…,x ) appartenente a B; y*=y(x* ;…;x* ); per ogni i vale

1 k 1 k 1 k 1 k

∂y/∂x (x* ,…,x* )=-[(∂G/∂x )(x* ;…;x* ;y*)/(∂G/∂y)(x* ;…;x* ;y*)].

i 1 k i 1 k 1 k

5.2 Curve di livello e loro tangenti

Il teorema della funzione implicita dà la pendenza f’(x) della retta tangente al grafico in (x;y) ossia la pendenza della

curva in G(x;y)=c.

Teorema della funzione implicita III: Sia (x ;y ) un punto appartenente al luogo geometrico definito da G(x;y)=c, dove

0 0

1

G è una funzione di classe C di due variabili. Se (∂G/∂y)(x ;y )≠0, l’equazione G(x;y)=c definisce in un intorno di

0 0 1

(x ;y ) una curva regolare che può essere considerata il grafico di una funzione y=f(x) di classe C . Inoltre la pendenza

0 0

di tale curva è data da -[(∂G/∂x)(x ;y )/(∂G/∂y)(x ;y )]. Se vale (∂G/∂y)(x ;y )=0 ma (∂G/∂x)(x ;y )≠0, il luogo dei punti

0 0 0 0 0 0 0 0

tali che G(x;y)=c è una curva regolare liscia in un intorno del punto (x ;y ) che definisce x in funzione di y. Inoltre la

0 0

retta tangente alla curva nel punto (x ;y ) è parallela all’asse y, ossia verticale.

0 0 1

Un punto (x ;y ) è detto punto regolare della funzione C G(x;y) se (∂G/x)(x ;y )≠0 oppure (∂G/y)(x ;y )≠0 ossia se non

0 0 0 0 0 0

è un punto stazionario. 1

Sia G una funzione C in un intorno del punto (x ;y ). Supponiamo che (x ;y ) sia un punto regolare di G. Allora il

0 0 0 0

gradiente G

(x ;y ) è perpendicolare all’insieme di livello G nel punto (x ;y ).

0 0 0 0

CAPITOLO 6 – FORME QUADRATICHE

6.1 Forme quadratiche T

Ogni forma quadratica Q può essere caratterizzata dalla matrice simmetrica A tale che Q(x)=x Ax

12 22

Per esempio, la generale forma quadratica di due variabili a x +a x x +a x può essere scritta nella forma matriciale

11 12 1 2 22

6.2 Segno delle forme quadratiche

Ogni forma quadratica si annulla nel punto x=0.

2

Se y=ax con a>0 allora f è definita positiva e x=0 è minimo globale -> la funzione è U.

2

Se y=ax con a<0 allora f è definita negativa e x=0 è massimo globale -> la funzione è ∩.

Se q(0)=0, e q(x) se >0 x :q(x )>0 è positiva, se <0 x :q(x )<0 è negativa, allora è indefinita (forma quadratica che può

1 1 2 2

assumere valori sia positivi sia negativi).

Se q(0)=0 e q(x)≥0 per ogni x≠0 allora è semidefinita positiva (forma quadratica che è sempre positiva o nulla ma si

annulla in punti x diversi dall’origine).

Se q(0)=0 e q(x)≤0 per ogni x≠0 allora è semidefinita negativa (forma quadratica che non è mai positiva ma può

annullarsi in punti diversi dall’origine).

La matrice simmetrica A di dimensione n*n si dice

T n

Definita positiva se x Ax>0 per ogni x≠0 di R

T n

Semidefinita positiva se x Ax≥0 per ogni x≠0 di R

T n

Definita negativa se x Ax<0 per ogni x≠0 di R

T n

Semidefinita negativa se x Ax≤0 per ogni x≠0 di R

T n T n

Indefinita se x Ax>0 per almeno un x di R , e se x Ax<0 per almeno un x di R

Una matrice definita positiva (negativa) è ovviamente semidefinita positiva (negativa).

Condizione del secondo ordine e convessità: Data la funzione di una sola variabile y=f(x), il segno della derivata

seconda f’’(x ) in un punto stazionario x di f dà una condizione sufficiente per determinare se x è un punto di minimo o

0 0 0

di massimo.

Minori principali di una matrice: Sia A una matrice n*n. La sottomatrice k*k ottenuta da essa eliminando n-k colonne e

le stesse n-k righe si dice sottomatrice principale di A di ordine k. Il determinante di una sottomatrice principale k*k è

detto minore principale di A di ordine k.

Sia A una matrice n*n. La sottomatrice principale di ordine k ottenuta eliminando le ultime n-k righe e le ultime n-k

colonne è detta sottomatrice principale di nord-ovest di ordine k. Il suo determinante è detto minore principale di

nord-ovest di ordine k. Indicheremo la sottomatrice principale di nord-ovest di ordine k con A e il minore principale di

k

nord-ovest con | A |.

k

Una matrice n*n ha n matrici principali di nord-ovest: la matrice di nord-ovest 1*1, la matrice di nord-ovest 2*2 e così

via. Il seguente teorema fornisce un criterio per determinare il segno di una forma quadratica, basato sul segno dei

minori principali di nord-ovest.

Sia A una matrice simmetrica n*n

A è definita positiva se e solo se tutti i suoi n minori principali di nord-ovest sono positivi

A è definita negativa se e solo se tutti i suoi n minori principali di nord-ovest si alternano in segno nel seguente modo:

k

|A |<0, |A |>0, |A |<0 e così via, ovvero il minore principale di nord-ovest di ordine k ha lo stesso segno di (-1)

1 2 3

Se almeno un minore principale di nord-ovest di ordine k è diverso da zero ma non soddisfa nessuno dei due andamenti

precedenti, A è indefinita. Ciò accade quando A ha un minore principale di nord –ovest di ordine k negativo per k pari, o

quando A ha un minore principale di nord-ovest di ordine k negativo e uno di ordine C positivo per due distinti valori

dispari di k e C.

Data la matrice simmetrica A n*n, A è semidefinita positiva se e solo se ogni minore principale di A è positivo o nullo; è

semidefinita negativa se e solo se ogni minore principale di ordine dispari è negativo o nullo, ogni minore principale di

ordine pari è positivo o nullo.

Data la matrice simmetrica A di dimensione 4*4, indichiamo con |A | l’i-esimo minore principale di nord-ovest

i

Se |A |>0 |A |>0 |A |>0 |A |>0, allora A è definita positiva (e viceversa)

1 2 3 4

Se |A |<0 |A |>0 |A |<0 |A |>0, allora A è definita negativa (e viceversa)

1 2 3 4

Se |A |>0 |A |>0 |A |=0 |A |<0, allora A è indefinita (a causa di A )

1 2 3 4 4

Se |A |<0 |A |<0 |A |<0 |A |<0, allora A è indefinita (a causa di A e A )

1 2 3 4 2 4

Se |A |=0 |A |<0 |A |>0 |A |=0, allora A è indefinita (a causa di A )

1 2 3 4 2

Se |A |>0 |A |=0 |A |>0 |A |>0, allora A è non definita, non è semidefinita negativa, ma potrebbe essere semidefinita

1 2 3 4

positiva. Per verificarlo, è necessario calcolare tutti i 15 minori principali di A, non solo quelli nord-ovest. Se nessuno

dei minori principali è negativo, la matrice A è semidefinita positiva. Se almeno uno di essi è negativo, A è indefinita.

Se |A |=0 |A |>0 |A |=0 |A |>0, allora A non è definita, ma può essere semidefinita positiva o negativa. Occorre

1 2 3 4

analizzare il segno di tutti i 15 minori principali.

6.3 Vincoli lineari e matrici orlate

12 22

La forma quadratica Q(x ;x )= ax +2bx x +cx è definita positiva (rispettivamente, negativa) sull’insieme ammissibile

1 2 1 2

definito dal vincolo Ax +Bx =0 se e solo se

1 2

è negativo (rispettivamente, positivo). T

Data la forma quadratica in n variabili Q(x)=x Ax ristretta all’insieme definito dalle m equazioni lineari Bx=0 con m<n,

costruiamo la matrice simmetrica (n+m)*(n+m) orlando la matrice H in alto e a sinistra con la matrice B dei coefficienti

dei vincoli lineari:

Analizziamo i segni degli ultimi n-m minori principali di nord-ovest di H a partire dal determinante di H stessa.

n

a) Se H ha lo stesso segno di (-1) e gli ultimi n-m minori principali di nord-ovest hanno segno alterno, allora Q è

definita negativa sull’insieme ammissibile dato da Bx=0, e x=0 è un punto di massimo globale stretto di Q sull’insieme

ammissibile. m

b) Se H e gli ultimi n-m minori principali di nord-ovest hanno tutti lo stesso segno di (-1) , allora Q è definita positiva

sull’insieme ammissibile dato da Bx=0, e x=0 è punto di minimo globale stretto di Q sull’insieme ammissibile.

Se nessuna delle condizioni a) e b) è soddisfatta dai minori principali di nord-ovest non nulli, allora Q è indefinita

sull’insieme ammissibile dato da Bx=0, e x=0 non è né punto di massimo né di minimo per Q sull’insieme ammissibile.

Data la forma quadratica Q(x ;…;x ) soggetta a un vincolo lineare, costruiamo la matrice orlata di dimensione

1 n

(n+1)*(n+1). Sia A ≠0. Se gli ultimi n minori principali di nord-ovest di H hanno lo stesso segno, Q è definita

1 n+1

positiva sull’insieme ammissibile (e x=0 è punto di minimo vincolato per Q). Se gli ultimi n minori principali di

nord-ovest di H hanno segno alterno, Q è definita negativa sull’insieme ammissibile ( e x=0 è punto di massimo

n+1

vincolato per Q).

CAPITOLO 7 – OTTIMIZZAZIONE LIBERA

7.1 Definizioni

Il punto x* appartenente a U è punto di massimo per F su U se F(x*)≥F(x) per ogni x appartenente a U.

Il punto x* appartenente a U è punto di massimo in senso stretto se è di masso e se F(x*)≥F(x) per ogni x≠x*

appartenente a U.

Il punto x* appartenente a U è punto di massimo locale (o relativo) per F se esiste un intorno B (x*) di x* tale che

r

F(x*)≥F(x) per ogni x appartenente a B (x*) ∩ U.

r

Il punto x* appartenente a U è punto di massimo locale (o relativo) in senso stretto per F se esiste un intorno B (x*) di

r

x* tale che F(x*)>F(x) per ogni x≠x* appartenente a B (x*) ∩ U.

r

7.2 Condizioni del primo ordine

1 n

Sia F: U->R una funzione C definita su un sottoinsieme U di R . Se x* è punto di massimo o minimo locale per F su U

e se x* è punto interno di U, allora (∂F/∂x )(x*)=0 per i=1,…,n.

i

7.3 Condizioni del secondo ordine

2 n

Sia F: U->R una funzione C il cui dominio è un insieme aperto in R . Sia x* un punto stazionario di F, ossia tale che

DF(x*)=0. 2

a) Se la matrice hessiana D F(x*) è definita negativa, allora x* è punto di massimo locale in senso stretto di F.

2

b) la matrice hessiana D F(x*) è definita positiva, allora x* è punto di minimo locale in senso stretto di F.

2

c) la matrice hessiana D F(x*) è indefinita, allora x* non è né punto di massimo né di minimo -> un punto stazionario la

cui matrice hessiana sia indefinita è detto punto di sella della funzione F.

2

Sia F: U->R una funzione C di n variabili. Sia x* un punto interno di U.

a) Se x* è un punto di minimo locale per F, allora (∂F/∂x )(x*)=0 per i=1,…,n e tutti i minori principali della matrice

i

2

hessiana D F(x*) sono positivi o nulli.

b) Se x* è un punto di massimo locale per F, allora (∂F/∂x )(x*)=0 per i=1,…,n e tutti i minori principali della matrice

i

2

hessiana D F(x*) di ordine dispari sono negativi o nulli, quelli di ordine pari sono positivi o nulli.


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DESCRIZIONE APPUNTO

Riassunto per l'esame di Matematica per l'Economi, basato su appunti personali e studio autonomo del testo Matematica 2: per l'Economia e le Scienze di Simon e Blume consigliato dalla docente Ferretti.
Gli argomenti sono:
- cap. 4 Calcolo differenziale in più variabili;
- cap. 5 Funzioni implicite;
- cap. 6 Forme quadratiche;
- cap. 7 Ottimizzazione libera;
- cap. 8 Ottimizzazione vincolata I: Condizioni del primo ordine;
- cap. 10 Funzioni omogenee e omotetiche;
- cap. 13 Autovalori e autovettori;


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Agno90 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per l'economia e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Ca' Foscari Venezia - Unive o del prof Ferretti Paola.

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