Riassunto esame Matematica per l'Economia, prof. Ferretti, libro consigliato Matematica 2: per l'Economia e le Scienze, Simon, Blume - parte prima

CAPITOLO 8 – OTTIMIZZAZIONE VINCOLATA I: CONDIZIONI DEL PRIMO ORDINE

8.1 Esempi n

Si tratta di massimizzare f(x ,...,x ) dove (x ,...,x ) appartenente R deve soddisfare le condizioni

1 n 1 n

g (x ,...,x )≤b ,…,g (x ,...,x )≤b e h (x ,...,x )=c ,…,h (x ,...,x )=c

1 1 n 1 k 1 n k 1 1 n 1 m 1 n m

la funzione f è detta funzione obiettivo, le funzioni g e h (dette funzioni di vincolo) definiscono rispettivamente i

j j

vincoli disuguaglianza e quelli di uguaglianza. Spesso i vincoli di disuguaglianza sono semplicemente le condizioni di

non negatività x ≥0,…,x ≥0. In generale, i vincoli esprimono le relazioni funzionali che intercorrono fra le variabili.

1 n

8.2 Vincoli di uguaglianza

1

Siano f e h funzioni C di due variabili. Sia il punto x*=(x *;x *) una soluzione del problema massimizzare f(x ;x ) con

1 2 1 2

il vincolo h(x ;x )=c, supponiamo inoltre che (x *;x *) non sia un punto stazionario di h. Allora esiste un numero reale

1 2 1 2

μ* tale che (x *;x *; μ*) è punto stazionario della funzione lagrangiana L(x *;x *; μ*)≡f(x ;x )-μ[h(x ;x )-c]. In altri

1 2 1 2 1 2 1 2

termini, nel punto (x *;x *; μ*) valgono ∂L/∂x =0, ∂L/∂x =0 e ∂L/∂μ=0.

1 2 1 2

1

Siano f,h ,..,h funzioni di n variabili di classe C . Consideriamo il problema di massimizzare (o minimizzare) la

1 m

funzione f(x) sull’insieme ammissibile definito dalle condizioni C ≡{x=(x ,…,x ):h (x)=a ,…,h (x)=a }. Supponiamo

h 1 n 1 1 m m

che x* appartenente C sia un punto di massimo o minimo locale per f su C . Inoltre x* soddisfi la condizione QVND

h h

(qualificazione dei vincoli di non degenerazione). Allora esistono m moltiplicatori μ *,…, μ * tali che (x *,…,x *; μ *,

1 m 1 n 1

…, μ *)=(x*;μ*) è punto stazionario della lagrangiana L(x;μ)≡f(x)-μ [h (x)-a ]-…- μ [h (x)-a ]. In altri termini vale

m 1 1 1 m m m

(∂L/∂x )(x*;μ*)=0,…; (∂L/∂x )(x*;μ*)=0; (∂L/∂μ )(x*;μ*)=0,…; (∂L/∂μ )(x*;μ*)=0.

1 n 1 n

8.3 Vincoli di disuguaglianza

Il punto di tangenza della più alta curva di livello con l’insieme ammissibile è p. Poiché il punto p appartiene alla

∇ ∇

frontiera dell’insieme ammissibile su cui g(x;y)=b, si dice che in esso il vincolo è attivo e vale f( p)=λ g( p). Il

∇ ∇

gradiente di f in p deve puntare verso la regione in cui g(x;y)≥b. In conclusione f( p) e g( p) puntano nella stessa

direzione. Poiché nel punto q la funzione g(x;y) è (strettamente) minore di b (ossia q è interno all’insieme ammissibile),

possiamo dire che il vincolo è inattivo in q. Ponendo λ=0 si esclude da ogni considerazione la funzione di vincolo,

proprio quello che accade quando il vincolo non è attivo nel punto di massimo. In conclusione vi sono due possibilità:

o il vincolo è attivo, ossia g(x;y)-b=0, quindi però può essere λ≥0, oppure il vincolo è inattivo ossia g(x;y)-b<0, nel qual

caso deve valere λ=0. La condizione per cui una delle due disuguaglianze (quella del vincolo o del moltiplicatore) deve

essere soddisfatta come uguaglianza è detta condizione di complementarietà: λ[g(x;y)-b]=0.

1 2

Siano f e g funzioni C su R e sia (x*;y*) un punto di massimo per f sull’insieme ammissibile definito dal vincolo

g(x;y)≤b. Nel caso in cui fosse g(x*;y*)=b supponiamo inoltre che valga (∂g/∂x)(x*;y*)≠0 oppure (∂g/∂y)(x*;y*)≠0.

Introduciamo la lagrangiana L(x;y;λ)≡f(x;y)- λ[g(x;y)-b]. Allora esiste un moltiplicatore λ* tale che

a) (∂L/∂x)(x*;y*,λ*)= 0 c) λ*[g(x*;y*)-b]= 0 e) g(x*;y*)≤b

b) (∂L/∂y)(x*;y*,λ*)= 0 d) λ*≥ 0 ∇ ∇

Nei problemi con vincoli di disuguaglianza i gradienti f(

p) e g( p) puntano nella stessa direzione se applicati in un

punto di massimo, in direzione opposta se applicati in un punto di minimo.

Grazie alla condizione λ[g(x*;y*)-b]=0 se λ>0 sappiamo che il vincolo è attivo e perciò possiamo trattarlo come un

vincolo di uguaglianza anziché disuguaglianza.

1 n

Siano f,g ,…,g funzioni di C di n variabili. Sia x* appartenente R un punto di massimo locale di f sull’insieme

1 k

ammissibile definito dalle k disuguaglianze g (x ,...,x )≤b ,…,g (x ,...,x )≤b .

1 1 n 1 k 1 n k

Per comodità di notazione supponiamo che nel punto x* siano attivi i primi k vincoli, inattivi i rimanenti k-k .

0 0

Supponiamo inoltre che la seguente condizione di qualificazione dei vincoli di non degenerazione sia soddisfatta in x*:

il rango della matrice jacobiana dei vincoli attivi

è k .

0

Introduciamo la lagrangiana L(x ,…,x ;λ ,…, λ )≡f(x)-λ [g (x)-b ]-…-λ [g (x)-b ]. Allora esistono k moltiplicatori λ *,

1 n 1 k 1 1 1 k k k 1

…, λ * tali che

k

a) (∂L/∂x )(x*;y*)= 0,…, (∂L/∂x )(x*;y*)= 0 b) λ *[g (x*)-b ]= 0,…, λ *[g (x*)-b ]= 0 c) λ *≥ 0,…, λ *≥ 0

1 n 1 1 1 k k k 1 k

d) g (x*)≤b ,…, g (x*)≤b

1 1 k k

8.4 Vincoli misti 1 n

Siano f,g ,...,g ,h ,…,h funzioni C di n variabili con m<n. Sia x* appartenente R un punto di massimo locale per f

1 k 1 m

sull’insieme ammissibile definito dalle k disuguaglianze e m uguaglianze

g (x ,...,x )≤b ,…,g (x ,...,x )≤b e h (x ,...,x )=c ,…,h (x ,...,x )=c

1 1 n 1 k 1 n k 1 1 n 1 m 1 n m

Possiamo assumere che nel punto x* siano attivi i primi k vincoli di disuguaglianza, inattivi i rimanenti k- k .

0 0

Supponiamo inoltre che nel punto x* sia soddisfatta la condizione di qualificazione dei vincoli di non degenerazione: il

rango della matrice jacobiana relativa ai vincoli di uguaglianza e ai vincoli di disuguaglianza attivi

è k +m.

0

Introduciamo la funzione lagrangiana

L(x ,…,x ;λ ,…,λ ,μ ,…,μ )≡f(x)-λ [g (x)-b ]-…-λ [g (x)-b ]-μ [h (x)-c ]-…-μ [h (x)-c ]. Allora esistono k+m

1 n 1 k 1 m 1 1 1 k k k 1 1 1 m m m

moltiplicatori λ *,…, λ *,μ *,…, μ * tali che

1 k 1 m

a) (∂L/∂x )(x*;λ*)= 0,…, (∂L/∂x )(x*; λ*)= 0 b) λ *[g (x*)-b ]= 0,…, λ *[g (x*)-b ]= 0 c) h (x*)=c ,…, h (x*)=c

1 n 1 1 1 k k k 1 1 m m

d) λ *≥0,…, λ *≥0 e) g (x*)≤b ,…, g (x*)≤b . Look Esempio 8.10

1 k 1 1 k k

8.5 Problemi di minimo vincolato

Nel caso di vincoli in forma di uguaglianza e condizioni del primo ordine per un problema di minimo sono le stesse

relative a un problema di massimo. Nel caso di vincoli di disuguaglianza abbiamo introdotto una condizione sul segno

del moltiplicatore valida solo per problemi di massimo. Volendo rendere minima la funzione f si richiede che il

moltiplicatore sia negativo o nullo. Esiste però un altro modo per trattare u problemi di minimo, scrivendo i vincoli di

disuguaglianza nella forma g(x)≥b anziché g(x)≤b come nei problemi di massimo.

1 n

Siano f,g ,...,g ,h ,…,h funzioni C di n variabili con m<n. Sia x* appartenente R un punto di minimo locale per f

1 k 1 m

sull’insieme ammissibile definito dalle k disuguaglianze e m uguaglianze

g (x ,...,x )≥b ,…,g (x ,...,x )≥b e h (x ,...,x )=c ,…,h (x ,...,x )=c

1 1 n 1 k 1 n k 1 1 n 1 m 1 n m

Possiamo assumere che nel punto x* siano attivi i primi k vincoli di disuguaglianza, inattivi i rimanenti k- k .

0 0

Supponiamo inoltre che il rango della matrice jacobiana dei vincoli di uguaglianza e ai vincoli di disuguaglianza attivi

in x*: è k +m.

0

Introduciamo la funzione lagrangiana

L(x ,…,x ;λ ,…,λ ,μ ,…,μ )≡f(x)-λ [g (x)-b ]-…-λ [g (x)-b ]-μ [h (x)-c ]-…-μ [h (x)-c ]. Allora esistono k+m

1 n 1 k 1 m 1 1 1 k k k 1 1 1 m m m

moltiplicatori λ *,…, λ *,μ *,…, μ * tali che

1 k 1 m

a) (∂L/∂x )(x*;λ*)= 0,…, (∂L/∂x )(x*; λ*)= 0 b) λ *[g (x*)-b ]= 0,…, λ *[g (x*)-b ]= 0 c) h (x*)=c ,…, h (x*)=c

1 n 1 1 1 k k k 1 1 m m

d) λ *≥0,…, λ *≥0 e) g (x*)≥b ,…, g (x*)≥b . Look Esempio 8.11.

1 k 1 1 k k

8.6 Non negatività delle variabili

Nelle applicazioni economiche, il caso più frequente è quello di problemi in cui appaiono solo vincoli disuguaglianza e

tra questi in particolare i vincoli di non negatività di tutte le variabili: max f(x ,..,x ) sotto i vincoli g (x ,..,x )≤b ,…,

1 n 1 1 n 1

g (x ,..,x )≤b , x ≥0,…,x ≥0. È conveniente trattare i vincoli di non negatività separatamente dagli altri vincoli di

k 1 n k 1 n

disuguaglianza; a questo scopo si modifica la funzione lagrangiana introducendo la lagrangiana di Kuhn-Tucker.

Sia dato il problema di massimo vincolato max f(x ,..,x ) sotto i vincoli g (x ,..,x )≤b ,…, g (x ,..,x )≤b , x ≥0,…,x ≥0, in

1 n 1 1 n 1 k 1 n k 1 n

cui non vi sono vincoli di uguaglianza mentre vi sono i vincoli di non negatività per tutte le variabili. Introduciamo la

lagrangiana di Kuhn-Tucker L definita così L(x,λ ,…,λ )≡f(x)-λ [g (x)-b ]-…-λ [g (x)-b ]. Supponiamo che x* sia una

1 k 1 1 1 k k k

soluzione del problema e che la matrice (∂g /∂x ), dove i=i,…,k sono gli indici delle funzioni g dei vincoli attivi in x* e

i j 0 i

j appartiene all’insieme degli indici j tali che x *>0, abbia rango pari a k in x*. Allora esistono k moltiplicatori non

j 0

negativi λ *,…, λ * tali che x ,…,x ;λ ,…,λ è soluzione del sistema

1 k 1 n 1 k

(∂L/∂x )≤0,…,(∂L/∂x )≤0; x (∂L/∂x )=0,…,x (∂L/∂x )=0; (∂L/∂λ )≥0,…,(∂L/∂λ )≥0; λ (∂L/∂λ )=0,…,λ (∂L/∂λ )=0

1 1 1 1 n n 1 k 1 1 k k

CAPITOLO 9 – OTTIMIZZAZIONE VINCOLATA II

9.1 Il significato del moltiplicatore

I valori dei moltiplicatori (λ *,…, λ *) misurano la sensibilità del valore ottimo della funzione obiettivo alle variazioni

1 m

della costante che compare al secondo membro dei vincoli, perciò possono fornire una misura del valore delle risorse

scarse nel problema economico considerato.

1

Siano f e h funzioni C di due variabili. Per ogni valore di a fissato, sia (x*(a),y*(a)) soluzione del problema (1) e sia

1

μ*(a) il corrispondente valore del moltiplicatore. Sup