Riassunto esame Matematica per l'Economia, prof. Ferretti, libro consigliato Matematica 2: Simon, Blume - parte 2

Derivata direzionale ∇

Derivata direzionale di F in x* nella direzione v: D F(x )= F (x )*V=f’ (x )V +…+ f’ (x )V . Ma è anche vero che

V 0 0 1 0 1 n 0 n

∇ ∇ ∇

2 2

D F(x )=|| F

(x )||cosθ con || F

(x )||=√[(F’ (x*)) +…+ F’ (x*)) ]. || F

(x )|| è la lunghezza del vettore gradiente.

V 0 0 0 1 n 0

∇

Il gradiente F(x) applicato nel punto x indica la direzione in cui F aumenta più rapidamente.

Hessiana

La matrice hessiana è la matrice quadrata n*n le cui derivate parziali secondo sono a due a due uguali.

Funzione implicita 1

Se (∂G/∂y)(x ;y )≠0, esiste una funzione y=y(x) di classe C definita su un intorno I del punto x e a valori in un intorno

0 0 0

J di y tale che G(x;y(x))≡c per ogni x di I; y(x )=y ; y’(x )=-[(∂G/∂x)(x ;y )/(∂G/∂y)(x ;y )].

0 0 0 0 0 0 0 0

Curve di livello e loro tangenti

Il teorema della funzione implicita dà la pendenza f’(x) della retta tangente al grafico in (x;y) ossia la pendenza della

curva in G(x;y)=c.

Punto regolare 1

Un punto (x ;y ) è detto punto regolare della funzione C G(x;y) se (∂G/x)(x ;y )≠0 oppure (∂G/y)(x ;y )≠0 ossia se non

0 0 0 0 0 0

è un punto stazionario. ∇

Supponiamo che (x ;y ) sia un punto regolare di G. Allora il gradiente G

(x ;y ) è perpendicolare all’insieme di livello

0 0 0 0

∇

G nel punto (x ;y ): V* G

(x ;y )=0.

0 0 0 0

Forme quadratiche T

Ogni forma quadratica Q può essere caratterizzata dalla matrice simmetrica A tale che Q(x)=x Ax

Segno delle forme quadratiche

2

Se y=ax con a>0 allora f è definita positiva e x=0 è minimo globale -> la funzione è U (convessa)

2

Se y=ax con a<0 allora f è definita negativa e x=0 è massimo globale -> la funzione è ∩ (concava)

Minori principali di una matrice

Sia A una matrice n*n. La sottomatrice k*k ottenuta da essa eliminando n-k colonne e le stesse n-k righe si dice

sottomatrice principale di A di ordine k. Il determinante di una sottomatrice principale k*k è detto minore principale di

A di ordine k.

Minori principali di Nord-Ovest o di guida di una matrice

Sia A una matrice n*n. La sottomatrice principale di ordine k ottenuta eliminando le ultime n-k righe e le ultime n-k

colonne è detta sottomatrice principale di nord-ovest di ordine k. Il suo determinante è detto minore principale di

nord-ovest di ordine k. Indicheremo la sottomatrice principale di nord-ovest di ordine k con A e il minore principale di

k

nord-ovest con | A |. Una matrice n*n ha n matrici principali di nord-ovest

k

Segno forme quadratiche con minori principali di Nord-Ovest

Sia A una matrice simmetrica n*n

A è definita positiva se e solo se tutti i suoi n minori principali di nord-ovest sono positivi

A è definita negativa se e solo se tutti i suoi n minori principali di nord-ovest si alternano in segno nel seguente modo:

k

|A |<0, |A |>0, |A |<0 e così via, ovvero il minore principale di nord-ovest di ordine k ha lo stesso segno di (-1)

1 2 3

Se almeno un minore principale di nord-ovest di ordine k è diverso da zero ma non soddisfa nessuno dei due andamenti

precedenti, A è indefinita.

A è semidefinita positiva se e solo se ogni minore principale di A è positivo o nullo; è semidefinita negativa se e solo se

ogni minore principale di ordine dispari è negativo o nullo, ogni minore principale di ordine pari è positivo o nullo.

Forma quadratica con vincolo 12 22

La forma quadratica Q(x ;x )= ax +2bx x +cx è definita positiva (rispettivamente, negativa) sull’insieme ammissibile

1 2 1 2

definito dal vincolo Ax +Bx =0 se e solo se è negativo (rispettivamente, positivo).

1 2

Forma quadratica con vincoli T

Data la forma quadratica in n variabili Q(x)=x Ax ristretta all’insieme definito dalle m equazioni lineari Bx=0 con m<n,

costruiamo la matrice simmetrica (n+m)*(n+m) orlando la matrice H in alto e a sinistra con la matrice B dei coefficienti

dei vincoli lineari:

Analizziamo i segni degli ultimi n-m minori principali di nord-ovest di H a partire dal determinante di H stessa.

n

a) Se H ha lo stesso segno di (-1) e gli ultimi n-m minori principali di nord-ovest hanno segno alterno, allora Q è

definita negativa. x=0 è un punto di massimo globale stretto di Q sull’insieme ammissibile.

m

b) Se H e gli ultimi n-m minori principali di nord-ovest hanno tutti lo stesso segno di (-1) , allora Q è definita positiva.

x=0 è punto di minimo globale stretto di Q sull’insieme ammissibile.

Se nessuna delle condizioni a) e b) è soddisfatta dai minori principali di nord-ovest non nulli, allora Q è indefinita

sull’insieme ammissibile dato da Bx=0, e x=0 non è né punto di massimo né di minimo per Q sull’insieme ammissibile.

Condizioni del primo ordine

Se x* è punto di massimo o minimo locale allora (∂F/∂x )(x*)=0 per i=1,…,n.

i

Condizioni del secondo ordine

Sia x* un punto stazionario di F, ossia tale che DF(x*)=0.

2

a) Se la matrice hessiana D F(x*) è definita negativa, allora x* è punto di massimo locale in senso stretto di F.

2

b) la matrice hessiana D F(x*) è definita positiva, allora x* è punto di minimo locale in senso stretto di F.

2

c) la matrice hessiana D F(x*) è indefinita, allora x* è punto di sella della funzione F.

Qualificazione del vincolo

Le derivate parziali del vincolo calcolate nel punto di massimo x devono essere diverse da zero. Se il vincolo è lineare

la condizione di qualificazione è soddisfatta ovunque. Metto a sistema le derivate parziali del vincolo e le uguaglio a

zero. In tal modo trovo il punto (x;y) in cui le derivate sono uguali a zero (condizione del primo ordine per un punto

stazionario: massimo o minimo). Se il punto (x;y) calcolato nel vincolo non soddisfa l’equazione significa che non

appartiene al vincolo e pertanto la condizione di qualificazione dei vincoli è verificata.

Qualificazione dei vincoli o qualificazione dei vincoli di non degenerazione (QVND)

Le derivate parziali degli m vincoli costituiscono la matrice jacobiana m*m. Il rango di questa matrice jacobiana deve

essere massimo e pertanto pari a m.

Vincoli di uguaglianza 1

Funzioni di n variabili di classe C .

Consideriamo il problema di massimizzare (o minimizzare) la funzione f(x) sull’insieme ammissibile definito dalle

condizioni C ≡{x=(x ,…,x ):h (x)=a ,…,h (x)=a }. Supponiamo che x* appartenente C e che soddisfi la condizione

h 1 n 1 1 m m h

QVND. L(x;μ)≡f(x)-μ [h (x)-a ]-…-μ [h (x)-a ]-> (∂L/∂x )(x*;μ*)=0,…; (∂L/∂x )(x*;μ*)=0; (∂L/∂μ )(x*;μ*)=0,…;

1 1 1 m m m 1 n 1

(∂L/∂μ )(x*;μ*)=0.

n

Vincoli di disuguaglianza

Vincolo attivo: se il punto considerato appartiene all’equazione del vincolo ovvero g(x ;y )=b. Inoltre

0 0

∇f(p) ∇g(p)

vale∇f(p)=λ∇g(p). e puntano nella stessa direzione.

Vincolo inattivo: se il punto considerato non appartiene all’equazione del vincolo ovvero g(x ;y )≠b.

0 0

Condizione di complementarietà: λ[g(x;y)-b]=0.

1

Funzioni di C di n variabili vincolate dalle k disuguaglianze g (x ,...,x )≤b ,…,g (x ,...,x )≤b . Nel punto x* siano attivi i

1 1 n 1 k 1 n k

primi k vincoli, inattivi i rimanenti k-k . Supponiamo che sia soddisfatta la QVND in x*: il rango della matrice

0 0

jacobiana dei vincoli attivi è k :

0

L(x ,…,x ;λ ,…, λ )≡f(x)-λ [g (x)-b ]-…-λ [g (x)-b ]. Allora esistono k moltiplicatori λ *,…, λ * tali che

1 n 1 k 1 1 1 k k k 1 k

a) (∂L/∂x )(x*;y*)= 0,…, (∂L/∂x )(x*;y*)= 0 b) λ *[g (x*)-b ]= 0,…, λ *[g (x*)-b ]= 0 c) λ *≥ 0,…, λ *≥ 0

1 n 1 1 1 k k k 1 k

d) g (x*)≤b ,…, g (x*)≤b

1 1 k k

Vincoli misti 1 n

Siano f,g ,...,g ,h ,…,h funzioni C di n variabili con m<n. Sia x* appartenente R un punto di massimo locale per f

1 k 1 m

sull’insieme ammissibile definito dalle k disuguaglianze e m uguaglianze

g (x ,...,x )≤b ,…,g (x ,...,x )≤b e h (x ,...,x )=c ,…,h (x ,...,x )=c

1 1 n 1 k 1 n k 1 1 n 1 m 1 n m

Possiamo assumere che nel punto x* siano attivi i primi k vincoli di disuguaglianza, inattivi i rimanenti k- k .

0 0

Supponiamo inoltre che nel punto x* sia soddisfatta la condizione di qualificazione dei vincoli di non degenerazione: il

rango della matrice jacobiana relativa ai vincoli di uguaglianza e ai vincoli di disuguaglianza attivi è k +m.

0

Introduciamo la funzione lagrangiana

L(x ,…,x ;λ ,…,λ ,μ ,…,μ )≡f(x)-λ [g (x)-b ]-…-λ [g (x)-b ]-μ [h (x)-c ]-…-μ [h (x)-c ]. Allora esistono k+m

1 n 1 k 1 m 1 1 1 k k k 1 1 1 m m m

moltiplicatori λ *,…, λ *,μ *,…, μ * tali che

1 k 1 m

a) (∂L/∂x )(x*;λ*)= 0,…, (∂L/∂x )(x*; λ*)= 0 b) λ *[g (x*)-b ]= 0,…, λ *[g (x*)-b ]= 0 c) h (x*)=c ,…, h (x*)=c

1 n 1 1 1 k k k 1 1 m m

d) λ *≥0,…, λ *≥0 e) g (x*)≤b ,…, g (x*)≤b .

1 k 1 1 k k

Minimo vincolato 1 n

Siano f,g ,...,g ,h ,…,h funzioni C di n variabili con m<n. Sia x* appartenente R un punto di minimo locale per f

1 k 1 m

sull’insieme ammissibile definito dalle k disuguaglianze e m uguaglianze

g (x ,...,x )≥b ,…,g (x ,...,x )≥b e h (x ,...,x )=c ,…,h (x ,...,x )=c

1 1 n 1 k 1 n k 1 1 n 1 m 1 n m

Possiamo assumere che nel punto x* siano attivi i primi k vincoli di disuguaglianza, inattivi i rimanenti k- k .

0 0

Supponiamo inoltre che il rango della matrice jacobiana dei vincoli di uguaglianza e ai vincoli di disuguaglianza attivi

in x*: è k +m.

0

Introduciamo la funzione lagrangiana

L(x ,…,x ;λ ,…,λ ,μ ,…,μ )≡f(x)-λ [g (x)-b ]-…-λ [g (x)-b ]-μ [h (x)-c ]-…-μ [h (x)-c ]. Allora esistono k+m

1 n 1 k 1 m 1 1 1 k k k 1 1 1 m m m

moltiplicatori λ *,…, λ *,μ *,…, μ * tali che

1 k 1 m

a) (∂L/∂x )(x*;λ*)= 0,…, (∂L/∂x )(x*; λ*)= 0 b) λ *[g (x*)-b ]= 0,…, λ *[g (x*)-b ]= 0 c) h (x*)=c ,…, h (x*)=c

1 n 1 1 1 k k k 1 1 m m

d) λ *≥0,…, λ *≥0 e) g (x*)≥b ,…, g (x*)≥b .

1 k 1 1 k k

Significato del moltiplicatore

I valori dei moltiplicatori (λ *,…, λ *) misurano