Riassunto esame Matematica per l'Economia, prof. Ferretti, libro consigliato Matematica 2: Simon, Blume - parte 2

Differenziale

Supponiamo di voler studiare il comportamento della funzione di due variabili F(x,y) in un intorno del punto (x*,y*). La formula F(x*+Δx; y*+Δy) ≈ F(x*;y*) + ∂F/∂x (x*;y*) Δx + ∂F/∂y (x*;y*) Δy rappresenta l’espressione parametrica del piano tangente al grafico di F nel punto (x*,y*,F(x*,y*)) ed è una buona approssimazione del grafico stesso vicino al punto (x*,y*,F(x*,y*)).

La tangente al grafico di f nel punto x* e l'approssimazione del grafico stesso vicino al punto (x*,f(x*)) è data da: f(x*+h) ≈ f(x*)+f’(x*)h.

Gradiente

Il vettore gradiente raccoglie le derivate parziali e definisce la migliore approssimazione lineare di F nel punto (x*,y*):

∇F(x*,y*) = (∂F/∂x (x*,y*); ∂F/∂y (x*,y*)).

Derivata direzionale

La derivata direzionale di F in x* nella direzione v è:

D F(x) = F(x)*V = f’(x)V + ... + f’(x)V.

Ma è anche vero che:

D F(x) = ||∇F(x)||cosθ con ||∇F(x)|| = √[(F’(x*)) + ... + F’(x*))].

La lunghezza del vettore gradiente ||∇F(x)|| indica la direzione in cui F aumenta più rapidamente.

Hessiana

La matrice hessiana è la matrice quadrata n*n le cui derivate parziali sono a due a due uguali.

Funzione implicita

Se (∂G/∂y)(x0;y0) ≠ 0, esiste una funzione y=y(x) di classe C definita su un intorno I del punto x0 e a valori in un intorno J di y0 tale che:

G(x;y(x)) ≡ c per ogni x di I; y(x0) = y0; y’(x0) = -[(∂G/∂x)(x0;y0)/(∂G/∂y)(x0;y0)].

Curve di livello e loro tangenti

Il teorema della funzione implicita dà la pendenza f’(x) della retta tangente al grafico in (x,y), ossia la pendenza della curva in G(x,y)=c.

Punto regolare

Un punto (x0;y0) è detto punto regolare della funzione C G(x,y) se (∂G/∂x)(x0;y0) ≠ 0 oppure (∂G/∂y)(x0;y0) ≠ 0, ossia se non è un punto stazionario.

Supponiamo che (x0;y0) sia un punto regolare di G. Allora il gradiente ∇G(x0;y0) è perpendicolare all’insieme di livello G nel punto (x0;y0): V*∇G(x0;y0) = 0.

Forme quadratiche

Ogni forma quadratica Q può essere caratterizzata dalla matrice simmetrica A tale che Q(x) = x^TAx.

Segno delle forme quadratiche

• Se y=ax² con a>0, allora f è definita positiva e x=0 è minimo globale -> la funzione è convessa.
• Se y=ax² con a<0, allora f è definita negativa e x=0 è massimo globale -> la funzione è concava.

Minori principali di una matrice

Sia A una matrice n*n. La sottomatrice k*k ottenuta da essa eliminando n-k colonne e le stesse n-k righe si dice sottomatrice principale di A di ordine k. Il determinante di una sottomatrice principale k*k è detto minore principale di A di ordine k.

Minori principali di Nord-Ovest o di guida di una matrice

Sia A una matrice n*n. La sottomatrice principale di ordine k ottenuta eliminando le ultime n-k righe e le ultime n-k colonne è detta sottomatrice principale di nord-ovest di ordine k. Il suo determinante è detto minore principale di nord-ovest di ordine k. Indicheremo la sottomatrice principale di nord-ovest di ordine k con A_k e il minore principale di nord-ovest con |A_k|.

Segno forme quadratiche con minori principali di Nord-Ovest

Sia A una matrice simmetrica n*n. A è definita positiva se e solo se tutti i suoi n minori principali di nord-ovest sono positivi. A è definita negativa se e solo se tutti i suoi n minori principali di nord-ovest si alternano in segno nel seguente modo:

• |A₁|<0, |A₂|>0, |A₃|<0 e così via, ovvero il minore principale di nord-ovest di ordine k ha lo stesso segno di (-1)^k.
• Se almeno un minore principale di nord-ovest di ordine k è diverso da zero ma non soddisfa nessuno dei due andamenti precedenti, A è indefinita.
• A è semidefinita positiva se e solo se ogni minore principale di A è positivo o nullo; è semidefinita negativa se e solo se ogni minore principale di A è negativo o nullo.