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Riassunto esame Matematica per l'Economia, prof. Ferretti, libro consigliato Matematica 2: Simon, Blume - parte 2 Appunti scolastici Premium

Riassunto per l'esame di Matematica per l'Economia, basato su appunti personali e studio autonomo del testo consigliato dal docente Matematica 2: per l'Economia e le Scienze di Simon e Blume, a cura di A. Zaffaroni, EGEA, 2002.
Gli articoli sono:
- cap. 4 Calcolo differenziale in più variabili
- cap. 5 Funzioni implicite
- cap. 6 Forme quadratiche
- cap. 7 Ottimizzazione... Vedi di più

Esame di Matematica per l'economia docente Prof. P. Ferretti

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Differenziale

Supponiamo di voler studiare il comportamento della funzione di due variabili F(x;y) in un intorno del punto (x*;y*)

F(x*+∆x; y*+∆y) ≈ F(x*;y*) + ∂F/∂x (x*;y*) ∆x + ∂F/∂y (x*;y*) ∆y; il secondo membro è l’espressione parametrica

del piano tangente al grafico di F nel punto (x*;y*;F(x*;y*)) ed è una buona approssimazione del grafico stesso vicino

al punto (x*;y*;F(x*;y*)).

tangente al grafico di f nel punto x* e approssimazione del grafico stesso vicino al punto (x*;f(x*)): f(x*+h)≈f(x*)

+f’(x*)h.

Gradiente

Vettore che raccoglie le derivate parziali e definisce la migliore approssimazione lineare di F nel punto (x*;y*):

∇ F(x*;y*)=(∂F/∂x (x*;y*); ∂F/∂y (x*;y*)).

Derivata direzionale ∇

Derivata direzionale di F in x* nella direzione v: D F(x )= F (x )*V=f’ (x )V +…+ f’ (x )V . Ma è anche vero che

V 0 0 1 0 1 n 0 n

∇ ∇ ∇

2 2

D F(x )=|| F

(x )||cosθ con || F

(x )||=√[(F’ (x*)) +…+ F’ (x*)) ]. || F

(x )|| è la lunghezza del vettore gradiente.

V 0 0 0 1 n 0

Il gradiente F(x) applicato nel punto x indica la direzione in cui F aumenta più rapidamente.

Hessiana

La matrice hessiana è la matrice quadrata n*n le cui derivate parziali secondo sono a due a due uguali.

Funzione implicita 1

Se (∂G/∂y)(x ;y )≠0, esiste una funzione y=y(x) di classe C definita su un intorno I del punto x e a valori in un intorno

0 0 0

J di y tale che G(x;y(x))≡c per ogni x di I; y(x )=y ; y’(x )=-[(∂G/∂x)(x ;y )/(∂G/∂y)(x ;y )].

0 0 0 0 0 0 0 0

Curve di livello e loro tangenti

Il teorema della funzione implicita dà la pendenza f’(x) della retta tangente al grafico in (x;y) ossia la pendenza della

curva in G(x;y)=c.

Punto regolare 1

Un punto (x ;y ) è detto punto regolare della funzione C G(x;y) se (∂G/x)(x ;y )≠0 oppure (∂G/y)(x ;y )≠0 ossia se non

0 0 0 0 0 0

è un punto stazionario. ∇

Supponiamo che (x ;y ) sia un punto regolare di G. Allora il gradiente G

(x ;y ) è perpendicolare all’insieme di livello

0 0 0 0

G nel punto (x ;y ): V* G

(x ;y )=0.

0 0 0 0

Forme quadratiche T

Ogni forma quadratica Q può essere caratterizzata dalla matrice simmetrica A tale che Q(x)=x Ax

Segno delle forme quadratiche

2

Se y=ax con a>0 allora f è definita positiva e x=0 è minimo globale -> la funzione è U (convessa)

2

Se y=ax con a<0 allora f è definita negativa e x=0 è massimo globale -> la funzione è ∩ (concava)

Minori principali di una matrice

Sia A una matrice n*n. La sottomatrice k*k ottenuta da essa eliminando n-k colonne e le stesse n-k righe si dice

sottomatrice principale di A di ordine k. Il determinante di una sottomatrice principale k*k è detto minore principale di

A di ordine k.

Minori principali di Nord-Ovest o di guida di una matrice

Sia A una matrice n*n. La sottomatrice principale di ordine k ottenuta eliminando le ultime n-k righe e le ultime n-k

colonne è detta sottomatrice principale di nord-ovest di ordine k. Il suo determinante è detto minore principale di

nord-ovest di ordine k. Indicheremo la sottomatrice principale di nord-ovest di ordine k con A e il minore principale di

k

nord-ovest con | A |. Una matrice n*n ha n matrici principali di nord-ovest

k

Segno forme quadratiche con minori principali di Nord-Ovest

Sia A una matrice simmetrica n*n

A è definita positiva se e solo se tutti i suoi n minori principali di nord-ovest sono positivi

A è definita negativa se e solo se tutti i suoi n minori principali di nord-ovest si alternano in segno nel seguente modo:

k

|A |<0, |A |>0, |A |<0 e così via, ovvero il minore principale di nord-ovest di ordine k ha lo stesso segno di (-1)

1 2 3

Se almeno un minore principale di nord-ovest di ordine k è diverso da zero ma non soddisfa nessuno dei due andamenti

precedenti, A è indefinita.

A è semidefinita positiva se e solo se ogni minore principale di A è positivo o nullo; è semidefinita negativa se e solo se

ogni minore principale di ordine dispari è negativo o nullo, ogni minore principale di ordine pari è positivo o nullo.

Forma quadratica con vincolo 12 22

La forma quadratica Q(x ;x )= ax +2bx x +cx è definita positiva (rispettivamente, negativa) sull’insieme ammissibile

1 2 1 2

definito dal vincolo Ax +Bx =0 se e solo se è negativo (rispettivamente, positivo).

1 2


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DESCRIZIONE APPUNTO

Riassunto per l'esame di Matematica per l'Economia, basato su appunti personali e studio autonomo del testo consigliato dal docente Matematica 2: per l'Economia e le Scienze di Simon e Blume, a cura di A. Zaffaroni, EGEA, 2002.
Gli articoli sono:
- cap. 4 Calcolo differenziale in più variabili
- cap. 5 Funzioni implicite
- cap. 6 Forme quadratiche
- cap. 7 Ottimizzazione libera
- cap. 8 Ottimizzazione vincolata I: Condizioni del primo ordine
- cap. 10 Funzioni omogenee e omotetiche
- cap. 13 Autovalori e autovettori
Il documento riassume i tratti essenziali del libro.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Agno90 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per l'economia e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Ca' Foscari Venezia - Unive o del prof Ferretti Paola.

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