Appunti esame Matematica generale

Elementi di logica matematica

Proposizione

Nella matematica, la sintassi indica in che modo i simboli possono essere combinati fra di loro per formare delle formule. Una proposizione (o enunciato) è un’affermazione per la quale è sempre possibile stabilire se sia vera V o falsa F. Una proposizione decidibile è una proposizione che può essere provata o confutata. La logica è un linguaggio formale basato su proposizioni e connettivi logici (¬, ∨, ∧).

Operazioni logiche con le proposizioni

Equivalenza logica (o doppia implicazione logica): Due proposizioni P e Q sono equivalenti se hanno gli stessi valori di verità (P = Q): P ↔ Q (“equivalente” o “se e solo se”) se P ⇒ Q e Q ⇒ P.

La somma logica di due proposizioni P ∨ Q (P “o” Q) è la proposizione che è vera se almeno una delle due proposizioni è vera.

Esempio: Legge di annullamento del prodotto

P = “a = 0”
Q = “b = 0”
P ∨ Q = “a · b = 0” = “a = 0 ∨ b = 0”

Il prodotto logico di due proposizioni P ∧ Q (P “e” Q) è la proposizione che risulta vera solo se entrambe sono vere.

Esempio:

P = “x > 2”, Q = “x < 7”, quindi P ∧ Q = “2 < x < 7”.

La negazione logica di una proposizione ¬P (“non” P) è una proposizione vera se P è falsa e falsa se P è vera.

Esempio:

P = “il numero n è divisibile per 2”, quindi ¬P = “il numero n non è divisibile per 2”.

Implicazione logica

La relazione di P ⇒ Q (“P implica Q”) è la relazione che sussiste tra P e Q nel caso in cui dalla verità di P segue la verità di Q; se P è falsa, Q potrebbe essere vera o falsa. Si può anche dire che:

• P è una condizione sufficiente per Q (C.S.)
• Q è una condizione necessaria per P (C.N.)

Osservazione: Se esiste P ⇒ Q non è detto che esista P ⇔ Q (“non implica”). Se esiste, però, si dice che P è condizione necessaria e sufficiente per Q o viceversa (P ⇔ Q).

Osservazione: se P ⇒ Q, allora ¬Q ⇒ ¬P.

Teorema

Il teorema è una proposizione Q deducibile a partire da assiomi o altre proposizioni P, in cui P è l’ipotesi e Q è la tesi. Esistono due tipi di dimostrazione di un teorema:

• Dimostrazione diretta (o costruttiva): dall'ipotesi P (considerata vera), mediante calcoli o precedenti teoremi si ottiene che la tesi Q è vera (P ⇒ Q).
• Dimostrazione indiretta (o per assurdo): si suppone valida l'ipotesi P e la negazione della tesi ¬Q (P ∧ ¬Q). Se si arriva ad una contraddizione, come la negazione dell'ipotesi, si ritiene falsa la negazione della tesi ¬Q e vera la tesi Q.

Insiemi

Quantificatori

“Per ogni” (∀), “esiste” (∃), | “tale che” (|), : “si ha” (:). Se una proposizione logica P si esprime con il quantificatore ∀ allora la sua negazione ¬P si esprime con ∃ e viceversa.

Individuazione di un insieme

Un insieme A è una collezione di oggetti e si indica:

• Mediante elencazione degli elementi: A = {2, 3, 4, 5}
• Mediante proprietà caratteristiche degli elementi dell’insieme: A = {n | n è pari ∧ n è positivo}

Gli insiemi si indicano con lettere maiuscole, gli elementi con lettere minuscole. Se un elemento a appartiene all'insieme A si indica con a ∈ A, se a non appartiene all'insieme A si indica con a ∉ A.

Sottoinsiemi

Se ogni elemento di A è anche un elemento di B, si dirà che A è un sottoinsieme di B: ∀a ∈ A : a ∈ A ⇒ a ∈ B ⇔ A ⊆ B

Se anche B ⊆ A, gli insiemi coincidono (A = B). Osservazione: Dato un qualunque insieme A, l'insieme vuoto è un suo sottoinsieme: ∅ ⊆ A.

Se A è un sottoinsieme di B (con A ≠ B e A ≠ ∅), A è un sottoinsieme proprio di B (A ⊂ B): (A ⊆ B) ∧ (∃b ∈ B : b ∉ A) ⇔ A ⊂ B

Insieme delle parti

L’insieme delle parti di X, cioè 𝒫(X), è l’insieme i cui elementi sono tutti e soli i sottoinsiemi di X.

Esempio:

Dato l'insieme X = {a, b, c}, l'insieme delle parti di X è: 𝒫(X) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

Operazioni tra insiemi

Unione tra insiemi

L'unione tra insiemi A ∪ B è l'insieme i cui elementi sono elementi di A oppure elementi di B: A ∪ B = {x ∈ X | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}

Esempio:

A = {a, c, d} e B = {a, b}, A ∪ B = {a, b, c, d}

Proprietà:

• Commutativa: A ∪ B = B ∪ A
• Associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• Elemento neutro: A ∪ ∅ = A
• Se B ⊆ A ⇒ A ∪ B = A

Intersezione tra insiemi

L’intersezione tra insiemi A ∩ B è l’insieme i cui elementi sono sia elementi di A sia elementi di B: A ∩ B = {x ∈ X | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}

Esempio:

A = {a, c, d} e B = {a, b}, A ∩ B = {a}

Proprietà:

• Commutativa: A ∩ B = B ∩ A
• Associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• Distributiva: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• Elemento neutro: A ∩ ∅ = ∅
• Se B ⊆ A ⇒ A ∩ B = B

Tra le operazioni di unione e intersezione sussistono operazioni distributive:

• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• A ∪ Aᶜ = X, dove Aᶜ è il complementare di A
• A ∩ Aᶜ = ∅

Insiemi disgiunti

Gli insiemi A e B si dicono insiemi disgiunti se A ∩ B = ∅.

Differenza tra insiemi

La differenza tra insiemi A \ B è l’insieme ottenuto eliminando da A gli elementi in comune con B: A \ B = {x ∈ X | (x ∈ A) ∧ (x ∉ B)}

Esempio:

A = {a, c, d} e B = {a, b}, A \ B = {c, d}

Se B ⊆ A, A \ B si dice insieme complementare di B in A e si indica con Bᶜ.

Proprietà di De Morgan: A ∪ Bᶜ = A ∩ Bᶜ e A ∩ Bᶜ = A ∪ Bᶜ.

Prodotto cartesiano

Il prodotto cartesiano A × B è dato da tutte le possibili coppie ordinate (a, b) con a ∈ A e b ∈ B.

Esempio:

A = {0, 1} e B = {0, 2}, A × B = {(0, 0), (0, 2), (1, 0), (1, 2)} e B × A = {(0, 0), (0, 1), (2, 0), (2, 1)}, quindi A × B ≠ B × A.

È possibile effettuare il prodotto cartesiano dell'insieme A con se stesso: A × A = A².

Si indicherà con Aⁿ il prodotto cartesiano di A con se stesso effettuato n volte.

Applicazioni o funzioni

Si considerino due insiemi non vuoti A e B. Si dice applicazione o funzione f da A a B una legge che associa ad ogni elemento di A (x ∈ A) uno ed un solo elemento di B (y ∈ B) detto immagine di x tramite f. Si indica f: A → B.

Se x ∈ A si indica y = f(x). L’insieme A è il dominio dell’applicazione, mentre B è l’insieme di arrivo.

Si dice immagine di A tramite f, e si indica con f(A), l’insieme di tutti gli elementi y ∈ B che provengono da qualche x ∈ A: f(A) = {y ∈ B | y = f(x), ∀x ∈ A} ⊆ B.

L’insieme f(A) è detto anche codominio dell’applicazione f. Sia f una funzione f: A → B:

• L’insieme degli elementi x ∈ A | y = f(x) si dice immagine inversa (o controimmagine) di y e si indica con f⁻¹({y}).
• La funzione è suriettiva se l’insieme B coincide con l’immagine f(A) = B. La funzione è suriettiva se e solo se: ∀y ∈ B ∃x ∈ A y = f(x). Quindi la funzione è suriettiva se ogni retta orizzontale (parallela all’asse x) ha intersezione con il grafico in almeno un punto.
• La funzione è iniettiva se ∀y ∈ f(x), l’immagine inversa contiene un solo elemento f⁻¹({y}) = {x}, ovvero se ∀x₁, x₂ ∈ A, x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂). Quindi la funzione è iniettiva se ogni retta orizzontale interseca il grafico in al più un punto (quindi massimo uno).
• Il grafico è il sottoinsieme G(f) di A × B: G(f) = {(x, y) ∈ A × B | y = f(x) ∀x ∈ A}. Si tratta dell’insieme di coppie ordinate x, y che appartengono al prodotto cartesiano di x per ℝ tali che il primo elemento sta nel dominio e il secondo elemento è uguale alla funzione: (x, f(x)) con x ∈ X.
• Se è sia iniettiva sia suriettiva si dice che essa è biiettiva o una corrispondenza biunivoca. Una corrispondenza biunivoca f: A → B fa corrispondere a un elemento del dominio A uno ed un solo elemento di B e, per ogni elemento di B una ed una sola controimmagine nel dominio A: stabilisce pertanto una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi A e B.

Insiemi numerici

ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ (naturali, interi, razionali, reali)

Insieme dei numeri naturali

Comprende numeri interi positivi o nulli: ℕ = {0, 1, 2, 3, …}. L’insieme dei numeri naturali privati dello zero si indica con ℕ⁺ = ℕ \ {0} = {1, 2, …}.

L’operazione interna in un insieme A è un’operazione che fa corrispondere a due elementi di A un elemento di A stesso. Nell’insieme dei numeri naturali sono definite due operazioni interne: somma e prodotto. Tali operazioni soddisfano le proprietà:

• Associativa: ∀a, b, c ∈ ℕ : (a + b) + c = a + (b + c) e (a · b) · c = a · (b · c)
• Commutativa: ∀a, b ∈ ℕ : a + b = b + a e a · b = b · a
• Distributiva: ∀a, b ∈ ℕ : (a + b) · c = a · c + b · c

Nell'insieme ℕ esistono gli elementi neutri:

• Rispetto la somma: ∀a ∈ ℕ ∃0 ∈ ℕ : a + 0 = a
• Rispetto il prodotto: ∀a ∈ ℕ ∃1 ∈ ℕ : a · 1 = a

Nell’insieme ℕ mancano gli elementi inversi di somma e prodotto (-a e 1/a, ovvero opposto e reciproco, che non appartengono a ℕ).

Insieme dei numeri interi o relativi ℤ

Comprende numeri interi con segno: ℤ = {0, ±1, ±2, …}

Operazioni:

• Somma e prodotto: proprietà commutativa, associativa, distributiva
• Elemento neutro della somma e del prodotto
• Elemento inverso della somma -a (detto opposto): ∀a ∈ ℤ ∃b ∈ ℤ : a + b = 0 con b = -a

Come in ℕ, nell’insieme ℤ manca l’elemento inverso del prodotto.

Insieme dei numeri razionali ℚ

Comprendono le frazioni: ℚ = {m/n | m, n ∈ ℤ, n ≠ 0, (m, n) = 1}

Operazioni:

• Somma e prodotto: proprietà commutativa, associativa, distributiva
• Elemento neutro della somma e del prodotto
• Elemento inverso della somma
• Elemento inverso del prodotto (detto reciproco): ∀a ∈ ℚ \ {0} ∃b ∈ ℚ : a · b = 1, con b = 1/a

Osservazione: Gli insiemi ℕ, ℤ e ℚ sono ordinati e si rappresentano sulla retta.

Osservazione: I numeri razionali non esauriscono i punti della retta pur essendo “sparsi” lungo tutta la retta (esistono punti della retta che non sono razionali).

Teorema sull’irrazionalità di √2

Teorema: √2 ∉ ℚ

Dimostrazione per assurdo: Supponiamo che √2 sia un numero razionale, quindi è possibile rappresentarlo come m/n con n ≠ 0 ed m e n primi tra loro per ipotesi (frazione non semplificabile). In questo caso:

(√2)² = (m/n)² ⇒ 2 = m²/n² ⇒ m² = 2n²

Quindi m² è pari (essendo divisibile per 2), quindi anche m è pari. Quindi m = 2k con k ∈ ℤ, così:

(2k)² = 2n² ⇒ 4k² = 2n² ⇒ 2k² = n²

n² è divisibile per 2, quindi anche n è divisibile per 2. Entrambi i numeri, che erano primi fra loro, adesso sono divisibili per 2: conclusione assurda.

Rappresentazione cartesiana degli insiemi numerici

L’ordinamento totale è una relazione tra elementi che gode delle seguenti proprietà

∀a ∈ A, b ∈ A, c ∈ A con A = ℕ, ℤ, ℚ, ℝ:

• a ≤ a
• (a ≤ b) ∨ (b ≤ a)
• (a ≤ b) ∧ (b ≤ c) ⇒ a ≤ c
• (a ≤ b) ∧ (b ≤ a) ⇒ a = b

Ciò permette di disporre i numeri su una retta orientata.

Sulla retta orientata sono presenti dei punti non rappresentabili come numeri razionali. Un punto non razionale si costruisce creando un quadrato e prendendo la diagonale (in questo caso è √2).

Si dice, quindi, che l’insieme dei numeri reali ℝ è un insieme continuo.

Insiemi limitati

Sia A ⊆ ℝ. Si dice che l’insieme A è superiormente illimitato se esiste un numero reale più grande di ciascun numero appartenente all’insieme A: ∃M ∈ ℝ ∀a ∈ A : a ≤ M, dove il numero M si chiama maggiorante di A.

Sia A ⊆ ℝ. Si dice che l’insieme A è inferiormente illimitato se esiste un numero reale più piccolo di ciascun numero appartenente all’insieme A: ∃m ∈ ℝ ∀a ∈ A : a ≥ m, dove il numero m si chiama minorante di A.

Se l’insieme A è superiormente e inferiormente limitato si dice illimitato.

Osservazione: Se un insieme ammette un maggiorante, allora ne ammette infiniti. Analogamente, se un insieme ammette un minorante allora ne ammette infiniti.

Estremo superiore e inferiore

Sia A ⊆ ℝ superiormente limitato. Si dice estremo superiore di A il numero S ∈ ℝ se:

• ∀a ∈ A : a ≤ S, cioè S è un maggiorante di A
• ∀ε > 0, ∃a ∈ A a > S - ε, cioè S è il più piccolo dei maggioranti di A

Sia A ⊆ ℝ inferiormente limitato. Si dice estremo inferiore di A il numero s ∈ ℝ se:

• ∀a ∈ A : a ≥ s, cioè s è un minorante di A
• ∀ε > 0, ∃a ∈ A a < s + ε, cioè s è il più grande dei minoranti di A

Se l’estremo superiore di A appartiene all’insieme (supA ∈ A) è detto massimo di A (maxA). Se l’estremo inferiore di A appartiene all’insieme (infA ∈ A) è detto minimo di A (minA).

Se l’insieme non ammette maggioranti (o minoranti) si dice non limitato o “illimitato superiormente" (o “inferiormente”) ed indicheremo supA = +∞ (o infA = -∞):

• Insieme superiormente illimitato: ∀M ∈ ℝ, ∃a ∈ A a > M
• Insieme inferiormente illimitato: ∀K ∈ ℝ, ∃a ∈ A a < K

Insieme dei numeri reali

L’insieme A si dice ovunque denso nel ℝ se, comunque scelti a, b ∈ A, esiste un punto c ∈ A compreso tra a e b (gli insiemi dei numeri interi, naturali o relativi non sono ovunque densi).

Osservazione: Le definizioni date per un generico sottoinsieme dei numeri razionali possono essere estese anche a un sottoinsieme generico A ⊆ ℝ.

Esiste anche l'insieme dei reali ampliato: ℝ̃ = ℝ ∪ {−∞, +∞}.

Intervalli

Un sottoinsieme I ⊆ ℝ si dice intervallo se, con ∀x, y ∈ I, x < y e ∀z ∈ ℝ, x < z < y ⇒ z ∈ I.

Gli intervalli limitati sono rappresentabili come segmenti della retta orientata:

• L’insieme {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} è un intervallo chiuso [a, b], con infI = a = minI e supI = b = maxI
• L’insieme {x ∈ ℝ | a < x < b} è un intervallo aperto (a, b), con infI = a e supI = b
• L’insieme {x ∈ ℝ | a ≤ x < b} è un intervallo semiaperto/semichiuso [a, b), con infI = a = minI e supI = b
• L’insieme {x ∈ ℝ | a < x ≤ b} è un intervallo semiaperto/semichiuso (a, b], con infI = a e supI = b = maxI

Gli intervalli illimitati di ℝ sono rappresentabili come semirette:

• Limitato superiormente (-∞, a] = {x ∈ ℝ | x ≤ a}, supI = a = maxI
• Limitato superiormente (-∞, a) = {x ∈ ℝ | x < a}, supI = a
• Limitato inferiormente [a, +∞) = {x ∈ ℝ | x ≥ a}, infI = a = minI
• Limitato inferiormente (a, +∞) = {x ∈ ℝ | x > a}, infI = a

L'intero insieme dei numeri reali può essere rappresentato come ℝ = (−∞, +∞).

Intorni

Un'altra classe di sottoinsiemi di ℝ è quella degli intorni. Sia x₀ ∈ ℝ, un intorno I di x₀ è un intervallo aperto contenente x₀. Un intorno simmetrico di x₀ di raggio δ è l’intervallo I_x0,δ = {x ∈ ℝ | |x - x₀| < δ}.

Dato il punto x₀ si dice:

• Intorno sinistro di x₀ di semiampiezza δ l’intervallo (x₀ - δ, x₀) indicato con I_x0,δ