Appunti esame Matematica generale

Polinomio di Taylor di secondo ordine

T′′(x) = 0 + 2a D[x - x] = 2a0 2 0 22

Se esso si comporta come il polinomio di Taylor di primo ordine avremo:

T(x) = a = f(x)2 0 0 0

T′(x) = a = f′(x)0 1 02

T′′(x) = 2a = f′′(x)0 2 02

Quindi il polinomio di Taylor di secondo ordine diventa:

f′′(x)0 2

T(x) = f(x) + f′(x)(x - x) + (x - x)2 0 0 0 02

T(x) = f(x) + f′(x)(x - x) f(x) = T(x) + R(x)

Ricordiamo che . Possiamo riscrivere: .1 0 0 0 2 2

Il resto di secondo ordine è un in nitesimo di ordine superiore a 2:

R(x)2lim =0(x - x) 2x→x 00

lim R(x) = lim [ f(x) - T(x)] = f(x) - T(x) = 02 2 0 2 0x→x x→x0 0

Applichiamo il teorema di de l’Hospital:

f′(x) - f′(x)f′(x) - T′(x) 00 02lim = =2(x - x) 0 0x→x 00

Applichiamolo

nuovamente:f′′(x) - T′′(x)²lim 2x→x 0 2f ∈ C (I )Poiché , posso riscrivere:x 0 f′′(x ) - T′′(x ) f′′(x ) - f′′(x )f′′(x) - T′′(x) 0 2 0 0 02lim = = =02 2 2x→x 0Quindi possiamo dire che:f (x) = T (x) + R (x) x ∈ I → f (x) ≈ T (x)per2 2 x 20 39                        fi fi ffTeorema di Taylor nC (I )Ipotesi) Sia f(x) di classe .x 0T (x)Tesi) Esiste un polinomio , detto polinomio di Taylor di ordine n, tale che:n 1 1 12 3 (n) nT (x) = f (x ) + f′(x )(x − x ) + f′′(x )(x − x ) + f′′′(x )(x − x ) + . . . + f (x )(x − x )• n 0 0 0 0 0 0 0 0 02 3! n!(n)(n)f (x ) = T (x ) f′(x ) = T′ (x ) f (x ) = T (x ), , …,• 0 n 0 0 n 0 0

0nR (x) = f (x) - T (x) x → x è un infinitesimo di ordine superiore a n per: • n n 0R (x)nlim =0(x - x ) nx→x 00 n! = 1 · 2 · 3 · ... · nNB: "n fattoriale":Osservazione:x = 0Se pongo , il polinomio di Taylor è detto polinomio di MacLaurin.0 1 (n) nP (x) = f (0) + f′(0) · x + . . . + f (0)xn n!f (x) = P (x) + R (x)n nMassimi e minimi relativif : X → ℝ x ∈ X xSia e . Si dirà che f(x) ammette nel punto un:0 0∀x ∈ I x : f (x) > f (x )minimo relativo/locale se { } ;• x 0 00∀x ∈ I x : f (x) < f (x )massimo relativo/locale se { } .• x 0 00Massimo e minimo relativo si chiamano anche estremi relativi.Teorema di Fermatx xIpotesi) Sia un estremo relativo della funzione f(x) e sia, inoltre, f(x) derivabile in .0 0f′(x ) = 0Tesi) punto stazionario.0I punti x | f’(x) = 0, cioè i punti in cui la derivata prima è uguale a 0, si

per il teorema di permanenza del segno in forma inversa, il risultato sarà: 40

fi fif (x) - f (x ) < 0

lim = f′(x ) ≥ 0

x - x < 0

-x→x

Ricordiamo che per ipotesi: f (x) - f (x ) < 0

lim = lim = f′(x )

x - x x - x−+ x→xx→x

L’unico caso in cui i due limiti sono uguali è: f′(x ) ≥ 0 = f′(x ) ≤ 0 ⇒ f′(x ) = 0 .

Osservazione: Condizione necessaria per estremo relativo: punto stazionario.

Condizione sufficiente per punto stazionario: estremo relativo.

Quindi un punto stazionario non è sempre un estremo relativo.

Osservazione: Anche le funzioni non derivabili ammettono estremi relativi (ma non punti stazionari).

Osservazione: Quando la derivata è pari a 0, il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione è parallela all’asse delle x.

Teorema di Rolle: È

Una conseguenza del teorema di Fermat:

Ipotesi: Sia f(x) continua in [a, b] e derivabile in (a, b), con f(a) = f(b).

Tesi: ∃c ∈ (a, b) tale che f′(c) = 0.

Teorema di Lagrange:

Ipotesi: Sia f(x) continua in [a, b] e derivabile in (a, b).

Tesi: ∃c ∈ (a, b) tale che f′(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).

Dimostrazione:

Consideriamo la retta secante al grafico di f(x) nei punti A e B con equazione y = r(x):

f(b) - f(a) = r(x) = (x - a) + f(a)(b - a).

Definiamo una funzione ausiliaria h(x) pari alla differenza tra la funzione e la retta passante per due punti:

h(x) = f(x) - r(x).

Avremo che:

• h(x) è continua in [a, b] perché è la somma di funzioni continue in [a, b];
• h(x) è derivabile in (a, b) perché è la somma di funzioni derivabili in (a, b).

Inoltre, h(a) = h(b) perché:

f(b) - f(a) = r(a) = (a - a) + f(a) = f(a)(b - a).

f(b) - f(a) = r(b) = (b - a) + f(a) = f(b) - f(a) + (b - a).

f (a) = f (b)b - ah(a) = f (a) - r (a) = f (a) - f (a) = 0h(b) = f (b) - r (b) = f (b) - f (b) = 0h(a) = h(b) = 0 . h′(c) = 0 c ∈ a, b

Le caratteristiche di h(x) sono le ipotesi del teorema di Rolle, quindi con .h′(x) = f′(x) - r′(x)

f (b) - f (a)r′(x) = D[ (x - a)] + D[ f (a)]b - a 41

Il primo pezzo lo portiamo fuori perché non dipende da x:f (b) - f (a)r′(x) = ⋅ 1b - a

Quindi si ha: f (b) - f (a)h′(x) = f′(x) - b - a

Per la tesi del teorema di Rolle:f (b) - f (a) f (b) - f (a)h′(c) = 0 ⇒ f′(c) - = 0 ⇒ f′(c) =b - a b - a

f’(c) è il coe ciente angolare della retta secante il gra co della funzione e passante per i punti A eB.

Osservazione:Del teorema

Il procedimento è:

1. Calcolare il dominio di f(x);
2. Calcolare f'(x) e studiare il segno;
3. Associare l'andamento crescente (o decrescente) della funzione agli intervalli in cui f'(x) > 0 (o f'(x) < 0);
4. I punti in cui si inverte la monotonia, se appartengono al dominio di f(x), sono estremi relativi.

Convessità e concavità

Per una funzione f(x) definita in (a, b), l'area che si trova sopra il grafico della funzione si chiama epigrafico ed è un insieme. Un insieme convesso è un insieme in cui, presi due punti generici appartenenti ad esso, il segmento che li congiunge rimane all'interno dell'insieme. La funzione f(x) è convessa in (a, b) se il suo epigrafico in (a, b) è un insieme convesso.

f : X → ℝ funzione globalmente convessa

Sia x , x ∈ X (x , f (x )) (x , f (x )), il segmento che unisce i punti e si trova al di sopra del grafico.