Appunti esame matematica generale

Proprietà degli insiemi e degli asintoti

C( )∉ è esterno se [complementare di E]a E ∃r ⊆>0 U a Eres. 8punto di frontiera = né interno né esterno, sono alcuni vicini sononell’insieme es. 3/5• insiemi aperti e chiusi - aperto: insieme che contiene solamente punti interni- chiuso: complementare dell’aperto, contiene punti di frontierase contiene un solo punto di frontiera non è né aperto néchiuso ∈punto di accumulazione = un punto è di accumulazione per Ea Rse ogni intorno di a contiene almeno un punto di E distinto da a:( )∀ ∄ ∈>0r x́ ≠ a x́ E ∩U a –> punti interni o anche dirfrontieral’insieme dei punti di accumulazione di chiama derivato: Dpunto isolato = i punti che non sono di accumulazione• asintoti  x=x- asintoto verticale = la retta è asintoto verticale per f0quando (lim f x)=∞x → x 0 y= y- asintoto orizzontale = la retta è asintoto orizzontale

per0quandof ( ) =lim f x y 0x →± ∞- asintoto obliquo = tre condizioni

1. (1) NO asin. orizz.( ) =±lim f x ∞x →± ∞ (f x)
2. (2) m= lim ≠ 0xx→ ±∞ ( ) −mxq= lim f x
3. (3) x → ±∞ +qse queste 3 si verificano allora è asin.y=mxObliquo in un rapporto di polinomi, se N e D hanno lo stesso gradoAs.V o As.Or, se N ha 1 grado in più di D As.Ob

• teorema di esistenza del limite destro per funzioni crescenti →∈Siano e se è crescente in un intorno destrof : A → R x D A f+¿(x )0 allora esiste¿U12 +¿x ( )U f x0(x)=inflim f ¿x → x 0

• teorema di unicità il limite quando esiste è unico• (x)lim f

• teorema della permanenza del segno se esiste il ed è uguale a• x →Pallora esiste unT ≠ 0 intorno di in cui ha lo stesso(P f x)segno di T

• teorema del confronto (dei due carabinieri) →date 3 funzioni, e sai un

punto dif , g , h : A → R Paccumulazione per A.Se ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∃U ∀ ∈ ∖ {P1. }P x U P g x ≤ f x ≤ h x)=lim )=l∈lim g( x h( x R2. x→P x→ P (lim f x)=lAllora esiste x→Pse { }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∃U ∀ ∈U ∖ [f ]1. P x P P g x ≤ f x x ≤ h x( )=−∞[lim ])=+∞ h xlim g( x2. x→Px→Pesiste quindi (x)=+∞lim f [−∞ ]x→P (x)=f ( )lim f xx• continuità in un punto è contiua in quando f 00 x → x 0Una funzione è continua quando è continua in tutti ifpunti del suo insieme di definizionesono continue:- funzioni elementari- funzioni che si ottengono mediante leoperazioni di funzioni continue- funzioni inverse di funzioni continue- funzioni composte da funzioni continue,( )lim g xx →xin tal caso 0 ( )( ) ( )( ) =f =f ¿lim f g x g x 0x → x 0• calcolo del limite  (x )f(¿+ ))g( xlimite della somma

–> ¿limx→ P13 ) (lim g( x lim f x)riga = colonnax→P x→P- Limite della somma∈l R +∞ −∞1 è somma dei limiti∈ +ll R l +∞ −∞2 1 2 - è una forma∞−∞+∞ +∞ +∞ ?? indeterminata [FI]−∞ −∞ −∞?? ( )f x(¿ ))g(xlimite del prodotto –> ¿limx→P ) (lim g( x lim f x)riga = colonnax→P x→P - Limite dell ≠ 0 +∞ −∞01 prodotto èl ≠ 0 l l 0 ±∞ ±∞ prodotto2 1 20 0 0 ?? ?? dei limiti+∞ +∞ −∞??±∞ - Valgono regole−∞ −∞ +∞??±∞ dei segniquando± dipende dai casi−∞- 0 * + una [FI] (f x)(g x)limite del quoziente –> ¿ ¿limx→) (lim g( x lim f x)riga = colonnax→P x→P - Limite dil ≠ 0 +∞ −∞01 quoziente

è¿l ≠ 0 l l 0 ±∞ ±∞ quoziente2 1 20 ??±∞ ±∞ ±∞ di limiti+∞ 0 ?? ??0 - 0 al−∞ 0 ?? ??0 numeratore eal∞ denominatore portano a 0- a numeratore e 0 al∞ denominatore portano a ∞ - 0/0 e / sono [FI]∞ ∞• infiniti una funzione definita in un intorno del punto P è detta infinito fper se ilx → P (x)=∞lim fx→P14 - confronto di infiniti siano e due punti infiniti f gsimultanei per se:x → P { l ≠ 0 allora f e g sono dello stesso ordine( )f x 0 allora f è di ordine inferiore a g(va più lento)lim ∞ allora f è di ordine superiore a g(va più veloce)g(x)x→P ∄allora f e g non sono confrontabili- principio di eliminazione siano quattro infiniti f , g , F , Gsimultanei per se di grado superiore ax → P Fe di grado superiore a allora:f G g i due infiniti di ordine( )+ ( )F x f x F

x)=limlim →inferiore possono essere( ) + )G x g( x G( x)x→P x → P trascurati• infinitesimi funzione definita in un intorno del punto P è detta→una finfinitesima per sex → P (lim f x)=0x→P- confronti di infinitesimi siano e due punti infiniti&finitesima per se:x → P{l ≠ 0 allora f e g sono dello stesso ordine( )f x 0 allora f è di ordine superiore a glim ∞ allora f è di ordine inferiore a gg(x)x→P ∄allora f e g non sono confrontabili- principio di eliminazione siano quattro infinitesimi&finitesimi più lenti( ) + ) (x)G x g( x gx→P x → P• “o” piccolo un infinitesimo per nell’intorno del punto è una→ P P(x )f ( )=0(g)⟺lim f xquantità trascurabile per x → Pg(x)x → P( ) ( )⟺=0

1. olim f x f 1in particolare, x→P( ) =l∈lim f x R ( )=l+o ( )se possiamo anche scrivere perf x 1x→Px→ P ( )( ) ( )−l ( )−l=o(1)⟹=l⟹ =0lim f x lim f x f xx→P x →P15• funzioni continue o discontinue rivedi concetto pag. 9 x- una funzione è continua in se:0(x) (x → x f x → x f x)+¿ −¿0 01. esistono e¿ ¿lim lim¿ ¿(x )=lx → x f−¿0 ( ¿x → x f x)=lim2. +¿0 ¿¿lim¿( )=l3. f x- una funzione è discontinua se non vale almeno una delle trecondizioni discontinuitàse valgono la 1. e la 2. ma non la 3. =>o eliminabile (potrebbe essere resa continuacambiando il valore che la f(x) assumein un punto)se vale la 1. ma non la 2. e quindi neanche la 3. =>o discontinuità di I specie osalto(non eliminabile)discontinuità di II speciese non vale la 1. =>o• teorema di Weierstrass ogni funzione

continua in un intervallo chiuso e−>limitato ammette massimo e minimo:16 ( ) ( )∃ ∈ ∀ ∈ (x )x , x l x l f x ≤ f x ≤ f1 2 1 2

• teorema di Darboux una funzione continua su un intervallo chiuso e−>limitato assume in taleintervallo almeno una volta tutti i valori compresi tra ilsuo minimo e ilsuo massimo (=se il dominio è un intervallo chiuso elimitato anche il suocodominio lo sarà)

• teorema dell’esistenza degli zeri sia continua sull’intervallo chiuso e−> f]l=[a ,blimitato ( ) ( ) ∈<0Se allora esiste tale chec lf a f b( )=0f c

• funzioni continue in un intervallo consideriamo dove è un−> f :l → R l⊆ Rintervallo Se è continua allora è un intervallo(l)f fDERIVATE

• rapporto incrementale rapporto che ho tra l’incremento della funzione e−>l’incremento della variabile h ( ) ( )+ −ff x h x∆f 0 0=¿ =>∆x hquanto mi sposto∈altezza

Il coefficiente angolare quanto mi sposto ∈ lunghezza x • definizione derivata data una funzione e interno ad A, la→ f : A → R 0xderivata di in è ilf 0 limite del rapporto incrementale al tendere a 0dell'incremento R, se talelimite esiste ed è finito:( )+h -f ( )f x x0 0 ——> calcolo tasso di=f (x )∈lim ' R0hh→ 0variazione istantaneoxpossiamo quindi dire che la derivata di in ,f 0x , rappresenta il(??f ' 0)?? coefficiente angolare della retta tangente al grafico dellafunzione nel xpunto ( )?? 0 , f x(?? )0??17 retta tangentela al grafico di nel suo punto di ascissafx è la retta che0 ' ( )(x ) ??x , fpassa per ( e ha coefficiente angolare :f x0 0 0x(?? ( )( )y=f 0)+ f ' x x-x0 0??Inoltre, si può dire che approssima la funzione in unfxintorno di 0 x• non derivabilità in 0 x se- una funzione è

derivabile in 0 () ()+¿ −¿x x0 0esistono finiti il limite destro di e sinistro del' 'f f