Appunti esame matematica generale

INDICE

I vettori p.2

Le matrici p.3

teorema di Binet

p.4 rango – sistemi lineari

p.5 Cramer – Rouche-capelli

p.6

Le funzioni p.6

iniettive – inverse - monotone – convesse

p.7 limitatezza (superiore e inferiore) – Max e min assoluti

p.8

I limiti p.9

asintoti

p.9 teo esistenza lim dx per funzioni crescenti – teo unicità – teo

permanenza segno – teo del confronto (2 carabinieri – continuità – calcolo limite

tabella limite somma

p.10 tabella limiti prodotto e quoziente – infiniti e infinitesimi

p.11 funzioni continue e discontinue

p.12 teo Weierstrass – teo Darboux – teo esistenza zeri

p.13

Le derivate p.13

punto angoloso

p.13 punto di cuspide – tabella derivata + formule

p.14

metodo bisezione/corde/tangenti – teo Rolle – teo Fermat – teo

Lagrange - teo Cauchy

p.15 teo De L’Hôpital – max e min relativi – condizioni 2° ordine – teo Taylor

– concavità e convessità

p.16 punti stazionari e di flesso

p.17

Funzioni di due variabili reali p.17

1 gradiente – matrice hessiana – approssimazione in punto di Max

p.18 condizioni di 2° ordine – ottimizzazione

p.19 curve di livello – concavità + convessità – teo del Dini – Lagrangiana

p.20

Integrali p.21

Teo Torricelli-Barrow – teo del valor medio

p. 21 integrali immediati + composti

p.22

Formule varie p.23

2

I VETTORI insieme delle n-uple ordinate di numeri reali

 x=( )

∈ ∀

X R x 1, x 2, … , xn dove i=1, 2,… , n xi∈ R

( )

x= x x , … , x )

y=( y y , … , y

somma di vettori --> Dati e 1, 2 n

1, 2 n ∈

+ + + )

x+ y=(x y , x y ,… , x y R

1 1 2 2 n n

proprietà della somma

- associativa



(x+ +(

y)+ z=x y+ z)

- commutativa



+

x+ y= y x n /x +0=x

0, 0, … ,0=∈ R

- esistenza dell’elemento nullo



∃0=¿ (−x )=0

∈ +

x x , … , x R/ x

- esistenza dell’opposto

1, 2 n 

∀ ∈

x R ,∃−x=¿ n

( )

prodotto per un numero reale / scalare Dati e

 ∈

x= x , x ,… , x R

1 2 n

∈

k R ( ) ∈

kx= kx , kx , … , kx R

1 2 n

proprietà del prodotto

- associativa



( ) ( )

hk x=h kx

- elemento neutro



1 x=x

- distributive rispetto a somma di vettori

( )=kx 

+ky

k x+ y

- e di numeri reali



( )

h+k x=hx+ kx

per dividere moltiplico per il reciproco = n 2 --> n * 1/2



( )

x= x x , … , x

prodotto scalare Dati e ,

)

 ∈

y=( y y , … , y R

1, 2 n

1, 2 n

il prodotto n

∑ ∈

scalare tra x e y è + +...+ =

x∗y=x y x y x y ' x y R

1 1 2 2 n n i i

i=1

proprietà

- commutativa



x∗y= y∗x

- distributiva



(hx +ky )∗z=h( )+ ( )

x∗z k y∗z

- x∗x ≥ 0 =0

- x∗x=0 , se e solo se x

combinazione lineare il vettore



m

∑ ∀

+k =

k v v , ..., k v ' k v con k R i(coefficienti)

1 1 2 2 m m i i i

1=1

3

lineare dipendenza è linearmente dipendente dai vettori

 n

∈

W R

v , v ,... , v se esiste una combinazione lineare di vettori che da W

1 2 m

m

∑

=

W ' h v

i i

i=1

LE MATRICI

• vettori riga vs. vettori colonna

• somma e prodotto per un reale sommo/moltiplico ogni numero per il reale



(nel caso di somma quando hanno stessa

dimensione)

• prodotto tra matrici (righe per colonne) n° righe 1° = n° colonne 1°



risultato avrà tante righe quante la 1° matrice e tante

colonne come la 2°

proprietà

- associativa  ( ) ( )

AB C= A BC

- distributiva rispetto alla somma  ( )

+

A B C= AC+ AB

- associativa rispetto al prodotto esterno  ( ) ( )=kAB

kA B=A kB

- NON è commutativa AB ≠ BA



- NON vale la legge di annullamento del prodotto 

=0

AB con A ≠ 0 e B≠ 0

• trasposizione data una matrice A di dimensioni n x m la A è la matrice A di

T



dimensioni m x n (le righe diventano le colonne e viceversa)

proprietà

T T

¿ =

A A

- ¿ T T T

- ( = +

A+ B) A B

T T

- (kA ) =kA

T T T

- ( =B

AB) A

4

• matrice simmetrica (nel caso di matrici quadrate) elementi al di sopra e



sotto della diagonale sono simmetricamente uguali

1 0 0

• matrice identità  0 1 0

0 0 1

permutazione righe e colonne utilizzo una matrice identità



modificata per modificare la matrice originale,

moltiplico a sx per modificare le righe e a dx

per modificare le colonne.

1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0

= =

A= PI PI∗A= A∗PI

3 0 2 0 0 1 0 4 3 3 2 0

0 4 3 0 1 0 3 0 2 0 3 4

• determinante di una matrice (solo per matrici quadrate) det(a)



ordine 1 = ha una riga e una colonna quindi un solo numero, quello

è il determinante

ordine 2 = prodotto elementi diagonale

principale – prodotto elementi su diagonale

secondaria ∗a ∗a

a – a

11 22 21 12

ordine 3 = Regola di Sarrus

affianco alla matrice originale la 1° e 2° colonna

calcolo poi la somma dei prodotti degli elementi sulla

diagonale ↘

principale e le parallele ad essa.

sottraggo al risultato la stessa cosa fatta sulla diagonale

secondaria e ↗

parallele

ordine ≥ 4

1° teorema di Laplace = det(A) è dato dalla somma degli

elementi di una sua riga/colonna moltiplicati per i rispettivi

complementi algebrici

5 n n

∑ ∑

( )= =

det A ' a ∆ ' a ∆

ij ij ij ij

j=1 i=1 a

complemento algebrico dell’elemento il

ij

numero i+ j prendo il det della



=(−1)

∆ A

ij ij sottomatrice e

lo moltiplico per

i+ j se i+j

(−1) è pari mantengo il

segno del det, altrimenti cambio

segno.

proprietà discriminante ( )

( ) T

- =

det A det A ( )=0

- se A ha una righa/colonna tutta di 0, det A ( )

- se in A scambio tra loto due righe/colonne cambia

det A

segno ( )=0

- se in A due righe/colonne sono uguali det A

- se in A una riga/colonna viene moltiplicata per k anche il det

viene moltiplicato per k ( )=0

- se in A due righe/colonne sono tra loro proporzionali det A

n

( )=k ( )

- data A di ordine n, si ha che det k A det A

- date A e B quadrate dello stesso ordine si ha che

( )=det ( ) ( )

det AB A det B teorema di Binet

n

n vettori in sono linearmente dipendenti se e soltanto se la matrice A

R

che si ottiene

accostandoli come righe/colonne ha det ≠ 0

matrice quadrata con matrice singolare



det=0

• rango il rango r di una matrice A di dimensione n x m è l’ordine massimo



delle sue sottomatrici quadrate non singolari => det ≠ 0

Numero massimo di vettori riga/colonna linearmente indipendenti

presenti in essa

• matrice inversa matrice tale che

−1 −1 −1

 =

A A A A A=1

( )

−1

se la matrice è quadrata ( )=1

=det

det A A I

matrici con NON hanno matrice inversa

det=0

calcolo di matrice inversa

calcolo T

o A

6 calcolo matrice aggiunta (sostituisco elementi di con i loro

T

o A

componenti algebrici) 1

−1 T

divido matrice aggiunta per = ∗agg

A . A

(A )

det

o ( )

det A

proprietà matrice inversa

−1 −1

¿ =

A A

- l’inversa dell’inversa è la matrice di partenza

¿

−1 T

¿

A

- l’inversa della trasposta è la trasposta dell’inversa

−1

T ¿ =¿

A ¿

−1 −1 −1

- se A e B sono invertibili l’inversa del prodotto

( =B

AB) A

può essere

ottenuta facendo il prodotto delle inverse, NON vale la

commutativa

quindi inverto anche A e B

• equazioni matriciali esiste X tale che AX=B? quando esiste l’inversa si



X dovrà avere dimensioni n x m −1

Se A non è singolare allora esiste A −1

Moltiplico ambo membri a sx per A

La soluzione esiste ed è unica

{ + +…+a =b

a x a x x

11 1 12 2 1n n 1

+ +…+ =b

• sistema lineare (1)

a x a x a x

21 1 22 2 2 n n 2

⋮

+ +…+ =b

a x a x a x

m 1 1 m 2 2 mn n m

- Risolvere un sistema significa trovare la n-upla di numeri che

sostituiti ordinatamente alle incognite verificano tutte le

equazioni => soluzione è un vettore xR

- Sistema è impossibile, NON ammette soluzioni

 possibile, ammette soluzioni determinato = solo

 

una soluzione indeterminato = ∞ soluzioni



La (1) può essere scritta come Ax = B

a a … a

11 12 1n x R

A= X =

a a … a i

21 22 2 n

⋱ a a … a b R

b =

m 1 m 2 mn i

• sistema crameriano un sistema si dice crameriano se la sua matrice dei



coefficienti è quadrata non singolare (det ≠ 0)

per risolverlo uso teorema di Cramer

i

det A

i =

x i=1,2 , … , n

detA

7 i

dove è la matrice che si ottiene da A

A

sostituendo la colonna dei coefficienti dell’incognita i-

esima con la colonna dei termini noti

quando non posso usare Cramer uso il teorema di Rouché-Capelli

solo se rango di matrice

coefficienti = rango della matrice completa

r(A) = r(Ab) possibile

r(A) ≠ r(Ab) impossibile

se r = n esiste un’unica soluzione

n−r

se r < n esistono soluzioni (n =

∞

n°incognite)

LE FUNZIONI

• funzioni variabili di una variabile reale dati due insiemi X e Y di numeri



reali, chiamiamo funzione da X ad Y un’assegnata

corrispondenza che ad ogni elemento xR

associa uno ed un solo elemento di yR

- Ovunque definita in X (posso prendere qualsiasi elemento)

- È univocamente definita (ad ogni x corrisponde una sola y)

- Se allora y è l’immagine di x e x è la contro immagine

(

y=f x)

di y

- X è il dominio/insieme d’esistenza

- Y è il codominio/insieme delle immagini

• grafico di una funzione Data , il suo grafico è l’insieme

 ⊆

f : A → R con A R

delle coppie ( ) ∈

ordinate tale che e y è il valore

x A

x , y

corrispondente ad x:

{ }

( ) ∈ ∈ ∈ ( )

grafico f = x ; y R : x A , y f x

• funzioni elementari e composte 

( )=5

- funzione costante f x

[ ] ( )=2 +1

- retta ax+ b f x x

8 [ ]

- parabola 2 2

( )=2

+ +

ax bx+ c f x x x−1 −d

ax+ b

( )

[f = ]

x x=

- fuzione omografica assi. orizzont.

cx+d c

a

y= assi. vertic.

c

Le funzioni elementari sono varie, ad esempio:

n

le potenze x x

le funzioni esponenziali a

log x

le logaritmiche a

le trigonometriche sinx , cosx, tanx

utilizzando le operazioni si possono creare le composte

(x)

x+1 f

es. ( )=e ( )=x+1 ( ) =e

h x → f x → h x

• funzioni iniettive e inverse:

f(x) iniettiva una funzione si dice iniettiva quando elementi

 f : A → R

distinti di A hanno ( ) ( )

∀ ∈ ( )

f A : x , x A x ≠ x → f x ≠ f x

immagini distinte in 1 2 1 2 2

ogni retta parallela all’asse delle x interseca il grafico

una sola volta

−1

f(x) inversa funzione inversa di la

chiamiamo f : X → R

(f )

funzione definita su e

(x)

f ( )

a valori di X che ad ogni associa la sua contro

y f x

immagine

una funzione è invertibile solo se iniettiva

f

se calcolo avrò come risultato y

(¿¿−1(

f y))

¿

• funzioni monotone:

funzioni crescenti –> una funzione è detta crescente [in senso

f : A → R

stretto] quando ( ) ( )

∀ ∈ < (x ) [f < ( )]

x , x A x x → f x ≤ f x f x

1 2 1 2 1 2 1 2

funzioni decrescenti –> una funzione è detta decrescente [in

f : A → R

senso stretto] ( ) ( )

∀ ∈ < (x ) [f > ( )]

x , x A x x → f x ≥ f x f x

quando 1 2 1 2 1 2 1 2

• convessità di una funzione:

funzione concava –> una funzione è detta concava quando

f

∀ ∈

x , x A la corda che

1 2 ( ) ( )

( ) (x )

x , f x , f x

congiunge i punti e sta sotto al

1 1 2 2

grafico di f

funzione convessa –> una funzione è detta convessa quando

f

∀ ∈

x , x A la corda che

1 2

9 ( ) ( )

( ) (x )

x , f x , f x

congiunge i punti e sta sopra

1 1 2 2

al grafico di f

• massimo e minimo di un insieme: M(m) è il