Appunti ed esercizi esame Geometria, prof Marietti

PREREQUISITI

• Teoria degli insiemi elementari
• Funzioni (iniettività, suriettività, codominio, immagine, controimmagine)
• Logica elementare (⇒, ⇔, ∃, ∀,...)
• Operazioni tra numeri

MATRICI

Una MATRICE reale m×n, dove m, n ∈ ℕ⁺, è una tabella di numeri reali disposti secondo m righe e n colonne

A = tutti i numerisono reali

A = (a_ij)

a_ij = elemento di posto ij, cioè sulla i-esima riga e j-esima colonna

M_m,n = insieme delle matrici reali m×n

es:

SOMMA DI MATRICI (DELLO STESSO TIPO)

• Fissiamo m, n ∈ ℕ⁺
• Date 2 matrici: A = (a_ij) ∈ M_m,n B = (b_ij) ∈ M_m,n
• definiamo una nuova matrice: A + B = (a_ij + b_ij) ∈ M_m,n

es:

N.B.=

non si può calcolare

(non sono matrici uguali)

Prodotto di una matrice per numero

Fissiamo n,m∈ℕ. Dati un numero e una matrice, c∈ℂ

A=(a_ij)∈M_m,n

Es.: c=3

A=

es.

CA=

Proprietà

Proprietà associativa della somma:

∀ A,B,C ∈ M_m,n, si ha

(A+B)+C=A+(B+C)

es.=

A=

(A+B)+C=

A+(B+C)=

Esistenza dell’elemento neutro:

Esiste un’unica matrice O ∈ M_m,n tale che:

A+O=O+A=A

∀ A ∈ M_m,n

O=matrice nulla che ha tutti i coefficienti 0

es.=

O=

Moltiplicazione tra Matrici

• Una matrice riga A ∈ M_1n e una matrice colonna B ∈ M_p1 sono moltiplicabili tra loro se n = p. In tal caso:

AB = A⋅(b₁, b₂, ..., b_n) = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n

es. = (3 -2 1 2) ⋅ ²⁄₂ = 3⋅2 + (-2)⋅2 + 1⋅7 + 1⋅2 = 6 - 4 + 7 + 2 = 15

Se n ≠ p il prodotto non si può fare: (3 -2 1 2) ⋅ ²⁄₄ non ha senso.

• Una matrice A ∈ M_mn e una matrice B ∈ M_pq sono moltiplicabili tra loro se n = p. In tal caso:

A⋅B = AB = (c_ij) ∈ M_mq

• dove c_ij = il prodotto dell'i-esima riga di A per la j-esima colonna di B

es. = 20 03 ⋅ 25 36 = 2 ⋅ 2 + 0 ⋅ 32 ⋅ 5 + 0 ⋅ 6 0 ⋅ 2 + 3 ⋅ 30 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6 = 410 918 ∈ M₃₂

Commutatività

• Se A⋅B si può fare, non è detto che B⋅A è possibile fare.
• Se A ∈ M_mn e B ∈ M_gn allora A⋅B si può fare e B⋅A si può fare quando q = m, in questo caso AB ∈ M_mn e BA ∈ M_gn.
• Ha senso chiedersi se vale la proprietà commutativa solo quando A e B sono matrici quadrate della stessa ordine.

DEF: se A = (a_ij), detA = a₁₁.

Il DETERMINANTE di A ε M_n, n > 1, sviluppato secondo la prima riga è:

_1j = (-1)^1+j detA_1j = cofattore di a_ij

es.

1) det abcd = a(-1)¹⁺¹ det(d) + b(-1)¹⁺² det(c) = ad-bc

2) det 3152 = 3·2 - 1·5 = 6 - 5 = 1

3) det 210121324 = 2(-1)¹⁺¹ det 2124 + λi(-1)¹⁺² det 1034 + 0(-1)¹⁺³ det 1232 =

= 2(4-2) + 1(-4) + (-3) + 0·1 - (2-6) = 2

esercizio: calcolare il determinante della generica matrice 3X3

det a₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃ = (a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂) - (a₁₃a₂₂a₃₁ + a₁₁a₂₃a₃₂ + a₁₂a₂₁a₃₃)

Regola di Sarrus

Come ricordarsela?

detA = somma dei prodotti delle diagonali - somma dei prodotti delle diagonali

es.

det 210221324 = ?

detA = (2·2·4 + 1·3 + 0·4·2) - (2·2·0 + 2·4·1 + 1·1·4) = (4+3+0) - (0+4+4) = 2

es. A = ^{5 1}/_{1 0} è invertibile? Sì, perché det A = -2 ≠ 0

... qual è l'inversa?

A^-1 = ¹/_det(A) * ^{(-1)4+2 det(2)}/_{(-1)⁴⁺¹ det(5)} ^{(-1)5+2 det(1)}/_{(-1)⁵⁺¹ det(0)}

= ¹/_-2 * ^{0 -2}/_{1 5} = ^-1/₂ ^{0 1}/_{-1 5} = ^{0 -1}/_{1 5} = ^{0 1}/_{4 5} = ^1/₂/_1/-2

... verifica dell'inversa?

es. ^{5 1}/_{1 0} ^{0 -1}/_{1 5} = ^(-2)-2/_{det= -2 ≠ 0}

RANGO

Fissano h righe e k colonne di una matrice A ∈ M_m,n. Gli elementi che si trovano agli incroci di tali righe e colonne formano una nuova matrice h × k che si dice sottodeterminante di A.

es.: Una sottomatrice di ^{(5 -9 2)}/_{(0 -10 6)} e ^{(5 7)}/_{(4 3)}

def.: Se A = M_n,n ≠ 0. Il rango rg A di A è più grande per cui esiste una sottomatrice di A p × p con determinante non nullo, ovvero:

• È una sottomatrice di A p × p con det ≠ 0;
• Tutte le sottomatrici quadrate di ordine p × p, se esistono, hanno det ≠ 0

oss.: rg A ≤ min(m,n)

rg A = rg A

rg A = 0 A = 0

Se A ∈ M_n,n, rg A = m ⇔ det A ≠ 0

Sia B una sottomatrice p × p di A, si dice orto di B ogni sottomatrice (p+h) × (p+k) che si ottiene aggiungendo a B una riga e una colonna.

CONTINUA