Appunti Teoria ed Esercizi di Geometria e algebra lineare

Numeri complessi

Somma e differenza

z = Re(z) + Im(z)   w = Re(w) + Im(w)

z = a + bi   w = c + di

z + w = [Re(z) + Re(w)] + [Im(z) + Im(w)]

[z + w = (a + c) + (b + d) i]

z - w = Re(z - w) + Im(z - w)

[z - w = (a - c) + (b - d) i]

Prodotto e quoziente

z * w = [(a * c - b * d) + (a * d + b * c)i]

Re(z * w) = Re(z) Re(w)

Im(z * w) = Im(z) Im(w)

[^z/_w = ^{a * b - b * c} + ^{b * c - a * d}i]

Complesso coniugato

\overline{z} = z - 0i

Inverso dei numeri

z^-1 = a + bi = ¹/_2ta = ^{a + (-b)i}/_{a² + b²}

[^a/_{a² + b²}, ^b/_{a² + b²}i]

Modulo

|z| = √{z * \overline{z} = numero reale > 0

|z| = √{a² + b²} = se z ≠ 0 → |z| = z̄ / |z|² = z * z̄ / |z|²

Gal schemi per gli esercizi

(Esercitazione 7): Numeri complessi

1_b Somma e differenza

z = Re(z) + Im(z) w = Re(x) + Im(x)

z = a + bi w = d + d_i

z + w = [Re(z) + Re(x)] + [Im(z) + Im(x)]

[z + w = (a + c) + (b + d)i]

z - w = Re(z - w) + Im(z - w)

[z - w = (a - c) + (b - d)i]

1_b Prodotto e quoziente

[z . w = (c₁ c₂ - b₁ b₂) + (a₂.d + b₁ c₂)i]

Re(z . w) ≠ Re(z) Re(w)

Im(z . w) ≠ Im(z) Im(w)

[ _z = a + bi , _z. c + b. d , _{(b . c - a . d)}i ]

[ _w = c + dj , _{c² + d²}. _{(b.c - a.d)}i , _{(c² + d²)²}

1_b Complesso coniugato

_z̅ = a - bi

1_p Inverso dei numeri

z⁻¹ = a + bi → 11 + bi = a + (-b)i = a + (-b)i

d_2b + b₂ = d₂ + b₂

_z = c₂ + b₂

1_b Modulo

|z| = √z . z̅ = numero reale > 0

|z| = √^{a2 + b2}

Se z ≠ 0 > |z| = z̅ . zz̅² /|z| ² = z . z̅z . z̅ = z̅ . z → z̅ / |z|²

Forma trigonometrica

_z = x + yi -> forma algebrica

|_z| = ρ (cosθ + i sinθ) -> formula trigonometrica

x = ρ cos θ

y = ρ sin θ

ρ = |_z|

Prodotto, quoziente e potenza

_z1 ⋅ _z2 = ρ₁ ⋅ ρ₂ [cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)]

⎯_z1⎯_z2 = ρ₁/ρ₂[cos(θ₁ - θ₂) + i sin(θ₁ - θ₂)]

(⎯_z⎯)ⁿ = ρⁿ [cos(nθ) + i sin(nθ)]

Argomento arg(z)

arg(_z) = θ

arg(0) = { a = |_z| cosθ b = |_z| sinθ}

Interpretazione geometrica del prodotto in ℂ

_z -> _zW

|W_z| = |W| |_z|

arg(W_z) = arg(W) + arg(_z)

Coefficiente di dilatazione

Angolo di rotazione

Sola parte reale Z -> KZ -> solo dilatazione di coefficiente K

Sola parte immaginaria Z -> Z - -> solo rotazione

La forma esponenziale di un numero complesso

[ ^ze^ix = e^{i*(cosy + i siny)} ]

• · Se y = 0 => z = e^x => e^x
• · Se x = 0 => e^{i *}y = cos y + i sin y (Formula di Eulero)

[ ^z=ρ_ei ] => Formula trigonometrica

Le radici n-esime

[ ^zn = W W _∈C ]

• · Se W ≠ 0 W ∈ C n ^∈N n ≠ 1 y _y^>1+2kπ

W = g_e^iy => allora => [ ^{z_k = n√gei *_kh} ]

K = 0,1,...,n

Teorema fondamentale dell'algebra

[ P(z) = (z-z₀)Q(z) ] -> Se z₀ ∈ C _{ε una radice del polinomio}

p: se P(z₀) = 0, In tal caso esiste un polinomio di nome Q _k

• · Se m = 1 -> polide semplice
• · Se m -> radice doppia

Fattorizzazione di due polinomi

[ ^zn = a + b_i ]

[ W = a + bi -> trovo _{e arg(w)} -> W = ^g_we_i*y