Appunti ed Esercizi Energetica

Sei un dV di aria definito p, T e posto in equilibrio. Come si muove?

• Su di esso ci sono le forze
• Forza di Coriolis
• Forza centrifuga
• Forza di attrito

\[ \int dm \cdot \frac{d\vec{v}}{dt} \rightarrow \int pdV \cdot \vec{a} = \sum \vec{F}_i \]

Gradiente di pressione

Il dV ha la densità tra due superfici che differiscono di dr e quindi un gradiente dp di pressione. Considerando una approssimazione \( dV = dS \cdot dn \)

Dal bilancio delle forze si ottiene:

\[ d\vec{F}_{bol} = \vec{lpd}S = pdV \cdot \frac{d\bar{v}_{bol}}{dt} \]

\[ \Rightarrow \frac{d\bar{v}_{bol}}{dt} = -\frac{1}{\rho} \frac{dp}{dn} = -\frac{1}{\rho} \nabla p \cdot \hat{n} \]

Forza centrifuga

Nella rotazione il campo di pressione non è costante, ma può essere rappresentato da un campo di isobare circolari concentrico.

Campo ciclonico: pressione minima al centro → l'aria viene "risucchiata"

Dato un \( dv \) così velocità in tutto verso Nord, aumenta al quadrato e diventa, nel caso regime in avaria:

\[ \frac{\left| \vec{dF}_{col} \right|}{\rho G} = -2(\vec{\omega} \cdot \hat{u}) \vec{v}^2 + \frac{v^2}{R} \]

\[ \left| \vec{v} \right| = \left| R \cdot \omega \right| \cdot \frac{1}{\omega} \left( \sqrt{1 + \frac{\rho R^2 \cdot \omega^2 \cdot \left| u \right|}{\left| u \right|} \right) - 1} \]

Se troviamo l'accelerazione di Coriolis:

\[ \left| \vec{v} \right| = \sqrt{\frac{R \cdot G}{\rho}} \]

Campo anticiclonico

Pressione massima al centro → aria viene respinta

Dato un \( dV \) esso velocità verso Nord, verso pressione più bassa

Conclusione:

• Nell'emisfero Nord, il vento ciclonico si muove in senso orario.
• Nell'emisfero Nord, il vento anticiclonico si muove in senso antiorario.

Forza di Coriolis

Rif. Terra, velocità angolare ω con modulo ω = 7,27 x 10^-5 rad/s, verso nord.

Vogliamo studiare dv/dt con unità dω/dt = -2ω x v.

Componenti danno luogo a:

d(nabla)v/dt = -2(ω x v)

Vento di superficie

Per situazioni particolari:

a. Vento di superficie U₃ = 0

dU_x/dt = 2|ω|(V₂ sin φ k̂ + V₃ cos φ k̂)

b. Vento di superficie lungo il meridiano U₂ = 0

dU_y/dt = 2|ω|V_x sin φ î

c. Vento di superficie lungo il parallelo U₂ = U_y = 0

dU_x/dt = -2|ω|V_y cos φ k̂

d. Vento verticale U_x = U_y = 0

dU_z/dt = -2|ω|U_x cos φ î

e. Vento geostrofico

Condizione di equilibrio delle forze e della forza di Coriolis.

Assegnazione di (U_i) per un sito eolico (equinozi K e c)

1. Metodo analitico

Confrontate tra valori sperimentali e valori teorici

μ_U3 = ∑U_i³/ = velocità

μ_U2 = ∑U_i²/ = varianza

Ϊ

K = c/c_K²[²/ - Π²{(1/K)²} {}]² - U²] con metodo di varianze

2. Correlazioni sperimentali

Ricavate da numerosi studi con K_c = 0.5

K= 1/P_P dove P = e si ha

P_P² = (2 λ / {K}_Π² )²

3. Minimi scarti quadratici

Sia f(U_i; c,f) = Probabilità che il vato abbia una velocità ∆U_L - ∆U_i

Lo scarto quadrato S(K,c,f) = |p(U) - f(0)|

Assumi scarto quadrato minimo si ottengono in eq. 95 / K = 0 ∑

Il trovato di minimo si ottiene in 2 eq. e 2 incognite (c,K)

4. Minimi quadrati rispetto alla frequenza cumulata

Sia f(U_i) = 1/N ∑1/2˓ ∆U_i la frequenza cumulata

Lo scarto cumulato quadrato S_C(K,c,f_U) = 1/N ∑_i (F(U_i) - f_e(U_i))

con F(U_i) = 1 - e^(-U_i/c)K

Ottiene scarto minimo, quindi 0 S_C/0 f_e trovato din 2 eq. 2 incognite (K,c)

N.B. in generale c ∈ [4, 5] , m/s

K ∈ [4, 5] , -β

Potenza del vento

Data una superficie infinitesima dS, attraversata da una sezione d'aria dm

L'energia cinetica è ottenuta da dE in dt:

dE = 1/2 dm |u|² dt

dm = ρ pdA tn dt = ρ pdA lta cos gt dt

= ρ lta lla da dt

dP_r / dE: = 1/2 ρ |uf³/A - integrando su A led

= P_r =1/2 ρ |u|³ A

Con π in valori medi su tutta superficie

Calcolando la potenza media in dt:

P_v = 1/2 ρ ∀dF j3 p(U)dr

P_v = 1/2 ρấ A(3⃖/3) = 1/2 ρA -

Energy Pattern Factor

f = χ;3²/K K

= (3K² K /β c)¹

Energy Pattern Factor f

Regolarità della potenza del vento

• f

  The energy pattern factor measures the increment in the annual average respect to that point.

• ίk

  regular

EFFICIENZA EXERGETICA DI ALCUNI COMPONENTI MECCANICI

a. COMPRESSORE

L_p: flusso stazionario → poteri adiabatichi lavoro fornito dell'esterno L_u < 0

ε = ^L_u/_{exf2 - exf1} = ¹/_{T0 ΔSim} = ^-u/_exf2

ρ_e = ^-u/_Lu L_u tornio = ^{h_2is - h₁}/_{-h2 - h1 + T0(s2 - s1is)}

b. TURBINA

L_p: flusso stazionario → poteri adiabatichi lavoro ceduto dell'esterno -L_u > 0

ε = ^L_u/_{exf1 - exf2} = 1 - ^{T₀ ΔS_im}/_{exf1 - exf2} = ^{h₁ - h₂}/_{h1 - h2is + T0(s2 - s1is)}

ρ_e = ^L_u/_{Lu tornio} = ^{h₁ - h_2is}/_{h1 - h2}

ε: RENDIMENTO EXERGETICO ρ: RENDIMENTO ISENTROPICO DI ESPANSIONE

c. SCAMBIATORE DI CALORE

L_p: flusso stazionario → potera adiabatica → ••• lavoro prodotto (meccanico)

Σ^{m_i exf_u e} = ^{m_c exf_e + m_e exf_f + m_f exf₃}

Σ_exf_u a, Σ_exf_e b = ^{-T₀ ΔS_im}

ε = ^{m_i(exf₄ - exf₃)}/_{[mc(exf1 - exf2)]} = 1 - ^{-T₀ ΔS_im}/

• Se ^T₀<1, ρ_e ε

d. VALVOLA DI LAMINAZIONE

L_p: flusso stazionario → potera adiabatica → ••• lavoro meccanico prodotto

ε = ^exf₂/_{exf1 = 1} - ^{T₀ ΔS_im}/_exf1

L'exergia utile del cento nello corrente dopo aver attraversato la volvola =, pares = quello iniziale al netto della perdita per disinerabilita.