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Ottimizzazione Sistemi Dinamici
Si studiano problemi nei quali le variabili dipendono da una variabile: x(t) ∈ ℝm m*
Sistema idea con un picco di mi interesse:
Consideri un sistema dinamico:
ẋ(t) = f(x(t), u(t))
Stato con stato iniziale x(0) = xo con vincoli di stato x(t) ∈ ℝm ∀t
Legge di controllo u(t) ∈ ℝv ∀t con t ∈ [0, T]
x(0) -> S -> x(t)
void traimo e controllo u(t) che insieme ad una certa seicrizia antro fatto ci permetta di determinare un altro indio di qualità.
Qualità è:
J = ∫0T l(x(t), u(t)) dt
Si considera come variabile di fattìo alla fine di tutto si
Allora il problema può essere formulato così: determinate legge di controllo u(t) che massimizza la qualità:
max J = ψ(x(T)) + ∫0T l(x(t), u(t)) dt (*)
[ ẋ(t) = f(x(t), u(t)) x(0) = xo x(t) ∈ ℝm, u(t) ∈ ℝr t ∈ [0, T] di OTTIHaVPer determinare il controllo ottimo si fa uso della condizione necessaria sul quale si basa sul PROCESSO VARIAZIONALE:
Suppongo di conoscere da parte del pradenauno equilibrio iAvolone et**.
Allora se si varia di poco il controllo, la f.s. non più migliare.
sato che si fa vedere qual è l'effetto della variazione del controllo ottimo:
Principio del Massimo di Pontryagin
Questo principio è stato applicato al problema seguente:
ẋ(t) = f(x(t), u(t))
x(0) = x0
x(T) = xT
per ridurlo consideriamo dapprima il problema per le condizioni finali:
ẋ(t) = f(x(t), u(t))
x(0) = x0
Supponiamo che (x(t), u(t)) siano ottimi; J variamo di poco u(t) definendo V(t): diremo che v(t) è una piccola variazione di u(t) s
∫0T |ui(t) - Vi(t)| · dt
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