Appunti ed esercizi di Controllo Ottimo del prof. Di Pillo

Ottimizzazione sist. dinamici

Si studiano problemi nei quali le variabili dipendono da un'altra variabile: X(t) ∈ ℝ^m per t ∈ [0, T]. Questo è uno spazio di problemi infinito dimensionali. Esaminiamo le idee con un problema di nostro interesse:

Sistema dinamico

1) Consideriamo un sistema dinamico = f(x(t), u(t)) (EQ.D) con stato iniziale x(0) = x₀ con vincoli di stato x(t) ∈ ℝ^m per ogni t e una legge di controllo u(t) ∈ ℝ^r per t ∈ [0, T].
            u(t) → x₀ → x(t)

Tracciare il controllo

2) Vogliamo tracciare il controllo u(t) che, insieme ad una certa evoluzione dello stato, ci permette di determinare un'auto migliore indice di qualità. Una variabile che indica la qualità è:

 J = ∫₀^τl(x(t), u(t)) dt

Variabili finali

3) Si considerano alcune variabili di stato alla fine:

 J = ψ(X(T)) + ∫₀^τl(x(t), u(t)) dt

Allora il problema può essere formulato così: determiniamo la legge di controllo u(t) che massimizza la qualità:

 max J = ψ(X(T)) + ∫₀^τl(x(t), u(t)) dt   (*)
        &img src="x-dot.png" alt="x-dot" /> = f(x(t), u(t))
        X(0) = X₀
        X(t) ∈ ℝ^m, u(t) ∈ ℝ^r, t ∈ [0, T]

Condizione necessaria

Per determinare il controllo ottimo si fa uso della condizione necessaria che si basa sul metodo variazionale:

1. Supponiamo di conoscere due coordinate dal problema, quindi il valore della inf.e. allora si vuole variare di poco il controllo. Se il controllo ottimo non può più migliorare, allora si esamina quale sia l’effetto della variazione del controllo ottimo.

Principio del massimo di Pontryagin

Questo principio è stato applicato al problema seguente:

Si studiano problemi nei quali le variabili dipendono da un'altra variabile: x(t) ∈ ℝ^m per t ∈ [0, T]. Esponiamo le idee con un piccolo problema di nostro interesse:

a. Consideriamo un sistema dinamico:
    _x(t) = f(x(t), u(t)) EQ.D. con stato iniziale x(0) = X₀ con vincoli di stato x(t) ∈ ℝ^m ∀t
b. Legge di controllo u(t) ∈ ℝ^m ∀t con t ∈ [0, T]
c. Si dovrà trovare il controllo u(t) che, insieme ad una certa evoluzione dello stato, ci permette di determinare un auto migliore indice di qualità.
d. La variabile che indica la qualità è: J = ψ(x(T)) + ∫ l(x(t), u(t)) dt

Se si considerano cause, la variabile di stato alla fine diventa:

 J = ψ(x(T)) + ∫ l(x(t), u(t)) dt

Allora il problema può essere formulato così: determiniamo la legge di controllo u(t) che massimizza la qualità:

 max J = ψ(x(T)) + ∫ l(x(t), u(t)) dt (*)
    _x(t) = f(x(t), u(t))
    x(0) = x₀
    x(t) ∈ ℝ^m, u(t) ∈ ℝ^m, t ∈ [0, T]

Per determinare il controllo ottimo si fa uso della condizione necessaria che si basa sul metodo variazionale. Supponiamo di conoscere esattamente dal problema il valore di _t0. Se si varia di poco il controllo, la funzione obiettivo non può migliorare. Allora si valuta l'effetto della variazione del controllo ottimo.

Il principio del massimo di Pontryagin è stato applicato al problema seguente:

ẋ(t) = f(x(t), u(t))
x(0) = x₀
X(T) = X_T

Per vischero, consideriamo dapprima il problema per le condizioni finali:

ẋ(t) = f(x(t), u(t))
x(0) = x₀

Supponiamo che (x(t), u(t)) siano ottimi; variamo di poco u(t) definendo v(t), diciamo che v(t) è una piccola variante di u(t) se:

 0^T[u_i(t) - V_i(t)] ⋅ t ≤ ε i = 1...m

Consideriamo inoltre la funzione lagrangiana:

H(λ(t), x(t), u(t)) = λ^T f(x, u) + l(x, u)

Allora si ha che:

J̄_u = ψ(x(T)) + ∫₀^T l(x, u) dt - ∫₀^T λ(t)[ẋ(t) - f(x, u)]dt == ψ(x(T)) + ∫₀^T H (λ, x, u) -