Appunti ed Esercizi Analisi 1

ANALISI I

PROF.: M.G. MORA, C5, DIP. MATEMATICA, MARIOGIOVANNA.MORA@UNIV. IT, STUDIO CERCA NOME PROF — DIDATTICA

LIBRI CONSIGLIATI:

• "ANALISI MATEMATICA I" BARAMINI — PASSOLI — SALSA
• "ANALISI MATEMATICA II" SOLO PER GLI DIFFERENZIALI
• "ESEMPI DI A. M. I" SALSA — SOTTANI
• "ESE. DI A. M. II"

+ TUTORATO

INCENTIVO PER PREPARARSI: MATE

ESAME: SCRITTO + ORALE (FACOLTATIVO)

INSIEMI NUMERICI

• N _naturali, 0 COMPRESO
• Z _interi
• Q _razionali, anche decimali, possono anche periodici con 0""00 si chiude dopo la virgola, tramite, che possono essere messe in corrispondenza biunivoca con punti di una retta.

OGNI REALE SI PUO APPROSSIMARE AD UN RAZIONALE CON GRADO DI PRECISIONE CHE VOGLIAMO, IL RAPPORTO DEGLI STESSI. E' STATO RAPPRESENTAZIONE DECIMALE.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C _complessi

PROPRIETÀ DEI REALI:

• ALGEBRICHE R, Q
• ORDINAMENTO R, Q
• POSSION DI CONTINUITÀ R

SU R SONO DEFINITE SOMMA E PRODOTTO CON LE SEGUENTI PROPRIETÀ:

1. _SA, a + (b + c) = (a + b) + c, a, b, c ∈ R, PROP COMMUATIVA
2. _SA, a + (b + c) = (a + b) + c, a, b, c ∈ R, PROP ASSOCIATIVA
3. _SA, ∃ 0 ∈ R, a + 0 = a, ∃ − a ∈ R, a + (− a) = 0, ELEMENTO INUTILE DELLA SOMMA
4. _S1, j a, R. ∃ 0 R = a + 0, divisibile se non si indica con a, ESISTENZA DELL’OPPOSITO
5. (∪), a — b = a + (− b), ∀a, b, c ∈ R COMMUTATIVA
6. (*), (a * b) * c = a * (b * c), a, b, c ∈ R ASSOCATIVA
7. (*), ∃ 1 ∈ R, 0 ∉ R, a R, a * 1 = a, ∀a ∈ R, ELEMENTO NEUTRO DEL PRODOTTO
8. _e, ∀a ∉ 0 ∃b1 ∈ R, {a, b}∉R = c, a * b = 1, ELEMENTO NEUTRO DEGLI INEUTRI E SE SI SCAMBIA RECIPROCO
9. (∪), a * (b + c) = a * b + a * c, ∀a, b, c ∈ R DISTRIBUTIVA

Validità in altri insiemi:

(a₁), (a₂), (o₁), (o₂), (o₃), (o₄), (c₁), (c₂): ∈ ℕ, ℤ, ℚ, ℝ

(a₃), (o₅): ∉ ℤ, ℚ, ℝ

(o₆): ℝ

1) Queste proprietà algebriche rendono ℝ, ℚ un campo (algebrico)

2) Dati x, y ∈ ℝ per esempio che x < y e x ≤ y, hanno le seguenti proprietà:

• (o₅) x ≤ x → x ≤ x → Riflessivo
• x ≤ y, y ≤ z → x ≤ z → Transitivo

Queste proprietà (ordinate) rendono ℤ, ℚ un insieme totalmente ordinato

(c_A1) se x ≤ y, allora x + z ≤ y + z ∈ ℝ

(ordinamento algebrico)

(c_A2) se x ≤ y, allora x · z ≤ y · z → ∀ z ≥ 0

1) + 2) Campo totalmente ordinato ⇔ ℝ, ℚ

Es.

3x + 1 ≥ 5 → Aggiungo -1 ad entrambi i membri (o_A1)

(3x + 1) - 1 ≥ 5 - 1 → (o₂)

3x ≥ 4

3x / (4 / 3)

x ≥ 4 / 3

3) Distinque ℝ da ℚ

Siano A ⊆ ℝ e B ⊆ ℚ due insiemi, non vuoti:

Supponiamo che a ≤ b ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B

(Insieme A sta tutto a sx rispetto a B)

Allora Ḽ ∈ ℝ / A ≤ Ḽ ≤ B ∀ a ∈ A e c ≤ b ∀ b ∈ B

(Quindi, c sta tra A, B)

Osservazioni:

C può non esistere "min ⇐" se ci sono spazi fra A e B "allora ogni punto in quello spazio va bene"

C: può anche appartenere ad A or B or entrambi: (in quest'ultimo caso c sarebbe unico)

Es.

A: (o; 1)

B: [1; y, 2

c: = 1

A: (o; 1]

B: [1; y, 2

c: = 1

L'assioma di continuità vale in ℚ ma non in ℚ:

a ≥ 0 ∀ ε ∈ A ⊖

∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : 0 < a < ε ⊖

∃ d > 0 ∀ m ∈ N εₙ ≥ d? ✔️

∀ ε > 0 ∃ m ∈ N : ∀ n ≥ m εₙ < ε cioè ⊖ n > d / ε ✔️

A = { εₙ = 1 / n | n ∈ N⁺ } • • • • •

ε₁ = 1 • 1/2• 1/3• 1/4 •

•

A = { 1, -1 } ∪ { 2 }

sup A = max A = 2 inf A = -1 = max è minimo

Principio di induzione

È utile per dimostrare veridicità di una proprietà in N

P(m) = Affermazione che contiene m ∈ N al suo interno e che a seconda di m può essere: vera o falsa

EX

m + 1ⁿ ≥ m² Vera m = 0, 1 Falsa m = 2, 3

3ᵐ > 2ᵐ + m ✕ Vera m = 2, 3

Obiettivo: dimostrare per quali m, P(m) è vera.

P. di induz.: Supponiamo che

1. P(₀) = vera (il caso 1° può essere dominio)

2. Comunque preso m₀ ≤ m ∈ N, se P(m) è vera, allora P(m+1) è vera (come meccanismo continuo nel suo dominio) Allora P(m) è vera per ogni m ∈ N

(A): Passo base

(B): Passo induttivo

Variante

1. P(m₀) è vera

2. Comunque preso m = m₀, m ≥ m₀: se P(m) è vero, allora P(m+1) è vero. Allora P(m) è vera ⇔ m ≥ m₀

Numeri Complessi

C₁ 3 tipi di rappresentazione: 1) Forma algebrica

1. Trigonometrica
2. Esponenziale

a_k , a_t ∈ ℝ i = unità immaginaria

i² = -1

a = Re(z) = parte reale di z

b = Im(z) = parte immaginaria di z

z ∈ ℂ z = a + ib

ℂ ≈ ℝ nel senso che identifico ℝ con { z ∈ ℂ : Im(z) = 0 }

Rappresentando z = a + ib con il punto di coordinata (a,b) nel piano (di Gauss)

z = z · i

i · ℝ è rappresentato sull'asse reale

Asse i immaginari sono:

• z ∈ ℂ : Re(z) = 0

Ovvvero immaginari puri (es. 2i )

Operazioni Algebriche

z = a + ib w = c + id

∀ a,b,c,d ∈ ℝ

z + w = (a + c) + i(b + d)

z - w = (a - c) + i(b - d)

z · w = (a + ib)(c + id) =

ac + i · ad + ibc + i²bd = (ac - bd) + i(ad + bc)

1/w:

1/c + id:

1/c - id:

(c + id)/(c - id):

c² + d²:

|z|²:

(c² + d² i) = c² - i² d = c² + d²

{c -

d}: Ĉ

Operazioni Inverse

1/z = O se parte reale e immaginaria sono 0

z/w = a/b = | c/id

c² + d² :

c² - |;

c : i

• +
• ac
• cd
• i/ad
• - bc

1. bd
2. ac + bd
3. ad + bc

Es. Calcolare le radici cubiche complesse di 8i:

w ≡ 8i. Devo trovare z: z³ = w ≡ 8i.

1. Scrivo in esponenziale: w = 8 e^iπ/2.
2. z = ρ e^iθ; z³ = 8e^iπ/2 = ρ³e^i3θ.

Calcolando: ρ = 8; θ e = π/2 ± 2kπ; k = 0,1,2.

• θ₁ = π/6, θ₂ = π/2 + π/3, θ₃ = π/2 + π.

Le soluzioni sono:

• z₁ = 2 e^iπ/6 = √3 + i,
• z₂ = 2 e^i5π/6 = -√3 + i,
• z₃ = 2 e^i3π/2 = -2i.

N.B. le radici si dispongono ai vertici di un Δ equilatero.

Questo è un fatto generale: le radici m-esime di |w|=|z| si trovano ai vertici di un poligono regolare di m lati inscritto alla circonferenza di raggio √|z| (le radici sono sfasate di un angolo 2π/m).

Attenzione! L'espressione "radice m-esima" ha un significato diverso in ℂ rispetto a ℝ.

Es. m = 2

√[i] = 2 e^iπ/4

Consideriamo quando il dato z è in ℝ; è lungo x² = z.

• In ℝ, se prendo √[come] w ∈ ℂ; z₁ = ±√[i].
• In senso complesso le radici di ℝ sono due: z = ρe^iθ (dove ρ² = z, 2^ei2kπ, k = 0,1)
• ρ = 2; θ = kπ, k = 0,1, cosθ = θ = 0 or π.
• z₁ = 2eⁱ⁰ = z
• z₂ = 2e^iπ = -2.

Posso anche considerare le radici quadrate di -4:

-4 = 4 e^iπ

• Le radici quadr-complesse sono z = ρ e^iθ, con ρ² = 4, 2^ei2kπ, θ = π ± 2kπ, k = 0,1.
• Quindi θ = π/2; θ = 3π/2;
• z₁ = 2e^i3π/2; z₂ = 2e^i7π/2.