Appunti ed Esercizi Analisi 1

Analisi I

Prof. M.G. Mora, C5, Dip. Matematicamaragiovanna.mora@unipv.it

• Libri consigliati:
  • Analisi Matematica I
  • Baldiant-Pasquini-Salsa
  • Analisi Matematica II
  • Solo per le differenziali
  • Esercizi di A.M. I - Salsa - Squellini
  • Ese. di A.M. I
• + Tutorato
• Ricevimento per appuntamento: Mail

Esame: Scritto + Orale (Facoltativo)

Esercizi Teoria

Insiemi numerici

• N: naturali, 0 compreso
• Z: interi
• Q: razionali, anche decimali, possono anche periodici con massimo di cifre dopo la virgola
• R: reali, numeri che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con punti di una retta

Scritte in forma decimale possono avere o esplicitare distanza dopo la virgola.

Esempio: 0,01010010001000010000... Numero reale, ma non razionale (non periodico) e numero irrazionale.

Ogni reale si può approssimare ad un razionale, con grado di precisione che vogliamo, troncando la rappresentazione decimale.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

C: complessi

Proprietà dei reali:

1. Algebriche R, Q
2. Ordinamento R, Q
3. Assioma di continuità R

Definizioni su R

Sono definite somma e prodotto con le seguenti proprietà:

• (s₁) a+b=b+a con a, b ∈ R, prop. commutativa
• (s₂) (a+b)+c=a+(b+c) ∀a, b, c ∈ R, prop. associativa
• (s₃) ∃ 0 ∈ R: a+0=a ∀a ∈ R, elemento neutro della somma
• (s₄) ∀a ∈ R ∃ b ∈ R: a+b=0, detto 0 divisibile per ai invita con a, esistenza dell'opposto
• (p₁) ab=ba ∀a, b ∈ R commutativa
• (p₂) (ab)c=a(bc) ∀a, b, c ∈ R associativa
• (p₃) ∃ 1 ∈ R, 1 ≠ 0: a⋅1=a ∀a ∈ R elemento neutro del prodotto
• (p₄) ∀a ∈ R, ∃ b ∈ R: ab=1, b è indicato con a^-1 e si chiama reciproco
• (g) a(b+c)=ab+ac ∀a, b, c ∈ R, distributiva

ANALISI I

PROF. M.G. MORA, C5, DIP. MATEMATICA, MARAGIOVANNA. MORA @ UNIVR.IT

LIBRI CONSIGLIATI: "ANALISI MATEMATICA I" BALDANZI-PAGANI-SALSA

"ANALISI MATEMATICA II" SOLO PER LE DIFFERENZIALI

"E^_sercizi DI A.M. I" SALSA-SQUIERIN

"E^_sercizi DI A.M. II"

RICEVIMENTO PER PAOMDOSI: MAIL

ESAMI: SCRITTO + ORALE (FACOLTATIVO)

TEORIA

INSIEMI NUMERICI

N naturali, 0 compreso

Z interi

Q razionali, anche decimali, possono anche periodici con massimo 10 cifre dopo la virgola. 1,5 0,3

R reali, numeri che possono essere messi in corrispondenza biunivoca coi punti di una retta.

Scritto in forma decimale possono avere o essere definitivi dopo la virgola.

Es. 0,10100100010000100000...

NUMERO REALE MA NON RAZIONALE (NON PERIODICO)

E NUMERI IRRAZIONALI

OGNI REALE SI PUÒ APPROSSIMARE AD UN RAZIONALE CON GRADO DI PRECISIONE CHE VOGLIAMO, TRAMITE LA RAPPRESENTAZIONE DECIMALE.

N < Z < Q < R < C

C complessi

PROPRIETÀ DEI REALI:

① ALGEBRICHE R, Q

② ORDINAMENTO R, Q

③ ASSIOMA DI CONTINUITÀ R

Q SU R SONO DEFINITE SOMMA E PRODOTTO CON LE SEGUENTI PROPRIETÀ:

(S_a) a + b = b + a ∀a, b ∈ R PROP. COMMUTATIVA

(S_a) (a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈ R PROP. ASSOCIATIVA

(S₃) ∃ 0 ∈ R : a + 0 = a ∀a ∈ R, ELEMENTO NEUTRO DELLA SOMMA

(S₄) ∀a ∈ R ∃ -a ∈ R : a + (-a) = 0, detto (a) indicato con -a, ESISTENZA DELL'OPPOSTO

(P₁) a · b = b · a ∀a, b ∈ R, COMMUTATIVA

(P₂) (a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ R, ASSOCIATIVA

(P₃) ∃ 1 ∈ R : a · 1 = a ∀a ∈