Appunti ed esercitazioni di Matematica

27/09/2021

LOGICA MATEMATICA

PROPOSIZIONE - ENUNCIATO AFFERMAZIONE CHE PUÒ ESSERE VERO O FALSO E MAI ENTRAMBI. PROPOSIZIONE DECIDIBILE = DECIDIBILE IN QUANTO È POSSIBILE RIFORNULARLA O CONFUTARLA.

È POSSIBILE EFFETTUARE DELLE OPERAZIONI LOGICHE TRA LE PROPOSIZIONI, COME:

1. EQUIVALENZA LOGICA

   DUE PROPOSIZIONI SONO EQUIVALENTI QUANDO ESPRIMONO LO STESSO CONCETTO. P ≡ Q

2. SOMMA LOGICA

   CHE RISULTA VERA SE E O ALCUNA MAI DELLE 2 È VERA. P O Q

   P | Q | P ∨ Q

   • V | V | V
   • V | F | V
   • F | V | V
   • F | F | F

   "UNITO"

3. PRODOTTO LOGICO

   CHE RISULTA VERO SOLO SE ENTRAMBE SONO VERE. P ∧ Q

   P | Q | P ∧ Q

   • V | V | V
   • V | F | F
   • F | V | F
   • F | F | F

4. NEGAZIONE LOGICA

   DATI P ¬ P

   P | ¬ P

   • V | F
   • F | V

IMPLICAZIONE LOGICA

STABILISCE UNA RELAZIONE TRA DUE PROPOSIZIONI P E Q IN CUI

P ⇒ Q (P "IMPLICA" Q). SI PUÒ AFFERMARE CHE:

• P È CONDIZIONE SUFFICIENTE PER Q (P C.S. Q) &
• Q È CONDIZIONE NECESSARIA PER P (Q C.N. P)

DIMOSTRAZIONE

È UNA RELAZIONE TRA DUE PROPOSIZIONI P E Q TALE CHE

P ⇔ Q (P "COMPORTA" Q). SI PUÒ AFFERMARE CHE:

• P È CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE PER Q (P C.N. S. Q) &
• Q È CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE PER P (Q C.N. S. P)

TEOREMA

ENUNCIATO IN CUI P: IPOTESI => Q: TESI DIMOSTRAZIONE diretta (INDIMOSTRAZIONE)

PER ASSURDO (NEGAZIONE DELLA TESI)

Insiemi

Un insieme si indica con le lettere dell'alfabeto maiuscole.

Gli elementi che compongono un insieme si indicano con le lettere dell'alfabeto minuscole.

Un insieme si può scrivere elencando tutti i suoi componenti es. A={a,b,c,d,e}=Boppure tramite una legge generativa es. A={n∈N: n(p=pari)}

Sottoinsieme

Dati gli insiemi A e B posso affermare che A è sottoinsieme di B.

A⊆B ⇔ ∀a ∈ A risulta che a∈B

⇨ implicazione logica

• Se A⊂B e B⊂A ⇒ A=B coincidenti
• Se A≠B non coincidenti ⇒ ∅ insieme vuoto ∅=insieme senza elementi

Sottoinsieme proprio

A è un sottoinsieme proprio di B ⇔ A⊂B

(A⊆B) ∧ (∃ b∈B tale che b∉A)

Esiste appartenente ⇒ non app.

Operazioni tra insiemi

1 Unione - 2 Intersezione - 3 Differenza - 4 Prodotto cartesiano

Sia X insieme ambiente e A, B, C ⊂ X

1. A∪B={x∈X: x∈A ∨ x∈B}
2. Proprietà:
• Commutativa A∪B=B∪A
• Associativa (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
• A∪∅=A
• Se A⊂B ⇒ A∪B=B
3. A∩B={x∈X: x∈A ∧ x∈B}
4. Proprietà:
• A∩B=B∩A
• (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
• A∩∅=∅
• Se A⊂B allora A∩B=A
• A e B fossero sottoinsiemi disgiunti ⇔ A∩B=∅
5. A-B={x∈X: x∈A ∧ x∉B}
6. ⊇
7. A complementare di A rispetto ad X=X-A={x∈X: x∉A}

3)

C={x∈ℤ|x²<6x}={0,4, 2, 3}

ℤ=insieme numeri relativi (interi).

5)

D={x∈ℝ|e^x>5}={x∈ℝ|x>log_e5}

e: numero di nepero ≈ 2.7

in generale → a ^x ≥ b

a>1 ↔ x≥log_ab

0<a<1 ↔ x ≤ log_ab

nel 1° caso stesso segno della disuguaglianza

5)

E={x∈ℝ|x²<4}={x∈ℝ|x<-2}

x²<4

x²<log₂4

x<-2

6)

Dato 2 insiemi: A:{x∈ℝ|e^x ≥ 1 }   & B:{x∈ℝ| x² - 1 >0} Determinare A∪B e A∩B

A={x∈ℝ|e^x≥1}={x∈ℝ|x≥0}

B={x∈ℝ|x² -1>0}={x∈ℝ|x<-1 ∨ x>1 }

A∪B={x|x∈A ∨ x∈B}={x∈ℝ|x<-1 ∨ x≥0}

A∩B={x|x∈A ∧ x∈B}={x∈ℝ|x>1}

Soluzione x>1

Punto di frontiera

Tutti i punti isolati sono di frontiera. Un punto di accumulazione è anche di frontiera se non appartiene dall'insieme.

5/10/2022

Insieme Aperto - Insieme Chiuso

Insieme Aperto → Un insieme costituito tutto da punti interni.

Insieme Chiuso → Un insieme il cui complementare è aperto.

Dato A ⊂ R:

• A aperto ⇔ A è costituito da punti interni.
• A chiuso ⇔ A^c è aperto.

Teorema sulla condizione necessaria e sufficiente a A sia chiuso

Dato A ⊂ R:

A è chiuso ⇔ A contiene tutti i suoi punti di accumulazione ∀x punto di A ϵ A.

A: [2, 7] = {x ϵ R | 2 ≤ x ≤ 7}

Dimo per assurdo → A è chiuso

• x ϵ A, x ϵ ∂F ⇒ x ∉ interno di A^c ⇒ j(x) in cui non cadono punti di A
• ⇒ x non potrebbe essere un punto di accumulazione di A ⇒ x ϵ A.

⇐ Assurdo

Funzioni Reali di Variabile Reale

Fino ad ora abbiamo considerato genericamente le funzioni f: A → B.

Dei funzioni reali di variabile reale si chiamano così perché sono definiti in R, P ⊂ R → R.

Ciò significa che A ∈ R. B ∈ R

P. X ⊂ R, F. g ⊂ R

La funzione è una legge che ad ogni x ϵ X associa uno ed un solo y ϵ g, y = f(x)

x = variabile indipendente y = f(x) | variabile dipendenteX = dominio della funzioneF(x) = codominio della funzione: ∃! g ϵ g, g = f(x) x ϵ X

FUNZIONI INVERSE DELLA n POTENZA

n dispari   P(x)=xⁿ   n ∈ ℝ   n ≥ 3   m ∈ ℝ   ρ^-1=√_n

y²=x²∧ -√_n

m pari   P(x)=xⁿ   m ≥ 2   m ∈ ℕ   NON È INVERTIBILE

x^-1 [0,+∞[   ℝ e iniettiva quindi invertibile

p:³√ [0,+∞[   [0,+∞[

FUNZIONE ESPONENZIALE

P(x)=a^x   con a>0_a≠1

a^x: ℝ→[0,+∞[

a^x > 0   ∀x∈ℝ

È INVERTIBILE ⇔ la sua inversa è log_a

Iniettiva

Monotona crescente/decrescente

FUNZIONE LOGARITMO

log_a: ]0,+∞[ → ℝ

log_ax=y ⇔ a^y=x

Monotona crescente/decrescente

Iniettiva e suriettiva

Successione

Una funzione a_n: N → R

Il termine generico della successione si indica con a_n con n ∈ N

• Esempio di a_n
• a_n = n²

a_n = ¹∕_n

La successione a_n = ¹∕_n con n ∈ N

a_n → 0

a_n - ε

Limite finito di una successione

Sia data a_n: N → R

c ∈ R

Per definizione lim a_n = c

lim n → +∞

∀m ∃n_ε ∈ N ∀m > n_ε risulta che |a_n - c| < ε

ε

e

e

e

ε = e

e - ε e + ε

n_ε N_ε