Appunti economia industriale

La concorrenza alla Bertrand

Le imprese fissano un prezzo e si vincolano con i consumatori disposti a pagare quel prezzo con tutta la loro capacità disponibile. Questo comporta che le imprese possono pensare il prezzo che vogliono, però poiché ci sono altre imprese è possibile che le imprese siano costrette a fare un prezzo basso. Concorrenza alla Bertrand non vuol dire modello di Bertrand. Nel modello di Bertrand ci sono una serie di assunzioni forti che comportano che il prezzo si determini uguale al Cmg (paradosso di Bertrand: in concorrenza perfetta c’è quest’uguaglianza non nel duopolio). Ci possono però essere una serie di altre assunzioni che portano a prezzi diversi dal Cmg.

Elementi del gioco

Quando si parla di un gioco bisogna considerare:

• Numero di giocatori
• Strategie a disposizione dei giocatori
• Esiti

Le assunzioni devono servire a determinare questi tre elementi: l’assunzione 1 infatti ci dice che il numero delle imprese sono 2 (poi tratteremo invece l’oligopolio, più di due imprese e rimuoveremo quest’assunzione). L’assunzione 2 ci dice che stiamo supponendo che ogni impresa produce un solo bene e tutti i beni prodotti da tutte le imprese sono omogenei tra di loro, i consumatori non li distinguono. Se l’unica cosa che distingue i beni non è la qualità ma il prezzo, solo l’impresa che fa il prezzo più basso è sicura di vendere. Le altre potrebbero vendere o non vendere a seconda di certe circostanze.

Assunzione 3: la domanda di mercato. La domanda è decrescente e supponiamo che sia anche concava, la concavità non si giustifica per motivi di realismo ma serve a garantire che la funzione del profitto abbia un solo massimo. Se la funzione del profitto avesse più massimi ci sarebbero dei problemi. La funzione di domanda può essere scritta o come Q funzione di P o come P funzione di Q. A domanda serve a trovare i ricavi. I profitti sono ricavi meno costi.

Assunzione 4: è chiaro che domanda, che determina i ricavi, meno i costi ci da la funzione del pay off. La funzione dei costi che noi tratteremo è composta da due parti, due quantità che un’impresa prende in considerazione: la quantità prodotta: Qi e la capacità dell’impresa. Nel modello di Bertrand e nel modello di Edgeworth considereremo la capacità come data. Se la capacità è data non può essere superata.

Supponiamo che il costo dipenda da una parte fissa F, un’altra parte che è fissa nei modelli in cui la capacità è data e che è r volte la capacità rK. Se però la capacità non è data rk è variabile. Studieremo poi modelli in cui la capacità è una variabile strategica. C’è poi una parte in cui noi assumiamo che il Cmg sia costante e funzione della quantità prodotta; questo avviene solo se la quantità prodotta è minore o uguale a Ki. Se invece la quantità prodotta eccede Ki il costo è infinito, ovviamente se il costo è infinito nessuna impresa entra nel mercato, ciò implica che le imprese non possano eccedere la capacità ki.

→ Domanda e costi determinano la funzione del profitto.

Assunzione 5: la regola del razionamento efficiente dice che se pi < pj, se l’impresa i fa un prezzo più basso dell’impresa j però D(pi) > ki, la domanda al prezzo pi è maggiore della capacità dell’impresa i-esima: l’impresa i-esima fa il prezzo più basso, vende tutto quello che può vendere ma una parte di consumatori resta insoddisfatta, allora noi assumeremo che la domanda D(pi) - Ki non è servita dall’impresa i e l’impresa j ottiene una domanda residua pari a questa quantità. In questo contesto anche l’impresa che fa il prezzo più alto potrebbe avere una domanda. Il prezzo alto significa ricavo per unità di prodotto più alto, c’è quest’alternativa, si può fare un prezzo basso per guadagnare domanda oppure fare un prezzo basso per aumentare i profitti. Le imprese hanno questa scelta da fare, ma non sarà una scelta del tipo prezzo alto o prezzo basso bensì una scelta del tipo “che prezzo faccio”?

La domanda individuale dell’i esima impresa dipende dal proprio prezzo, dal prezzo dell’altra impresa e dalla capacità dell’altra impresa, non dalla propria.

Se pi < pj la sua domanda è D(pi). Se pi > pj allora avrà una domanda che sarà uguale al massimo tra 0 e Dpi - kj. Se pi = pj le imprese si dividono a metà il mercato, però ci potrebbe essere il caso in cui un’impresa è talmente piccola che la metà non riesce a soddisfare la metà del mercato, in queste condizioni lascia libera una parte di domanda di cui si approprierà l’altra. Di è uguale alla metà del mercato, poi c’è la domanda residuale quando Kj è minore di D/2. La domanda residua quindi uguale a D/2 meno kj.

Esempi di domanda individuale

Figura 1.1: Se il prezzo di un’impresa è minore dell’altra la domanda complessiva è uguale alla domanda dell’impresa. Se invece il prezzo è più alto dobbiamo togliere kj: c’è uno spostamento della curva verso destra di kj. La funzione di domanda individuale dipende da kj, pj ed è funzione di pi. In quest’esempio Kj è minore della metà.

Figura 1.2: In quest’altro esempio kj invece è maggiore della metà, abbiamo sopra e sotto le stesse cose ma, mentre nell’altro caso abbiamo una sola discontinuità, qui ne abbiamo due. Kj è più grande, quindi se pj = pi si prende la metà, non si prende meno della metà.

Figura 1.3: L’altra impresa sceglie kj grande, allora noi avremo che per valori bassi del prezzo la domanda è sempre la stessa, per valori alti è zero. Esiste un solo valore per cui si divide a metà.

In tutte e tre queste funzioni di domanda c’è una discontinuità in funzione del prezzo, in un caso la discontinuità è solo a destra, in alcuni casi è sia a destra sia a sinistra.

Regole di razionamento della domanda

Questo non è l’unico tipo di razionamento. Supponiamo che ci siano n consumatori tutti uguali, la domanda di mercato è uguale alla somma delle domande degli n consumatori, si chiama razionamento efficiente quando ciascun consumatore è equamente razionato. Giunto al prezzo pi, giunti al prezzo dell’altra impresa, per ciascun consumatore la quantità che si avrà al prezzo più basso sarà ki/n. Ciascun consumatore acquisterà una parte al prezzo più basso e il resto al prezzo più alto. Tutti i consumatori sono razionati e tutti allo stesso modo.

Tuttavia esiste anche il razionamento proporzionale, quello dal punto di vista empirico più realistico. Questo razionamento suppone che ci sia un meccanismo del tipo primo arrivato primo servito. Gli altri consumatori dovranno comprare a un prezzo più alto. L’impresa che vende al prezzo più basso soddisferà un certo numero di consumatori, un consumatore comprerà un po’ da una e un po’ dall’altra e tutti gli altri compreranno al prezzo più alto. Questo significa che la quantità ki per Dpi verrà soddisfatta al prezzo più basso, mentre la quantità 1-kiDpi sarà soddisfatta al prezzo più alto. Noi avremo che la domanda che riceve l’impresa j è uguale al massimo tra 0 e Dpj moltiplicato la quantità insoddisfatta dall’impresa che fa il prezzo più basso.

Figura 1.4: Dal punto di vista grafico nel tratto marcato la relazione è decrescente. Noi seguiremo la regola del razionamento efficiente perché è più semplice.

Figura 1.5: Confronto tra le due. La curva di domanda è sempre maggiore col razionamento proporzionale.

... torniamo alle assunzioni...

Assunzione 6: le imprese sono grandi. Anche se il prezzo è il più basso possibile, uguale al costo marginale, la domanda che ne deriva è minore o uguale alla capacità di ciascuna delle imprese. Quando faremo l’assunzione 6 metteremo da parte la 5 e viceversa. Quando c’è la 6 la funzione di domanda si semplifica: Se pi > pj il max tra i due è zero perché l’altro è negativo, se pi = pj il max è Dpi/2 perché l’altro è negativo.

Assunzione 7: la struttura temporale. Quest’assunzione la faremo solo nei primi 2 modelli. C’è un solo tempo e in questo tempo le imprese fissano il prezzo. Noi stiamo facendo una concorrenza alla Bertrand quindi il prezzo è una variabile strategica, ce ne potrebbero essere delle altre. In tutti gli altri modelli invece ci saranno più tempi.

Assunzione 8: le strategie, la variabile strategica è il prezzo ma questo è ovvio a causa della struttura temporale.

Il modello di Bertrand

Il modello di Bertrand esclude l’assunzione 5, ci potrebbe anche essere ma sarebbe inefficace a causa della 6. L’assunzione 1 definisce il numero di giocatori. Le assunzioni 7 e 8 definiscono lo spazio strategico, la 7 ci dice che c’è un solo tempo in cui si sceglie il prezzo, il prezzo varia tra un minimo pari al costo marginale e p segnato che è il prezzo oltre il quale la domanda è zero.

Figura 2.1: ogni impresa ha uno spazio strategico pari a questo intervallo. Ciascuna combinazione P è lo spazio strategico e equivale a tutte le combinazioni che si possono avere. Ogni impresa farà un prezzo compreso tra c e p segnato, l’insieme di tutti i punti forma lo spazio. Per ogni punto di questa “tabella” possiamo individuare una funzione che ci dà il profitto delle due imprese. Questo è l’insieme delle funzioni che sono gli esiti.

Noi abbiamo visto che la domanda delle impresa i per pi < pj è Dpi, per pi = pj è Dpi/2, per pi > pj è 0. Queste quantità moltiplicate per pi - c ci danno il profitto variabile, il profitto che dipende dalla quantità prodotta. In questo modello la quantità prodotta coincide con la quantità domandata. Se al profitto variabile sottraiamo il costo fisso abbiamo il profitto complessivo. Come la domanda, questa funzione dipende da entrambi i prezzi e dalla capacità dell’altra impresa.

Figura 2.2: Rappresenta il profitto VARIABILE. Sull’ordinata troviamo πi che è il profitto variabile e sull’ascissa il proprio prezzo pi. Per l’ipotesi di concavità della domanda questa funzione è concava e non ha più gobbe. L’estremo (circoletto) non fa parte della funzione, a quel punto si scende nel pallino nero che invece fa parte della funzione, e a quel punto si scende ancora, il prezzo diventa maggiore di pj e quindi la quantità è zero. Quest’altro punto non fa parte della funzione (circoletto). Il massimo della funzione del profitto corrisponde al prezzo del monopolista: abbiamo il dupolio ma il max è il prezzo del monopolista? Non torna. In realtà è così perché noi abbiamo supposto che l’altra impresa faccia un prezzo molto più alto (che probabilmente non farà mai). Questa situazione quindi si verifica quando il prezzo dell’altra impresa è superiore al prezzo di monopolio.

Figura 2.3: Se invece il prezzo dell’altra impresa è inferiore al prezzo di monopolio la funzione di profitto sale fino al circoletto, ci sono poi due crolli e poi è orizzontale. In questo caso non c’è un massimo. Il massimo assoluto di una funzione è un valore della funzione tale che la funzione non assume mai tale valore in nessun altro punto, o al più lo assume in altri punti se ci sono più massimi ma non potrà mai assumere valori superiori. In questo caso non c’è in massimo ma c’è l’estremo superiore, il punto non appartiene alla funzione.

(Se prendiamo l’insieme di tutti i numeri minori o uguali a 5 il max è 5, se invece prendiamo tutti i numeri minori di 5 non c’è un max, 5 non appartiene e qualsiasi altro numero sarà inferiore a un altro minore di 5). In un’economia in cui bisogna massimizzare il profitto e non c’è massimo sorgono problemi. In questo caso anche se il prezzo dell’altra fosse esattamente pm non ci sarebbe il max ma l’estremo superiore in corrispondenza del vertice.

Figura 2.4: In questo caso il prezzo dell’altra impresa è uguale a c quindi la funzione del profitto è un segmento orizzontale. Il profitto è sempre ben definito e dipende dal prezzo dell’altra impresa. Maggiore, minore di pm o uguale e c. Cerchiamo ora se c’è l’equilibrio nel modello di Bertrand.

Equilibrio nel modello di Bertrand

Dividiamo l’insieme in più parti:

• Pa: l’insieme di tutte le coppie di prezzo tali che almeno uno dei due è maggiore del prezzo di monopolio. In questa superficie non può esserci un equilibrio di Nash: almeno un’impresa fa un prezzo superiore al prezzo di monopolio quindi l’altra impresa farà il prezzo di monopolio. Un’impresa è soddisfatta ma l’altra no, avrebbe preferito fare un prezzo più basso, inferiore a quello di monopolio.
• Pb: è il quadrato verde tranne la diagonale. Entrambe le imprese fanno prezzi uguali o minori a quello di monopolio però una fa il prezzo più basso dell’altra, in un triangolo rettangolo (senza l’ipotenusa) è l’impresa 1 a fare il prezzo più alto, nell’altro triangolo è il contrario. Il problema è che qui non ci può essere l’equilibrio perché entrambe le imprese sono insoddisfatte: L’impresa che fa il prezzo più basso è insoddisfatta perché vende tutto quello che può vendere ma, conoscendo il prezzo dell’altra avrebbe potuto fare un prezzo sempre inferiore alla rivale ma un po’ più alto. L’impresa che fa il prezzo più alto è insoddisfatta perché se avesse fatto un prezzo più basso avrebbe ottenuto un profitto variabile positivo.
• Pc: è la diagonale tranne il punto. Lungo la diagonale non c’è un equilibrio di Nash, le due imprese hanno metà domanda (fanno lo stesso prezzo) ma potrebbero guadagnare tutta la domanda facendo un prezzo leggermente più basso. Potrebbero guadagnare quasi il doppio.
• Pd: è il punto (c,c). questo punto è l’unico equilibrio di Nash. Nessuna impresa ha convenienza a cambiare il prezzo.

Le funzioni di reazione

Sono un modo per studiare i giochi continui, i giochi in cui le strategie sono continue.

Figura 2.6: Dobbiamo costruire la migliore risposta, la risposta ottima dell’impresa 1 a una strategia possibile dell’impresa 2. Se l’impresa 2 fa un prezzo maggiore di pm ma minore o uguale di p segnato all’impresa 1 conviene fare il prezzo di monopolio. Il tratto verticale tranne il circoletto quindi fa parte della funzione di reazione. Se l’altra impresa fa il prezzo c, all’impresa 1 conviene fare qualunque prezzo compreso tra c e p segnato, se fa c si divide il mercato a metà ma il profitto è sempre 0 (p = c, p - c = 0 0 * Q = 0), se fa un prezzo superiore invece sarà q = 0 ad azzerare il prodotto.

Figura 2.7: Se mettiamo anche l’impresa 2 avremo la funzione di reazione vediamo che le funzioni di reazione si intersecano in un unico punto (c,c) che è quindi l’unico equilibrio.

{ripasso 14.3.12

Il modello di Bertrand

Le strategie a disposizione delle imprese sono i prezzi compresi tra c e p segnato. Fare un prezzo oltre p segnato non ha senso perché la domanda sarebbe zero. Non ha senso neanche andare sotto c, c è il costo marginale, se l’impresa facesse un prezzo inferiore a c andrebbe anche sotto i costi marginali: più vende più perde. Noi possiamo partizionare l’insieme. Abbiamo un insieme di sottoinsiemi che si escludono l’un l’altro, l’intersezione tra i due è l’insieme vuoto e l’unione è l’insieme dato. Se io prendo un insieme di sottoinsiemi di un insieme dato, io parlo di partizione se ogni sottoinsieme dell’insieme, ogni coppia di sottoinsiemi ha l’intersezione vuota e l’unione di tutti i sottoinsiemi è uguale all’insieme dato.

Sia in Pa sia in Pb sia in Pc non ci sono equilibri di Nash perché almeno una delle due è insoddisfatta. Solo in PD (c,c) le imprese sono soddisfatte delle scelte fatte, in queste condizioni fanno un profitto variabile nullo però non potrebbero fare di meglio. Se una fa c e l’altra un prezzo più alto, entrambe fanno un profitto nullo però quella che fa c non è soddisfatta perché avrebbe potuto fare un prezzo inferiore all’altra ma comunque maggiore di c. L’equilibrio di Nash quindi richiede che entrambe le imprese facciano un prezzo c.}

Il modello di Edgeworth

È come il modello di Bertrand ma con un’assunzione diversa. Qui c’è assunzione 5, in Bertrand invece c’era la 6, ossia ciascuna impresa era abbastanza grande da soddisfare tutta la domanda, quindi non c’era domanda residua e l’assunzione 5 era superflua. Il modello di Edgeworth è formato dalle stesse assunzioni di Bertrand tranne la 6.

L’assunzione 1 definisce il numero di giocatori. Le assunzioni 7 e 8 definiscono lo spazio strategico, le combinazioni di prezzi che sono le strategie disponibili. Le assunzioni 2, 3, 4 e 5 invece consentono di determinare il profitto della singola impresa. Noi abbiamo visto che quando pi < pj la domanda era uguale a tutta la domand...