Appunti e dimostrazioni Geometria e Algebra

Revisionato il 26/06/2026

di deddu01

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Questi appunti spiegano come andare a svolgere gli esercizi di geometria analitica, spazi euclidei e funzioni lineari.Inoltre negli appunti sono presenti la maggior parte delle dimostrazioni che …

Esame Algebra e geometria lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Siciliano Salvatore

Università Università del Salento

A.A. 2020-2021

50 pagine

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Estratto del documento

Dimostrazioni di geometria e algebra

Teorema: Matrici simili e polinomio caratteristico

Se A e A' sono matrici simili, allora hanno lo stesso polinomio caratteristico.

Dimostrazione:

Poiché A e A' sono simili, esiste una matrice invertibile P ∈ K^n,n tale che A' = P^-1AP. Segue:

P_A'(λ) = det(A' - λI) = det(P^-1AP - λI) = det(P^-1AP - λP^-1P) = det(P^-1(A - λI)P)

Per il teorema di Binet = (det P^-1)(det(A - λI))(det P) = det(A - λI)(det P)^-1(det P) = det(A - λI) = P_A(λ)

Teorema: Matrice antisimmmetrica e determinante

Sia A ∈ ℝ^n,n con n dispari. Provare che se A è antisimmmetrica allora det A = 0.

Soluzione:

A antisimmmetrica ⇔ A^T = -A. Quindi:

det A^T = det A
det A^T = det(-A) = (-1)ⁿ det A

Pertanto si ha: det A = (-1)ⁿ det A, pertanto se n è pari si ha det A = det A, se n è dispari si ha det A = -det A, questo succede se e solo se det A = 0. c.v.d.

Teorema: Matrice invertibile e determinante

Sia A ∈ K^n,n invertibile allora:

det A ≠ 0
det (A^-1) = 1/det A

Dimostrazione:

Con il teorema di Binet si ha che:

det(A)(det A^-1) = det(AA^-1) = det(I) = 1, pertanto det A ≠ 0
det(A)(det A^-1) = 1 ⇔ dividendo per det A: (det A)(det A^-1)/det A = 1/det A ⇔ det A^-1 = 1/det A

Teorema: Matrice trasposta invertibile

Sia A ∈ K^n,n una matrice invertibile. Provare che A^T è invertibile e (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

Soluzione:

AA^-1 = I, A^-1A = I. (A^-1A)^T = I^T (A^-1)^TA^T = I^T = I A^T(A^-1)^T = I^T, quindi (A^T)^-1 = (A^-1)^T. Se A^T è invertibile, (A^T)^-1 è la matrice inversa.

Determinante di una matrice ortogonale

A ortogonale, qual è il suo determinante?

Soluzione:

Per una proprietà della matrice trasposta, A ⋅ A^T = 1 ⇒ det A ⋅ det (A^T) = det (A ⋅ A^T) = det (I) = 1. Per la proprietà delle matrici trasposte, det A = det A^T, pertanto det (A^T) ⋅ det (A^T) = det (A) ⋅ det (A) = det (A)² = 1 ⇒ det A = ±1.

Teorema: Prodotto di matrici ortogonali

Siano A, B ∈ K^n,n due matrici ortogonali, provare che AB è diagonale.

Dimostrazione:

Si ha A(a_ij) ∈ K^n,n e B(b_ij) ∈ K^n,n. Infatti (a_ij · b_ij)^T = (a_ij · b_ij)^T = (a_sj · b_ji) = (AB)^T.

Teorema: Somma di matrice e trasposta

Provare che A + A^T è simmetrica.

Soluzione:

(A + A^T) ⇒ (A + A)^T A^T + (A^T)^T ⇒ A + A^T = A^T + A ⇒ A + A^T = A^T A^T.

Teorema: Matrice nilpotente e determinante

Sia A ∈ K^n,n una matrice nilpotente, provare che det A = 0.

Dimostrazione:

Si dice nilpotente se ∃k ∈ ℕ t.c. A^k = 0 ⇒ det(A^k) = det0 · 0. Per il teorema di Binet, det(A)^k = 0 ⇒ det A = 0.

Teorema: Matrici simili e determinante

Siamo A, B ∈ K^n,n due matrici simili. Dimostrare che A e B hanno lo stesso determinante.

Soluzione:

Essendo matrici simili si ha la seguente proprietà: P^-1AP = B. Allora det B = det(P^-1AP), per il Teorema di Binet si ha det P^-1, det A · det P = det P^-1 · det P · det A = det A. c.v.d.

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