Appunti e dimostrazioni Geometria e Algebra

DIMOSTRAZIONI

DI

GEOMETRIA E ALGEBRA

Andrea De Dominicis

andrea.dedominicis@studenti.unisalento.it

andreadedominicis01@gmail.com

Teorema:

Se A e A^' sono matrici simili, allora hanno lo stesso polinomio caratteristico.

Dimostrazione: Poiché A e A^' sono simili, esiste una matrice invertibile P ∈ K^n,n tale che A^' = P^-1AP, segue:p_λ(A^') = det (A^' - λI) = det (P^-1AP - λI) = det (P^-1(A - λI)P) = = det (P^-1 (A - λI)P) = per il teorema di Binet = = (det P^-1) (det (A-λI)) (det P) = det (A-λI) (det P)^-1 (det P) = = det (A-λI) = p_λ(A)

Sia A ∈ R^n,n con n dispari. Provare che se A è antisimmetrica allora det A = 0.

Soluzione: A antisimmetrica ↔ A^T = -A. Quindi:1^° det A^T = det A 2^° det A^T = det (-A) = (-1)ⁿ det APertanto si ha:det A = (-1)ⁿ det A, pertanto se n è pari si ha det A = det Ase n è dispari si ha det A = - det A, questo succede se e solo se det A = 0

c.q.d.

Siano V e W spazi vettoriali di dimensione finita su un campo K. Dimostrare che V ≅ W ⇔ dim V = dim W

Soluzione

• (⇒) Poichè V ≅ W esiste un isomorfismo φ: V → W. Dal teorema fondamentale dell'algebra lineare segue: dim W = dim Im φ + dim Ker φ = dim V
• (⇐) Sia n = dim V = dim W. Sia B = {v₁, ..., v_n} base di V e B' = {w₁, ..., w_n} una base di W. Sia φ: V → W l'unica funzione lineare tale che φ(v_i) = w_i per ogni i = 1, ..., n.
• φ è iniettiva, infatti, sia x = x₁v₁ + ... + x_nv_n ∈ Ker φ. Allora 0_w = φ(x) = x₁φ(v₁) + ... + x_nφ(v_n) = x₁w₁ + ... + x_nw_n ⇒ x₁ = ... = x_n = 0 ⇒ x = 0 ⇒ Ker φ = {0_v} ⇒ φ è iniettiva.
• φ è suriettiva. Sia y = y₁w₁ + ... + y_nw_n ∈ W. Posto x = y₁v₁ + ... + y_nv_n Allora φ(x) = y₁φ(v₁) + ... + y_nφ(v_n) = y₁w₁ + ... + y_nw_n = y.

Così φ è suriettiva. Segue che φ è un isomorfismo e V ≅ W. c.v.d

Sia G=(V, E) un grafo:

• G è un albero
• per ogni V₁, V₁ ∈ W esiste un unico cammino da V₁ a W

Dimostrazione

1 → 2

Siano V₀, W ∈ V. Poiché G è connesso esiste un cammino V₀, V₁, ..., V_n con V₀ = V (punto di partenza) e V_n = W (punto di arrivo).

Supponiamo per assurdo (si nega la tesi e si deve giungere a una conclusione contraddittoria), esista un cammino V₀, V'₁, ..., V'_n diverso del precedente.

Allora V₀, V₁, ..., V_n, V'_n-1, ... V'₀ è un ciclo.

Questo è assurdo quindi la tesi è vera, essendo un albero non può avere cicli. (circuito semplice con almeno 3 archi).

2 → 1

Supponiamo esista V₀, V₁, ..., V_n, V₀ = V_n. Sia 0 ≤ i < n.

Allora poiché V₀ = V_n V₀, V₁, ..., V_i; V_i, V_n+1, ... V_i sono due cammini distinti. Questo è assurdo poiché due vertici di un grafo sono collegati ad un unico cammino.

Disuguaglianza di Minkowski

Se V e' uno spazio euclideo con prodotto scalare g, allora:∀ _u, _v ∈ V ‖_u + _v‖_g ≤ ‖_u‖_g + ‖_v‖_g

per ogni _u, _v ∈ V si ha:‖_u + _v‖²_g = g(_u + _v, _u + _v) = ‖_u‖²_g + 2g(_u, _v) + ‖_v‖²_g ≤= ‖_u‖²_g + 2g(_u, _v) + ‖_v‖²_g ≤ ‖_u‖²_g + 2‖_u‖_g‖_v‖_g + ‖_v‖²_g == (‖_u‖_g + ‖_v‖_g)² --> ‖_u + _v‖_g ≤ ‖_u‖_g + ‖_v‖_g

c.v.d.

IV PASSO: SOSTITUISCO I VALORI DI t E t' NEI PUNTI S ED R

R (2-t, -1 + t, t)

R (2-1, -1 + 1, 1)

R (1, 0, 1)

S (-1, t', -1)

S (-1, 0, -1)

IV PASSO PORRE IL SISTEMA

x - x₁ x₂ - x₁ = y - y₁ y₂ - y₁ = z - z₁ z₂ - z₁

SEGUE SD R ORTOGONALE AD e₁ ED e₃ ↔ R (1, 0, 1) e S (-4, 0, 1)

ATTENZIONE: IL DENOMINATORE DEVE ESSERE SEMPRE UGUALE AD 0

x - x₁ x₂ - x₁ = y - 4 y₂ - 4 = z - z₁ z₂ - z₁ → x - 1 -z - 1 -x - 1 = z - 1 x - 1 y = 0 → →

x - 1 + z - 1 = 0 y = 0 → x - x₁ - z + x₁ = 0 → x + z - 2 = 0

y = 0

ABBIAMO TROVATO LA RETTA DI MINIMA DISTANZA TRA R ed S

*1: Nel caso in cui il denominatore è zero pongo il numeratore = 0

APPUNTI SUGLI ESERCIZI

FUNZIONI LINEARI

Andrea De Dominicis

andrea.dedominicis@studenti.unisalento.it

andreadedominicis01@gmail.com

è un isomorfismo?

Testo d'esercizio

p(x) ↦ p(x) + xp'(x) - 1/2 xp''(x)

I passo

Ricordiamo che la base canonica di R² è {x, x²}, poiché

f(x) = p(x) + xp'(x) = 1 + 0 + 0 = 1

p(x) = p(x) + xp'(x) - 1/2 xp''(x)

f(x²) = p(x) + xp'(x²)

= x + x(1) - 1/2 x(0) = x + x = 2x

= 1/2 xp'(x²)

- 1/2 xp''(x²)

= x² + 2x² - x

II passo

Scrivo la matrice in base ai risultati ottenuti al passo precedente, ricordando che i numeri corrispondono alle x, le x corrispondono alle x, le x² corrispondono alle x².

tenendo conto di non scrivere i risultati dell'equazione per colonna

A = (1 0 0 0 2 -1 0 0 3)

III passo

Calcolo il determinante se esso è diverso da 0 f è un isomorfismo

6+0+0-0-0-0=6

Quindi f è un isomorfismo poiché Det A ≠ 0

Risalto

TESTO DELL'ESERCIZIO

Si consideri l'endomorfismo f: ℝ³ → ℝ³ definito da

f(x, y, z) = (-3/2 x + y 1/2 x - 1/2 y + z, 1/2 z)

Sottospazio V = {(x, y, z) | x - z = 0}

1. Passo trovare 1 sottospazi nel seguente modo, tenendo conto delleequazioni all'interno del sistema si va a modificare la (x, y, z) e si va aconsiderare uno alla volta i coefficienti all'interno.
• (z, y, z) = L(1, 0, 0, 1) (0, 1, 0)
2. Passo Sostituire i valori all'interno del sottospazi all'internodell'equazione f del comando dell'esercizio
• (1, 0, 1) => (-3/2 ∙ 1 + 0, 1/2 1 - 1/2 0 ∙ 0, 1, 1/2 ∙ 1) => (3/2, 3/2, 1/2)
• (0, 1, 0) => (-3/2 ∙ 0 + 1, 1/2 ∙ 0 - 1/2 ∙ 1 ∙ 0, 1/2 ∙ 0) = (1, 1/2, 0)
3. Passo metto insieme le due parentesi trovate

f(V) = L (-3/2, 3/2, 1/2) (1, 1/2, 0)

Questa è l'immagine tramite f del sottospazio

Risolto