Appunti e Algoritmi di Calcolo Numerico

METODI ANALITICI E NUMERICI PER L’INGEGNERIA

POLITECNICO DI MILANO - FACOLTA’ DI INGEGNERIA INDUSTRIALE

Metodi analitici e numerici per l’ingegneria

Generalità A==A’

Matrice simmetrica: = →

Matrice definita positiva: tutti gli autovalori sono reali e positivi (se

> 0 ∀ ≠ 0 → > 0 ∀

min(eig(A))>0.

è maggiore di 0 il minimo di essi, lo sono anche gli altri)

Fattorizzazione LU

La fattorizzazione LU si occupa di trovare:

• La matrice U tramite somme e sottrazioni tra le righe sottostanti il pivot e la riga pivotale moltiplicata

per un opportuno coefficiente in modo da annullare tutti gli elementi al di sotto del pivot.

• La matrice L tramite risolvendo un sistema che verifichi l’uguaglianza

=

La funzione Matlab che si occupa di eseguire la fattorizzazione LU di una matrice, con pivoting se necessario

è tale per cui = ∗ :

[L,U,P] = lu(A);

è la matrice di permutazione, se eseguita (altrimenti è la matrice identità).

P:

La condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza ed unicità della fattorizzazione LU della matrice non

singolare con il Metodo di Eliminazione di Gauss senza Pivoting è che tutte le sue sottomatrici (quadrate

)

partendo da in alto a sinistra), siano non singolari, cioè ( ≠ 0.

Risoluzione di sistemi lineari

Per la risoluzione di sistemi lineari del tipo dove

=

matrice dei coefficienti

: ∗

vettore delle incognite (da trovare)

: vettore dei termini noti

:

Tramite l’algoritmo di sostituzione in avanti (fwsub.m), viene prima restituito il vettore soluzione di

=

e poi, mediante l’algoritmo di sostituzione all’indietro (bksub.m), viene restituito il vettore delle

, ,

incognite, soluzione del sistema e del nostro sistema di partenza.

= [L,U,P] = lu(A)

• = �⃗ y = L \ P * b

• ⃗ = x = U \ y

• ⃗ = ⃗

Errore Residuo normalizzato

Errore relativo − |�

�|

− |�

�|

|� =

�|

|� =

�|

�||�

|�

�| norm(A).

Per fare la norma di un vettore si utilizza la funzione

Per calcolare il numero di condizionamento −1 |�

() = ∗

�||� �|

GABRIELE MAZZOLARI A.A. 2019/2020 Pagina | 1

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che esprime la sensibilità della soluzione a variazioni sui dati del problema (variazioni di si utilizza la

)

cond(A)che norm(A)*norm(inv(A)).

funzione significa fare Il numero di condizionamento è bene sia

ragionevolmente piccolo.

L’errore può essere stimato a priori mediante la formula: ���⃗��

() �||�

2

≤ � + �

||� ���⃗��

� �||�

()

1 −

2 �||�

�⃗ −��⃗

Nei nostri casi quindi Pertanto:

= 0, = − ⃗� = −⃗. ���⃗ − ⃗��

�|⃗|�

()

≤ = ()

2 2

���⃗�� ���⃗��

Vettore dei termini noti

Per la costruzione di un vettore dei termini noti, data la matrice dei coefficienti ed il vettore delle

soluzioni esatte, basta fare .

= ∗

Diagonali

diag(A,1)

La funzione si occupa di lavorare con le diagonali della matrice, numerandole in ordine

crescente verso destra (0 e decrescente verso il basso (0 la diagonale “0” è la diagonale

→ ), ↓ −),

principale.

Criteri d’arresto

I criteri d’arresto principali sono due: ()

�� ��

• Quando la norma del residuo scende sotto una specificata tolleranza: ≤

1

�||�

• Quando la differenza tra due iterazioni successive scende sotto una specificata tolleranza:

(+1) () ≤

− ��

�� 2

Autovalori eig(A).

Gli autovalori di una matrice A sono calcolati e messi in un vettore dalla funzione

| ()|

Se il modulo del massimo autovalore è distinto da quello di tutti gli altri e tutti gli autovettori sono

linearmente indipendenti, allora tutti gli autovalori di A sono approssimabili tramite il metodo delle iterazioni

QR (metodo delle potenze).

Metodo di Richardson (iterativo)

Il metodo di Richardson è un metodo iterativo. Il suo algoritmo è:

(0)

1. Scelta precondizionatore non singolare e

(0) (0)

2. = −

3. Per k = 0, … fino al criterio di arresto soddisfatto

() () z = P \ r

con un metodo diretto

a. =

b. Calcolare il parametro di accelerazione se non stazionario

<