Appunti di tutto il programma di Analisi matematica I

I NUMERI REALI

R è l'insieme dei numeri reali, munito di due operazioni (+, .) e di una relazione d'ordine (>, <).

Operazione - associata ad ogni due elementi di R un altro elemento

Assiomi sulle operazioni

Proprietà associativa

(a+b)+c = a+b+c

(a.b).c = a.b.c

Proprietà commutativa

a+b = b+a

a.b = b.a

Proprietà distributiva

Legge additiva e moltiplicativa

a.(b+c) = (a.b)+(a.c)

Esistenza degli elementi neutri

∃ 0,1 ∈ R 0 ≠ 1 :

a+0=a

a.1=a

Esistenza degli opposti

∀a∈R ∃b∈R : a+b=0

Esistenza dell'inverso

∀a∈R - {0} ∃c∈R : a.c=1

Relazione d'ordine

è un sottoinsieme prodotto tra gli elementi di R.

Assiomi sulla relazione d'ordine

Proprietà di dicotomia

∀ a, b ∈ ℝ a ≠ b ⇒ a < b oppure b < aper ogni coppia di numeri reali

Proprietà transitiva

∀ a, b, c ∈ ℝ

a < bb < c ⇒ a < c

Assiomi su operazioni e relazioni

Compatibilità

a < b ⇒ a + c < b + c

a < b ⇒ a · c < b · ca < c

Proprietà di completezza

A, B ⊂ ℝ

A ≤ B ≤ B

A, B ≠ ∅

A ≠ B

a ≤ b ∀ a, b ∈ ℝ ⇒ ∃ c ∈ ℝ: a ≤ c ≤ b

Questi sono gli assiomi di ℝ, a partire da cui si può costruire tutto il resto che deve essere dimostrato.

Prop

(-1)a = -a   ∀a ∈ ℝ

Dim

(-1)a + (1)a = [a(-1) + (a)1] = a(-1+1) =a·0 = 0 ⇒ (-1)a + a = 0⇒ esiste uno ed un solo opposto(-1)a = -a

Prop

-(a+b) = (-a)+(-b)   ∀a, b ∈ ℝ

Dim

-(a+b) = (-1)(a+b) = [(-1)a]+[(-1)b] =(-a)+(-b)

Prop

-(a·b) = (a)·b   ∀a, b ∈ ℝ

Dim

-(a·b) = (-1)(a·b) = [(-1)a]b = (-a)·b

Prop

(-a)(-b) = a·b

Dim

(-a)(-b) = -[a·(-b)] = -[(-b)a] = -[-(b·a)] =-[-(a·b)] = (a·b)poiché abbiamo visto che -(-a) = a

Prop

a>0 ⇔ -a 0

x ∈ ℚ ⇒ x = ^p/_q

p, q ∈ ℤ

q ≠ 0

Supponiamo che p e q siano primi fra loro, ovvero divisibili solo per 1 e -1

x² = 2 ⇒ (^p/_q)² = 2 ⇒ ^p2/_q² = 2 ⇒ p² = 2q²

Questo significa che p² è pari e p è pari

∃ h ∈ ℤ: p = 2h ⇒ (2h)² = 2q² ⇒ 4h² = 2q² ⇒ 2h² = q² e q² è pari ⇒ q è pari

Se sono entrambi pari sono divisibili per 2

Ma essi sono primi tra loro quindi è impossibile

∎ ∄ x ∈ ℚ. x² = 2

ES1

f₁: n ∈ N ⇒ 2n ∈ Y

N = { [ - ∞ , + ∞ ] }

Y = { numeri pari }

La funzione è suriettiva e iniettiva ⇒ biettiva

La sua funzione inversa g^-1: h ∈ Y ⇒ h ∈ N

RESTIRZIONE

Siano X e Y ⊆ R ed f: X ⇒ Y ed A ⊂ X

La RESTIRZIONE di f ad A è la funzione

f | A : X ∈ A ⇒ f(x) ∈ Y

ES2

f₂: x ∈ R ⇒ x² ∈ [0, +∞ [

A = [0, +∞ [

f₂ | A: X² ∈ [0, +∞ [

∀ y ∈ [0, +∞ [ ∃! x ∈ [0, +∞ [ : x² = y

Quindi f₂ è biettiva e invertibile

(f₂ | A)^-1 = ∀ y ∈ [0, +∞ [ [ ] ² ∀ y ∈ [0, +∞ [

FUNZIONE COMPOSTA

Siano X e Y ⊆ B ed f: X ⇒ Y

Siano V e W ⊆ R e g: V ⇒ W

Y ⊆ V

g o f è la funzione COMPOSTA da f e g in cui si prende prima f e poi g

x ∈ X ⇒ g (f(x)) ∈ W

ES3

f₁: n ∈ N ⇒ 2n ∈ N

f₂: x ∈ R ⇒ x² ∈ R

f₂ o f₁: n ∈ N ⇒ f₂ (f₁(n)) = f₂ (2n) = 2n² = 4n²

ESEMPIO

f: x ∈ ℝ → |x| ∈ [0, +∞[

• x ∈ ℝ → -x ∈ ℝ
• -|x| = |x| ∀ x ∈ ℝ

f(x) = f(-x)

Quindi la funzione valore assoluto è pari.

Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse y.

OSSERVAZIONE

Una funzione pari non può essere iniettiva quindi non può essere invertibile.

FUNZIONE DISPARI

Siano X ⊆ ℝ e f: X -> ℝ

f è DISPARI se:

• x ∈ X ⟹ -x ∈ X
• -f(-x) = -f(x) ∀ x ∈ ℝ

L'immagine f di x è uguale all'opposto dell'immagine f di -x.

Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine.

ESEMPIO

f: x ∈ ℝ -> x³

è una funzione dispari.

ESERCIZIO

f ∈ R → x ∈ |x| < 1

1) f(x) = x se |x| < 1

|x| < 1

2) f(x) = x

x ≥ 0

|x| < 1

3) 1 - |x| > 1

|x| ≥ 1

4)