Appunti di tutto il programma di Analisi matematica I

I NUMERI REALI

] -∞ ; +∞ [

R è e' insieme dei numeri reali, munito di due operazioni (+, .) e di una relazione d'ordine ( >, < )

Operazione: associa ad ogni due elementi di R un altro elemento

Assiomi sulle operazioni

Proprietà associativa

(a+b)+c = a+(b+c)   ∀a,b,c ∈ R

(a.b).c = a.(b.c)   ∀a,b,c ∈ R

Proprietà commutativa

a+b = b+a   ∀a,b ∈ R

a.b = b.a   ∀a,b ∈ R

Proprietà distributiva

della somma e moltiplicazione

a.(b+c) = (a.b)+(a.c)   ∀a,b,c ∈ R

Esistenza degli elementi neutri

∃ 0,1 ∈ R 0 ≠ 1 :

a+0 = a   ∀a ∈ R

a.1 = a   ∀a ∈ R

Esistenza degli opposti

∀a ∈ R ∃ b ∈ R : a+b = 0

Esistenza dell'inverso

∀a ∈ R-{0} ∃ c ∈ R : a.c = 1

Relazione d'ordine

è un sottoinsieme prodotto tra gli elementi di R

I NUMERI REALI

[_-∞, +∞[

ℜ è l'insieme dei numeri reali munito di due operazioni (+, .) e di una relazione d’ordine (>, <).

Operazione: assegna ad ogni R in altro elemento due elementi di R.

Assiomi sulle operazioni

Proprietà associativa

(a+b)+c = a+b+c   ∀ a, b, c ∈ ℜ

(a·b)·c = a·b·c   ∀ a, b, c ∈ ℜ

Proprietà commutativa

a+b = b+a   ∀ a, b ∈ ℜ

a·b = b·a   ∀ a, b ∈ ℜ

Proprietà distributiva

In addizione e moltiplicazione

a·(b+c) = (a·b)+(a·c)   ∀ a, b, c ∈ ℜ

Esistenza degli elementi neutri

∃ 0, 1 ∈ ℜ   0 ≠ 1:

a+0 = a   ∀ a ∈ ℜ

a·1 = a   ∀ a ∈ ℜ

Esistenza degli opposti

∀ a ∈ ℜ ∃ b ∈ ℜ : a+b=0

Esistenza dell’inverso

∀ a ∈ ℜ - {0} ∃ c ∈ ℜ : a·c = 1

Relazione d’ordine

È un sottoinsieme prodotto tra gli elementi di ℜ

Assiomi sulla relazione d'ordine

Proprietà di dicotomia

∀ a, b ∈ ℝ     a ≠ b ⇒ a ≤ b oppure b ≤ a

per ogni coppia di numeri reali

Proprietà transitiva

∀ a, b, c ∈ ℝ

a < b

b < c     ⇒ a < c

Assiomi su operazioni e relazioni

Compatibilità

a < b ⇒ a + c < b + c

a < b ⇒ a ⋅ c < b ⋅ c

Proprietà di completezza

A, B ⊂ ℝ    A ≤ B

A ≠ ∅

A ≠ B

a ≤ b    ∀ a, b ∈ ℝ     ⇒ ∃ c ∈ ℝ : a ≤ c ≤ b

Questi sono gli Assiomi di ℝ, a partire da cui si può costruire tutto il resto che deve essere dimostrato.

CONSEGUENZE DEGLI ASSIOMI

ELEMENTO NEUTRO È UNICO

Abbiamo affermato che esiste elemento neutro rispetto alla somma, dimostriamo che è unico.

DIM.Supponiamo di avere due elementi neutri ^0' e ^0''0' + 0 = 0^'0'' + 0 = 0^''0^' = 0^''

Anche l'elemento neutro rispetto al prodotto è unico ¹

DIM.Supponiamo di avere due elementi neutri ^1' e ^1''1' * ¹ = ^1'1'' * ¹ = ^1''1' = ^1''

REGOLA DI SEMPLIFICAZIONE RISPETTO A ±

^{∃ a, b, c ∈ ℝ}a + c = b + c ⇨ a = b

DIM.Secondo l'assioma, ogni numero ha un opposto^{∃ c' ∈ ℝ} : c + c' = 0a + c = b + ca = a + 0 = a + (c + c') = (b + c) + c' = (b + c) + c' = b + (c + c') = b + 0 = ba = b

Regola di semplificazione rispetto a.

a, b, c ∈ ℝ   c ≠ 0

a · c = b · c ⇒ a = b

Dim.

Secondo l'assioma ogni numero ha l'inverso

∃ c^-1 ∈ ℝ: c^-1 · c = 1

a · c = b · c

a = a · 1 = a(c^-1 · c) = (a · c) · c^-1 = (b · c) · c^-1 = b · (c · c^-1) = b · 1 = b

a = b

L'opposto di un numero reale è unico

L'assioma dice che l'opposto di ogni numero reale esiste

Dimostriamo la via incirta e si denota con -ai

Dim

Supponiamo c