Appunti di Termofluidodinamica

Equazione dell'energia

T T T( ) ξ ξ ξ= − + T T∞ ξ ξ∂ ∂ ∂s y y yy2 2y  che sostituite nell’equazione dell’energia fornisconol’equazione differenziale ordinariacoincidono per Pr = 1 =ˆT ( 0 ) 0ˆ ˆ (T - T )/(T - T ) = 02 ∞S S SPrd T d T+ = 0f ∞ =ˆξ ξ2 T ( ) 12d d (T - T )/(T - T ) = 1∞ ∞S Scondizioni al contornoξT* è funzione della sola e di Prξ=ˆ ˆT T ( , Pr)Flussi esterni(coefficiente di scambio termico)−∂ ˆ∂ (T T )TT − ∞− skk ξ δ∂∂ ' ∂ ˆy u T= = == = ∞y 0 0yh k h proporzionale a [∂T*/∂ξ] y=0υ ξ− − ∂(T T ) (T T ) x∞ ∞s s =y 0si adimensionalizza h tramite Nu: Per Pr>0.6∂ ˆhx u x T= = ∞ ∂Nu ˆTυ ξ∂x approssimazione= 1 / 3k 0 . 332 Prξ= ∂y 0 =y 0 [ξ = 0 => derivata è funzione

del solo numero di Pr]spessore dello strato limite termico:δ δ −= =1 / 3 1 / 3Pr Nu 0 . 332 Re Prvi è una relazione tra spessorestrato limite termico e dinamicot x xFlussi esterni(scambio di massa)[stesso metodo utilizzato per lo scambio termico]Analogamente a quanto fatto per l’equazione dell’energia, siintroducono le quantità adimensionaliρ ρ−( ) ( )ρ ρ ρ ξ=u =X X , sξ ˆ= ∞ ˆ ˆy ρ ρ−Xυ X X( )x ∞X , X , s ρsi calcolano le derivate parziali di e si sostituisconoXnell’equazione di conservazione della specie chimicaρ ρ ρ∂ ∂ ∂ 2+ =X X Xu v D∂ ∂ ∂XB 2x y yFlussi esterni(scambio di massa)Si ottiene l’equazione differenziale ordinaria, simile aquella dell’energia ρ ρ2 ˆ ˆd Sc d+ =X Xf 0ξ ξ2d 2 dρ =ˆ ( 0 ) 0condizioni al Xρ ∞ =ˆ ( ) 1contorno Xρ ρ

328quantità medie: x =1 Cτ τ∫= f x,dx Res sx x0x1 ∫= = 1 / 3h hdx Nu 0 . 664 Re Prx xx ½ ½h è inversamente proporzionale a x [mentre lo spessore è proporzionale a x ] => Nu x0 mediato in [0;L] = 2*Nu [la media tiene conto di valori h maggiori rispetto a quelli in L]Lx1 ∫= =h h dx 1 / 3Sh 0 . 664 Re Scm m xx x0

Extra: [se non è chiaro perché Nu = 2Nu ]x L >ScPr, 0 . 6Flussi esterniMetalli liquidiPer i metalli liquidi Pr<<1 quindi [esempio: mercurio...]μ/KPr = C e nei metalli liquidi K elevataplo strato limite da un'indicazione della zona di fluido interessata dallo scambio tra sup.e parete: Un fluido molto conduttivo presenta un'elevata zona termicamente disturbataδ δ>> ≈ u ( y ) u ∞Nello strato limite il campo di velocità è praticamente uniforme.≤Pr 0 . 01= 1 / 2 1 / 2Nu 0 . 565 Re Prx =>x Pe Re Pr 100x xScambio termico convettivoFlussi esterni:

regime turbolento e geometrie varie

Flussi esterni(Lastra piana)(caso Turbolento)

Su lastra piana la transizione da strato limite laminare a turbolento modifica nello spessore e nel tasso di crescita strato limite. Avviene quando 5Re > 10x. Lo spessore dello strato limite varia diversamente tra la zona laminare e quella turbolenta. Si nota come lo spessore aumenti repentinamente e si assesti con una ⅘ ½ maggiore rispetto a x. La crescita è proporzionale a x come nel caso laminare.

Spessore dello strato limite in funzione della posizione considerata:

Laminare: υ x 5 xδ = 5 u Re∞ x

Turbolento: δ −= 1 / 5 ]-⅕[dipende da x la discontinuità nasconde la zona di 0 . 37 x Re x transizione

Flussi esterni(Lastra piana)(caso Turbolento)

Nello strato limite turbolento la dipendenza di Cf, Nu e Sh dalla posizione è ottenuta attraverso correlazioni semiempiriche [base teorica + misure sperimentali].

−= 1 / 5C 0 . 0592 Ref , x x Vale ancora la relazione ⅘ come x

lo spessore dello strato limite, anche N° Nu dipende da Rex= 4 / 5 1 / 3Nu 0.0296 Re Prx Re Nu Sh= =< < C0.6 Pr 60 f , x 1/3 1/32 Pr Sc= 4 / 5 1 / 3Sh 0.0296 Re Scx< <0.6 Sc 3000 Flussi esterni(Lastra piana- Laminare + Turbolento)Nel calcolo del valore medio del coefficiente di scambio lungo lala funzione h(x) è diversa nel caso laminare e turbolentolastra va considerata da diversa dipendenza funzionale dalla5posizione quando L>x dove x : Re(x )=10 .c c c≠[h ha correlazioni nel caso laminare e turbolento]   x xL L Lc c1 1 k( )    − −= = + +   ( l ) ( t ) ( l ) 1 ( t ) 1h h x dx h dx h dx = Nu x dx Nu x dx   L L L   0 0 x 0 xc cρx x xc c cu− − −  = = ∞( l ) 1 1/3 1/2 1 1/3 1/2Nu x dx 0.332 Pr Re x dx 0.332 Pr x dxµx0 0 0ρ 5si sostituisce con 5 10*u x == ∞ 51/3c Re 5100.664 Prµ xc 4/5ρ L L Lu− −

(condizioni al contorno) Nella soluzione di Blasius dell'equazione dell'energia, la condizione al contorno usata è quella di temperatura imposta uniforme; la scelta di una condizione diversa, ad esempio quella di flusso termico imposto uniforme, produce naturalmente soluzioni diverse. [cambiando la condizione al contorno cambia il risultato (si noti che le dipendenze funzionali da Re e Pr rimangono invariate)]

= 1/2 1/3Nu 0.453Re Pr Laminare, flusso termico uniforme x< <0.5 Pr 10

= 4/5 1/3Nu 0.0308 Re Pr Turbolento, flusso termico uniforme x< <0.6 Pr 60

Le condizioni al contorno sono parte fondamentale del problema!

Flussi esterni [NO (tranne appunti)]

(Cilindro) [caso pratico molto diffuso (esempio: scambiatore di calore a fascio tubiero)]

Fenomeno molto più complesso del precedente e pertanto non risolvibile analiticamente: Il passaggio di un flusso nel cilindro genera, oltre ad uno Strato Limite Laminare/Turbolento, una scia, nella quale avvengono grandi