Appunti di Termofluidodinamica

Termofluidodinamica

Scambio termico convettivo

Prof. G.E. Cossali
Data: 05/10/2020

Introduzione

I meccanismi di trasporto dell’energia della quantità di moto e della massa

Esempio: Cucchiaino di zucchero nella tazzina del caffè => Lo zucchero sciogliendosi viene poi trasportato per diffusione molecolare in tutta la tazza del caffè (in circa un giorno); miscelando con un cucchiaino lo zucchero nella tazzina di caffè questo viene dolcificato in pochi secondi: La convezione rappresenta quindi un meccanismo di trasporto di energia, quantità di moto e materia estremamente efficiente.

Simbologia

∂ ∂ ∂  ∂NABLA∇ ≡   ∇ ≡, ,  Operatore Nabla [vettore le cui componenti rappresentano le derivate rispetto a x, y, z]

j x y z x j j = 1, 2, 3 (X = X; X = Y; X = Z)1 2 3

Applicato ad una grandezza scalare T ∂ ∂ ∂ T T T∇  T gradiente di T , ,Vettore di componenti  ∂ ∂ ∂ x y z

Applicato ad una grandezza vettoriale V ∂∂ ∂ VV V+ + yx z∇ ⋅  scalareV divergenza di V ∂ ∂ ∂x y z prodotto scalare tra 2 vettori => scalare∇ × V rotore di V Vettoreprodotto vettoriale tra 2 vettori => rotore

Simbologia (2)

∇ Formalmente può essere trattato come un vettore ∂ di componenti ∇ ≡ ∂j x j Convenzioni di somma nella somma del prodotto delle componenti omologhe viene omesso il termine sommatoria quando gli indici sono gli stessi tra i due vettori 3 ≡ Viene omesso il termine di sommatoria V U V Uj j j j sugli indici ripetuti =j 1

Teorema di Gauss (o della divergenza)

N.B: si noti che viene omesso il termine sommatoria a destra in quanto gli indici sono ripetuti [convenzione sopra]

 ⋅ = ∇V n divergenza vettore integrato su un volume chiuso [dx] = integrale ottenuto integrando sulla dS V dV superficie che racchiude tale volume la componente del vettore V normale alla stessa [sx] j jS V

Le equazioni di conservazione della massa e della quantità di moto

Locale: [utilizzata per approcci analitici]

ρ∂ si nota l'assenza del massa della sostanza contenuta nel volume dato d ρ = termine sommatoria ρ+ ∇ = dV 0 u 0 legge di conservazione della massa ∂ o equazione di continuità del corpo i i dt t Ω ( t )

ρ∂ u ρ ρ d+ ∇ = ∇ + ρ ρ  = +k u u T f equazione di conserv u dV f dV T n dS ∂ i i k i ik k della quantità di moto k k ki it dt Ω Ω ∂Ω ( t ) ( t ) ( t )

stesso significato ma in due forme differenti: SX) Forma differenziale/locale, ovvero valida in tutti i punti del corpo; DX) Forma integrale/globale, ovvero valida per qualsiasi volume scelto =T Tik ki

Il teorema del trasporto volume definito da una superficie chiusa S (t)

mΨ Ψ Ψ= grandezza generica scalare / vettoriale (esempio: temperatura, densità, velocità...) dipendente da posizione e tempo: = (x, y, z, t) sup. che racchiude il volume

∂Ψ indicazione sulla deformabilità del volume d   Ψ = + Ψ ⋅ v ndV dV dS ∂ ( s ) ( s ) dt t V V S( s ) ( s ) ( s )

Per una qualunque superficie N.B: Notare che a sx è presente una derivata ordinaria (in quanto prima viene effettuata l'integrazione rispetto al volume, perdendo la dipendenza da posizione) mentre a dx è presente una derivata parziale Ψ in quanto è funzione sia della posizione sia del tempo

∂Ψ d   Ψ = + Ψ ⋅ v ndV dV dS ∂ dt t contorno del volume velocità V ( t ) V ( t ) S ( t )

Teorema di derivazione sotto il segno di integrale

[derivata dell'integrale di una funzione tra a(t) e b(t), dove a(t) e b(t) sono dei parametri funzioni del tempo]

∂Ψ b ( t ) b ( t ) d ( x , t )  Ψ = + Ψ − Ψɺ( x , t ) dx dx (b (t ), t ) b (t ) ( a (t ), t ) a (t )ɺ ∂ dt t a ( t ) a ( t )

Le 2 funzioni sono molto simili, in particolare la seconda è un caso particolare (integrazione tra due intervalli) della prima (integrazione estesa all'intero volume)

Esempio di applicazione del teorema del trasporto

I teoremi di trasporto e divergenza sono utilizzati x passare dalla forma integrale a quella differenziale delle equ.

∂Ψ d   Ψ = + Ψ ⋅ v ndV dV dS ∂ dt t V ( t ) V ( t ) S ( t )

integrale della densità sul volume racchiuso dalla sup. materiale Significato fisico: La massa contenuta all'interno di una superficie d Ω chiusa (che non permette al fluido d'uscirne) deve essere costante

∂ρ = In questo caso: (t) è una dV 0 dt superficie “materiale”. Ω ( t )

superficie materiale = superficie che segue nel suo movimento il fluido [non può quindi essere attraversata dal fluido]

ρ poiché il fluido non può attraversare la superficie (in quanto superficie materiale), la massa all'interno del volume non può variare nel ∂ tempo [equazione conservazione della massa in forma integrale (vale qualunque sia la superficie chiusa scelta, purché sia materiale)

d ρ ρ  = = + ⋅ = th. trasporto v n 0 dV dV dS ρ] [Ψ = [v = velocità del fluido, in quanto la superficie materiale segue nel suo movimento il fluido]∂ dt t ρ∂ [conv indici ripetuti( ) V ( t ) V ( t ) S ( t ) per la sommatoria]

ρ+ ∇ = u 0 ρ ρ∂ ∂ integrale somma = somma integrali ∂ j j  t( ) ( ) teorema della divergenza

ρ ρ  = + ∇ = + ∇ u u dV dV dV  ∂ ∂   t t poiché l'integrale è nullo qualsiasi sia il volume scelto (per le cons precedenti), allora necessariamente l'integrando è nullo V ( t ) V ( t ) V ( t ) nullo ρ∂ ( )ρ porta fuori e semplifica divergenza nulla ρ ρ+ ∇ = ∇ =  N.B. se =cost. (incomprimibile): u 0 u 0 ∂ j j j j t

Significato fisico dei termini

equazione di conservazione della quantità di moto:

delle equazioni di conservazione ρ∂ u ρ ρ+ ∇ = ∇ +k u u T f differenziale ∂ i i k i ik k t (locale) u = componente k-esima (1, 2, 3 / x, y, z) della velocità k divergenza del prodotto di due vettori = tensore degli sforzi variazione diffusivo sorgente T = tensore degli sforzi ik convettivo interazione di ogni particella nel tempo fluida con il fluido circostante risultante forze sup. risultante forze di vol d agenti lungo il corpo agenti lungo il corpo integrale ρ ρ  = + u dV T n dS f dV k ki i k (globale) Ω ∂Ω Ω( t ) ( t ) ( t ) superficie di contorno ρ u = densità della componente della quantità moto nella direzione k [l'integrale rappresenta la quantità di moto contenuta nel volume raffigurato a dx] k derivata della quantità di moto = risultante delle forze che agiscono lungo il corpo diffusivo sorgente accumulo

Forma alternativa delle equazioni di conservazione in forma differenziale

ρ∂ ρ+ ∇ = u 0 ρ∂ ∂ i i u t ρ ρ+ ∇ = ∇ +k u u T f ∂ i i k i ik k t ρ u [si considera come funzione unica] i ρ ρ∂ ∂∂ u u ρ ρ ρ ρ+ ∇ = + + ∇ + ∇ = k k u u u u u u u ∂ ∂ ∂ i i k k k i i i i k t t t ρ ∂ ∂∂  u u ρ ρ ρ ρ ρ= + ∇ + + ∇ = + ∇  k k u u u u u u si raccoglie rispetto u (...) k ∂ ∂ ∂ k i i i i k i i k   t t t 0 due forme differenti della stessa equazione, utilizzate in base alle necessità:

∂ u ρ ρ ρ+ ∇ = ∇ +k u u T f ∂ i i k i ik k t

Equazione di conservazione dell’energia (1)

si divide ciascun termine x l'intervallo di tempo nel quale è avvenuta la variazione [potenza]

δ δ primo principio termodinamica x un sistema chiuso (no scambi materia con ambiente): dE dU W Q+ = +δ δ+ = +E E c INTERNA CINETICA dU dE W Qc dt dt dt dt [variazione energia potenziale nascosta nel lavoro del campo di forze conservative]

si consideri un volume generico di fluido, definito da una superficie materiale => Il sistema TD definito da questa superficie chiusa è un sistema chiuso in quanto attraverso il contorno non passa materia (è quindi possibile applicare a questo volume il primo principio della termodinamica):

 1 d    no sommatoria per ρ ρ ρ+ = + +ɺ  la convenz somma e u u dV u f dV Q dV k k k k   dt 2Ω Ω Ω( ) ( ) ( ) t t t [Forza x Velocità = Lavoro / Tempo = Potenza Meccanica] potenza termica generata all'interno potenza forze di volume potenza "generata" del volume (esempio: combustione)  + −T u n dS q n dS il segno meno è dovuto al fatto che la normale alla superficie è presa positiva quando diretta verso l'esterno mentre la quantità calcolata secondo il primo principio è positiva se entrante nel sistema ik k i k k ∂Ω ∂Ω( t ) ( t ) potenza forze superficiali potenza trasmessa potenza termica che attraversa la superficie del volume di fluido [ad esempio a causa delle differenze di temperatura]

U= =e energia interna per unità di massa [si usa e al posto di u in quanto quest'ultima è già usata per definire la velocità] Mn = versore normale alla superficie (uscente) q = vettore flusso termico [q = Q/A]=ɺQ Potenza generata per unità di massa

Equazione di conservazione dell’energia (2)

Forma differenziale L’equazione in forma integrale può essere trasformata nella sua forma locale (differenziale) tramite l’utilizzo del teorema del trasporto e del teorema della divergenza applicazione teorema trasporto x i termini a sx

 1+ D e u u k k   ( )2ρ ρ ρ= + + ∇ − ∇ɺu f Q T u q k k i ik k k Dt potenza "generata" potenza trasmessa potenza forze di volume potenza forze superficiali ∂D ≡ + ∇ u ∂ k k Dt t  1 1+ ∂ +D e u u   e u u   k k   1k k 2ρ ρ ρ2= + ∇ +u e u u  ∂ j j k k   Dt t 2

Equazione di conservazione dell’energia

L’equazione in forma integrale può essere trasformata nella sua forma locale (differenziale) tramite l’utilizzo del teorema del trasporto e del teorema della divergenza

 1∂ +e u u   k k    12 ( )ρ ρ ρ ρ+ ∇ + = + ∇ + − ∇ɺu e u u u f T u Q q  ∂ j j k k k k i ik k k k  t 2 Le grandezze e, q e T che compaiono nelle equazioni devono essere k ik definite in funzione dei campi incogniti (velocità e temperatura) per chiudere il problema.

Scambio termico convettivo

Trasporto di massa, equazioni costitutive e definizioni

Equazione di conservazione della specie chimica

ρ 3 specie chimica all'interno di una miscela [Kg/m] (esempio: flusso d'aria al cui interno sono presenti le specie chimiche H₂O, O₂, N₂, ...)

X 2 2 2

Teorema del trasporto applicato alla specie chimica:

d ρ =dV X dt generazione della specie chimica a causa diffusione molecolare della specie chimica sulla superficie d V ( t ) reazioni chimiche [esempio: combustione] (microsc. le molecole si muovono anche in un fluido fermo)

ρ  = −ɺ ρ∂dV M dV j n dS [normale uscente superficie] ρ = + ⋅ = X X k k X v n dS dt ∂ XΩ Ω ∂Ω t( t ) ( t ) ( t ) velocità della superficie v = velocità del fluido V ( t ) S ( t ) macroscopica u (poiché superficie materiale)[integrazione sul volume racchiuso in una superficie materiale] ρ∂ ( )ρ = + ∇X u dV∂ Xtintegrale somma = somma integrali; poiché integrale = 0 qualsiasi sia il volume scelto, allora necessar. integrando = 0 V ( t ) V ( t )ρ∂ ( ) teorema divergenza ρ+ ∇ = − ∇ɺX u M j∂ k X k X k m , kt =ɺ [sia in positivo sia in negativo] M massa specie X generata per unità di tempo [Kg/s] X k ρ = 3 concentrazione specie X (kg/m) X n = versore normale alla superficie (uscente) j = vettore flusso di massa 2[Kg/(m s)]

Equazione di conservazione della specie chimica

NO semplificazione dell'equazione nell'ipotesi di fluido incomprimibile [non utilizzata nel corso]

ρ ρ∂χ = ( )X ρ+ ∇ = − ∇ɺX u M jρX ∂ k X k X k m , kt

Frazione massica Forma utilizzata: ∇ =se incomprimibile u 0i iρχ∂ ( )ρ χ∇+ = − ∇ɺX Mu j∂ k X X k m kk ,t ( )ρ ρ∇ = ∇u u + 0χ∂ k X k k k X( )ρ ρ χ+ ∇ = − ∇ɺX u M j∂ k k X X k m , kt ρDχ = − ∇ɺXD M jρ = − ∇ɺX X k m ,M j kDtX k m , kDt costitutive

Equazioni (1)

ogni grandezza fisica può contenere più variabili [scalare: 1; vettore: 3; tensore: 9 (6)]; per ridurre il numero di incognite si procede legando le grandezze ad altre grandezze tramite le equ. costitutive

Tensore degli sforzi

le componenti del tensore degli sforzi sono legate al campo di velocità:

 1 0 0( ) ( )termini viscosiλ δ µ= − + ∇ + ∇ + ∇ viscosità dilatazionale  T p u u u δ ≡ 0 1 0  ik l l ik i k k i ik  0 0 1

correlazione valida per fluidi newtoniani (fluido nel quale la viscosità non dipende dalla posizione; rappresentano la maggioranza dei fluidi)

le componenti del flusso termico sono legate al campo T:

 k k kx xy xz Postulato Fourier: [x materiali isotropi k = costante]= − ∇ q k T ≡ k k k k  i ik k ik yx y yz  k k k zx zy z

Flusso termico [tensore simmetrico]Tensore di conduttività termica Per materiali isotropi [in cui la conduzione del calore ha lo stesso comportamento indipendentemente dalla direzione di riferimento (rappresentano la maggioranza materiali, in particolare dei fluidi) e k può essere semplificato come termine costante (matrice diagonale con termini uguali; incognite: 6 => 1). Per materiali anisotropi [materiali in cui la conduzione del calore cambia comportamento in funzione della direzione nello spazio di riferimento] k non può essere semplificato (esempio: legno, soluzioni polimeriche a catena lunga...) ik

Equazioni costitutive (2)

∇ =u 0 Fluido incomprimibile i i

N.B: Un fluido incomprimibile è una materia in cui la densità non cambia / un flusso incomprimibile è una materia nella quale la densità potrebbe variare ma non varia ( )δ µ= − + ∇ + ∇ T p u u ik ik i k k i δ=k k Materiale isotropo ij ij flusso d'energia proporzionale al gradiente di temperatura= − ∇ flusso massa proporzionale al gradiente della concentrazione della specie chimica X q k T ρ= − ∇j Di i m , j X , B j X Postulato di Fourier Legge di Fick Ω = temperatura uguale in tu