Appunti di Teoria delle strutture

A*

poiché è uguale all’area divisa per il fattore di taglio che è un parametro maggiore di 1 e che varia a

A u

seconda della geometria, per esempio per una sezione rettangolare vale 6/5.

Tutte e 3 le rigidezze sono state leggermente cambiate e in tutti e 3 i legami c’è una componente che è il

materiale (E e e una componente che è geometrica (A e la geometria per lo sforzo normale e il taglio è

G) I),

legata all’area mentre per il momento flettente è legata al momento di inerzia

A I.

Arrivati a questo punto si è conclusa l’introduzione del modello strutturale trave, ricavato dal modello

strutturale del continuo deformabile, ovvero dalla Teoria dell’Elasticità e adesso si dovrà andare a vedere il

Diagramma di Tonti anche in questo modo e poi si vedrà come usarlo tramite alcuni esercizi.

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09/03/21 – Formulazione del Problema Elastico della Trave

È utile fare il Diagramma di Tonti per la Teoria delle Travi poiché permette di avere un prospetto completo:

In questo caso non si ha più, come era stato visto nella Teoria dell’Elasticità, le variabili locali ma si hanno

quelle generalizzate, quindi come prima variabile si ha il vettore degli che

spostamenti generalizzati U

contiene le 3 componenti e che sarà collegato alle rappresentate dal

u, v deformazioni generalizzate,

φ,

vettore q.

Le variabili duali statiche, invece, saranno le indicate dal vettore che ha

forze esterne generalizzate, P n, m

e come componenti e poi si hanno gli che sono stati chiamati e tale vettore si

p sforzi generalizzati Q

compone di e

N, M T.

Queste sono le 4 variabili in gioco, in verità le forze esterne generalizzate sono gli input mentre le variabili

realmente in gioco sono le altre 3, ovvero gli spostamenti generalizzati, le deformazioni generalizzate e gli

sforzi generalizzati.

Il collegamento tra sforzi generalizzati e deformazioni generalizzate non è altro che la cinematica, ossia le

che permettono di legare le e alle e Poi si ha anche il collegamento tra

equazioni di congruenza η, χ t u, v φ.

forze esterne generalizzate e sforzi generalizzati (azioni interne) che è dato dalla statica e quindi dalle

che per come erano state ricavate permettono di legare le componenti e alle

equazioni di equilibrio N, M T

e

n, m p.

A questo punto manca soltanto il collegamento tra le deformazioni generalizzate e gli sforzi generalizzati che

non sono altro che le che una volta esplicitate permettono di ottenere il Diagramma di

equazioni di legame,

Tonti per la Teoria delle Travi.

Il Diagramma è stato scritto in forma vettoriale proprio per far vedere che anche in questo caso si ha che

l’operatore di congruenza e l’operatore di equilibrio (le due matrici che legano le variabili cinematiche e

statiche tra loro) siccome appunto la teoria è stata ricavata da una

sono uno l’aggiunto formale dell’altro,

teoria in cui valeva il PLV e coerentemente con esso; quindi, vale sempre la possibilità di fare una sorta di

integrazione per parti. Questa cosa la si può notare poiché l’uno è il trasposto dell’altro con le derivate di

ordine dispari cambiate di segno (il –1 non cambia segno perché è una derivata di ordine 0).

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Partendo dall’input attraverso l’equilibrio, il legame e la congruenza si possono trovare tutte le risposte

strutturali.

Rispetto alla teoria del solido deformabile (o continuo deformabile) in questo caso la parte statica è

intrinsecamente isostatica poiché si hanno 3 equazioni in 3 incognite: e quindi se non ci fossero dei

N M T,

vincoli sovrabbondanti in realtà si potrebbe risolvere la parte statica a sé stante, ma se invece si dovessero

avere dei vincoli sovrabbondanti (iperstatica) allora no perché le incognite diventano troppe e di

conseguenza si deve andare a mettere tutto insieme, andando a prendere anche il legame e la cinematica.

Però sulla Teoria delle Travi proprio perché è intrinsecamente isostatica dal punto di vista statico, in

particolari condizioni di vincolo è possibile risolvere solo la parte statica in modo a sé stante, cosa che invece

non si può mai fare per il solido deformabile.

Proseguendo si vuole andare a vedere come giocare con queste equazioni, per capire se si possono mettere

insieme tutte quante o solo alcune, allora per farlo si vanno a fare alcune formulazioni del problema elastico.

La prima cosa che si fa consiste nell’andare a introdurre nelle equazioni di legame la cinematica, ovvero si

vanno a vedere quelle che sono le si parte dalle equazioni di legame espresse

Equazioni Elasto-Cinematiche;

in termini di sforzi generalizzati, per cui semplicemente si può scrivere:

Nel Diagramma di Tonti le deformazioni generalizzate sono state espresse in funzione degli sforzi

generalizzati, ma siccome le 3 equazioni che si ottengono dalla forma vettoriale sono tutte indipendenti allora

girarle per esplicitare gli sforzi generalizzati è molto semplice, basta solo invertire quello che c’è sulle

diagonali. Una volta fatta questa operazione dal legame si passa a “legame andando anche a

+ cinematica”

sostituire la parte cinematica, ovvero le 3 deformazioni generalizzate e in modo da ottenere le

η, χ t,

Equazioni Elasto-Cinematiche.

Però si può fare un altro passaggio per arrivare a quelle che vengono chiamate le Equazioni Fondamentali,

dove si va ad inserire le Equazioni Elasto-Cinematiche nelle equazioni di equilibrio, perciò questa volta si

passa da “legame + cinematica” a “legame e quindi si ha tutto insieme:

+ cinematica + statica” Si scrivono le 3 equazioni

di equilibrio e in ognuna di

esse si vanno a sostituire

gli sforzi generalizzati con

le Equazioni Elasto-

Cinematiche, in modo da

ottenere le 3 Equazioni

Fondamentali che hanno

all’interno Cinematica,

Legame e Statica.

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Dopo averle scritte la prima cosa che si osserva è che la prima equazione, quella che riguarda tutta la parte

assiale della trave, in una trave rettilinea è completamente indipendente dalle altre 2 che invece sono legate

tra di loro, perché gli spostamenti generalizzati e si ritrovano sia nella seconda che nella terza equazione;

v φ

per tale motivo il problema della trave può essere suddiviso in due problemi completamente indipendenti: il

problema assiale e quello ortogonale all’asse.

Se si pensa di avere un materiale omogeneo e quindi non dipendente da x allora il problema si semplifica

ulteriormente e può essere assunto come una costante, per cui si può riscrivere tutto come:

EA

Inoltre, si può immaginare di avere anche e costanti lungo tutta la trave e quindi sostanzialmente

GA* E I

indipendenti da x, in modo tale da poter semplificare anche le altre due equazioni che sono in funzione di tali

termini; così facendo si ottengono le 3 equazioni semplificate nel caso di avere dei parametri del materiale e

della geometria costanti lungo la trave.

Per utilizzare quanto è stato appena ottenuto si può provare a fare un problema che per semplicità

inizialmente è solo assiale e dopo si proverà a fare anche un problema dove sono implicate tutte le variabili

che sono ortogonali all’asse, così da vedere come si possono usare le Equazioni Fondamentali.

Esempio Problema Assiale

Si prende una trave in una delle condizioni più generali possibili, ovvero si prende un carico assiale ed una

n

forza assiale ; si fissa anche un riferimento con l’asse x sull’estremo libero.

H

0

Si vuole trovare la risposta strutturale e in un problema assiale come questo volere la risposta strutturale

vuol dire andare a trovare lo spostamento assiale la deformazione assiale e lo sforzo assiale a partire

u, η N

dall’input che si ha, ossia i carichi che sono applicati sulla trave che sono un carico concentrato in punta e un

carico distribuito sull’asse.

Se lo si pensa costante allora si può partire direttamente con l’Equazione Fondamentale e se si immagina

EA

che la trave sia lunga L tutto questo sarà vero per x che va da 0 a L cioè su tutta l’estensione della trave.

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L’obiettivo è quello di ricavare e per farlo prima si isola la derivata seconda di in poi si integra due

u u dx,

volte per trovare la poiché si aveva un’equazione differenziale del secondo ordine e chiaramente quando

u

la si va a risolvere appaiono due costanti di integrazione (C e ); per determinarle si devono usare le

C

1 2

condizioni al contorno.

In questo esempio le condizioni al contorno sono:

In si ha un estremo libero dove è applicata una forza concentrata, per cui si potrà imporre lo spostamento

x=0

assiale o si potrà imporre la sua duale che non è altro che lo sforzo assiale, però siccome x=0 è un punto

libero che può andare dove gli pare, di conseguenza non si può imporre uno spostamento ma per forza di

cose si dovrà imporre la parte statica.

In particolare, in si sa che sarà legato ad e lo sforzo assiale nell’estremità della trave se fosse positivo

x=0, N H

0

sarebbe uscente ma in questo caso lo si fa affiorare e lo si identifica con la forza che è presente in quel punto,

per cui è identificato con che è entrante e quindi si avrà .

N H N = –H

0 0

, ma dato che questa è entrante la sarà negativa.

In altre parole, lo sforzo assiale è uguale alla forza N

H

0

Perciò in si ha una condizione statica e dato che tutto è in funzione dello spostamento allora anche lo

x=0 N

si dovrà esprimere in funzione dello spostamento e quindi con le Equazioni Elasto-Cinematiche si otterrà:

e questa è la prima condizione ai limiti.

EA*du/dx = –H

0

Per valutare la seconda condizione ai limiti ci si sposta in x=L:

In c’è un vincolo e allora in questo punto si conosce quanto vale lo spostamento, che ovviamente sarà

x=L

uguale a 0 (si parla solo dello spostamento assiale).

A questo punto si devono andare ad imporre le due condizioni ai limiti appena ricavate in modo da

determinare le due costanti C1 e C2, si può riscrivere la prima condizione ai limiti che è stata trovata e si deve

andare a sostituire il con l’espressione ottenuta inizialmente integrando una volta la derivata seconda:

du/dx

Siccome si sta facendo il calcolo in ovviamente sarà pari a 0 e quindi tramite questo passaggio ci si

x=0 nx

, una volta noto il valore della prima costante lo si può andare a sostituire

ricava facilmente il valore di