Appunti di Teoria delle strutture

Teoria delle strutture

M18/02/21 – Introduzione. Questo corso è la prosecuzione di quello di Scienza delle Costruzioni ma in maniera più applicata e l’intento della materia è quello di far capire che la Scienza delle Costruzioni non è astratta come si pensa, ovvero che i modelli che vengono ottenuti tramite un’astrazione e sui quali si fanno tutti i calcoli sono dei modelli della realtà.

Richiami di teoria dell'elasticità

Questa sostanzialmente è la Teoria del solido o del continuo deformabile, che non è altro che una teoria strutturale; quando si parla di teorie strutturali si devono sempre considerare 3 diverse parti: quella cinetica, quella statica e in mezzo a queste due c’è il legame costitutivo. La teoria strutturale è un’astrazione della realtà e nella realtà quando si va a sottoporre un corpo a delle forze si attivano delle sollecitazioni interne che sono in equilibrio con le forze esterne. La statica lega le azioni interne alle forze esterne tramite le equazioni di equilibrio.

Inoltre, nella realtà si possono vedere dei cambiamenti di posizione e di forma del corpo, per cui si verifica una deformazione e gli indicatori di tali cambiamenti, che vengono utilizzati per realizzare un modello che descrive la realtà, sono proprio gli spostamenti e le deformazioni. In questo caso per descrivere tutto ciò si usano le equazioni di congruenza che legano gli spostamenti alle deformazioni (cinetica).

Nel primo caso invece gli indicatori sono le sollecitazioni interne e l’equazione sulle equazioni di equilibrio. Quindi all’interno di un corpo qualsiasi che si suppone caricato, si attivano delle sollecitazioni interne, in una trave si attiverebbero le azioni interne di sforzo normale, taglio e momento flettente ad esempio, ma se si pensa ad una accezione più generale si attivano delle sollecitazioni interne.

Dall’altra parte si ha un cambiamento di forma e di posizione, quindi ci sono degli spostamenti e delle deformazioni; questi due sono aspetti che per ora non sono in contatto tra loro ma in mezzo alla statica e alla cinetica c’è sempre il legame costitutivo. Per cui dalla forza esterna a cui è stato sottoposto il corpo, si attivano le sollecitazioni interne che sono legate alle deformazioni e passando dalla statica alla cinetica si avrà che queste deformazioni sono legate a loro volta agli spostamenti; in questo modo si arriva allo spostamento che quel corpo ha, poiché è tutto legato. Per legare le sollecitazioni interne alle deformazioni si passa sempre attraverso il legame costitutivo.

In tutte le teorie strutturali succede sempre questo, si deve sempre descrivere cosa si attiva internamente dal punto di vista statico e come cambia la forma, in mezzo a questi due aspetti si trova il legame costitutivo che rappresenta la descrizione di quello che succede al materiale.

Solido tridimensionale

In un solido tridimensionale si parte dalla statica, quindi si considera un mezzo continuo 3D nello spazio; continuo vuol dire che in ogni punto c’è materia e ovviamente anche questa è un’astrazione perché nulla è continuo nella realtà perché ad una certa scala tutto ha delle discontinuità (mezzi porosi ad esempio), i modelli hanno sempre certi limiti ma nonostante questo si fa l’ipotesi che in ogni punto ci sia materia.

A questo punto si va a disegnare il mezzo continuo nello spazio e ponendosi in un certo riferimento xyz con origine in O, si ha un corpo B che occupa una certa regione di spazio, mentre con dB si indica la frontiera. Si può pensare che il corpo sia soggetto a delle forze e che quindi sia caricato con delle forze di volume f, ma si ha anche una superficie (quella tratteggiata) dove ci sono delle forze di superficie p.

Si immagina inoltre che il corpo sia in equilibrio sotto queste forze, ma se ci si trova nell’ipotesi di piccoli spostamenti è possibile confondere la struttura deformata e quella indeformata e pensare che l’equilibrio sia su quella indeformata; quindi, se questo corpo è in equilibrio lo si può assumere in equilibrio nella configurazione indeformata. Se il corpo è in equilibrio allora valgono le equazioni cardinali della statica, ossia che la risultante R di tutte le forze agenti sul corpo (attive o reattive) sia uguale a 0 e quindi in questo caso si hanno delle forze che agiscono sulla superficie (p) e delle forze che agiscono sul volume (f); la loro somma deve essere nulla.

Il corpo è in equilibrio solo se la risultante di tutte le forze che agiscono su di esso sono uguali a 0, l’equazione appena scritta è un’equazione vettoriale ma in realtà ha 3 componenti, una per x, una per y e un’altra per z. Però questo non basta, in quanto le equazioni cardinali della statica sono quelle che dicono anche che il momento risultante rispetto ad un punto qualunque (generico), come ad esempio O che è l’origine del sistema di riferimento (ma potrebbe essere rispetto a qualunque altro punto), deve essere uguale a 0.

È comodo prendere il punto di origine del sistema di riferimento perché almeno si hanno sempre delle distanze facilmente misurabili, ma si può prendere qualunque punto. Si ha la risultante delle forze di superficie p*dS moltiplicata per la loro distanza (braccio) dal polo rispetto al quale si sta calcolando il momento, per cui si sta facendo il momento di tutte le forze applicate al corpo e la somma di tutti i momenti dovuti a tutte le forze applicate al corpo deve essere nulla; nella scrittura formale riportata sotto “r” è la distanza del punto di applicazione della forza dal polo e quindi l’integrale del prodotto vettoriale tra r e p (integrato dove sono tutte le p) è uguale al momento.

Poi chiaramente si ha la stessa cosa anche per le forze di volume f, logicamente anche in questo caso r è il vettore posizione:

Quindi il corpo è in equilibrio, si va nelle equazioni cardinali della statica e per capire cosa succede all’interno bisogna partire dal presupposto che se il corpo è in equilibrio allora si deve ammettere che lo siano anche tutte le sue parti; questa è una cosa alla base di tutta la teoria delle tensioni (Cauchy) ed è una cosa banale.

Se si immagina di tagliare virtualmente in una parte qualsiasi il corpo, allora la porzione dove è applicato il carico dovrà essere in equilibrio, ma se questo è vero dove viene effettuato il taglio devono nascere delle forze perché altrimenti non potrebbe essere equilibrato; tali forze rappresentano lo stato di sollecitazione interno del corpo, che è stato attivato per effetto della presenza del carico.

Si genera uno stato di sollecitazione interna perché le forze esterne applicate hanno un flusso e vengono scaricate a terra. Considerando di nuovo un corpo generico, sul quale in una certa area agiscono delle forze di superficie p e delle forze di volume f che invece sono presenti su tutto il corpo; se lo si taglia in maniera virtuale è chiaro che per avere l’equilibrio nella porzione tagliata deve nascere qualcosa nel punto in cui viene effettuato il taglio, perché ovviamente tagliando il corpo non si può più avere l’equilibrio globale, ma si dovrà andare a mettere un qualcosa che sia equivalente a ciò che è stato tolto.

Quindi nella sezione dove viene fatto il taglio le forze che nascono sulla porzione di sinistra sono equivalenti a tutto quello che si trovava nella porzione di destra. È anche ovvio che se si pensa ad un taglio quando poi si va a rimettere tutto quanto insieme quello che si trova a destra e a sinistra dovranno essere uguali e opposti, infatti nelle due sezioni di taglio delle due porzioni si troveranno delle azioni uguali ma opposte.

Nella porzione di sinistra ci sono delle tensioni che nascono per equilibrare tutto quello che c’è nella stessa porzione di sinistra, sulla quale agiscono ovviamente delle forze di volume (f) ma non ci sono invece le forze di superficie perché si trovano dall’altra parte. Queste tensioni sono uguali e opposte a quelle che si generano sulla superficie di taglio della porzione di destra e sono equivalenti a tutto quello che si trova nella parte di destra, ovvero a tutto quello che è stato tagliato e non c’è più.

Quelle che nascono per equilibrare le due porzioni sono le tensioni, che generano lo stato di sollecitazione interna del corpo. A questo punto è necessario andare a quantificare le tensioni, dandogli una forma, per cui riproponendo il sistema di riferimento di prima e il corpo tagliato in due parti; si ha che in ogni punto si prende un intorno infinitesimo del punto, ovvero un areolina che prende il nome di ΔΩ.

È possibile dire che su questa areolina si ha una ΔT che è il vettore risultante delle azioni superficiali che si scambiano due punti omologhi nelle due sezioni di taglio (trasmesse tramite l’area ΔT). Si assume che esista e sia finito il limite per l’area infinitesima che tende a 0 della ΔT/ΔΩ, questo non è altro che t ed è la tensione:

In altre parole, le tensioni sono definite su un’areolina infinitesima e vengono definite come il limite delle forze che agiscono sull’areolina con l’areolina che tende a 0; quindi le tensioni sono delle forze per unità di superficie e sono puntuali perché agiscono su ogni punto, ragionando in questo modo si condensa sul singolo punto ciò che c’è nell’area infinitesima (è un’astrazione). Nel modello alla Cauchy si assume che in quell’areolina ΔΩ non siano presenti delle coppie di sforzo, ma solo forze e quindi tensioni.

Tetraedro di Cauchy

Come è già stato detto se si prende il generico corpo e lo si taglia nascono delle tensioni t, che dipendono dal punto che si sta analizzando e anche dall’orientazione del taglio e di conseguenza dell’area dΩ. Sostanzialmente allora t dipende dal punto P e da n, perché si usa la normale n per definire l’orientazione della superficie di taglio su cui poi si va ad individuare l’area dΩ. La normale n è definita attraverso i suoi coseni direttori rispetto alla terna xyz del sistema di riferimento, per cui la t che in realtà è un vettore è funzione sia del punto P che della normale n, per cui in realtà viene definita come t_n, dove n indica la normale alla superficie su cui agisce.

Si dimostra che per conoscere una t generica su un punto in una certa superficie di normale n è sufficiente conoscere in quello stesso punto le tensioni che agiscono su 3 giaciture ortogonali qualunque, poiché sapendo quello che succede su 3 giaciture ortogonali di un punto allora si può sapere quello che succede su tutte le giaciture passanti per quel punto, ovvero su tutta la stella di piani passanti per quel punto; questo può essere dimostrato con il Tetraedro di Cauchy.

Ci si pone nell’intorno di un punto e attorno a quel punto si costruisce un tetraedro che ha i piani che sono paralleli ai piani di riferimento, questo piccolo tetraedro si considera estrapolato da un solido, quindi in ogni sua faccia ci saranno delle tensioni. Sulla faccia inclinata che ha una normale generica n si ha una tensione t_n, sulla faccia del piano xz e di normale y si ha una tensione t_y, sulla faccia del piano yz e di normale x si ha una tensione t_x e sulla faccia che sta sul piano xy e di normale z (quella dietro) si ha tensione t_z.

Come ogni pezzo di quel corpo anche questa porzione deve essere in equilibrio, per cui è chiaro che se inizialmente era stato detto che sull’intero corpo agivano delle forze di volume allora si ha che anche qui dentro agiranno delle forze di volume f. Se è in equilibrio vuol dire che la risultante di tutte le forze che agiscono su questo tetraedro deve essere uguale a 0; per cui andando a scrivere l’equazione di equilibrio delle forze si deve fare attenzione, in quanto le tensioni sono forze per unità di superficie e quindi dovranno essere moltiplicate per le aree infinitesime dΩ sulle quali esse agiscono, in modo da ottenere appunto delle forze:

Tranne quella inclinata, tutte le altre tensioni che agiscono sulle altre facce sono tutte in realtà uscenti e quindi vanno nella direzione opposta rispetto agli assi del sistema di riferimento, motivo per cui tutti questi prodotti avranno il segno meno davanti. Si sta facendo un equilibrio vettoriale perché tutte queste tensioni, che sono appunto dei vettori, vengono considerate tutte insieme ma nella realtà quest’equazione ne contiene 3 al suo interno.

Oltre alle varie tensioni moltiplicate per le relative aree infinitesime si devono considerare anche le forze di volume f per il volume sulle quali esse agiscono e la loro somma deve essere tutta quanta uguale a 0; però la prima cosa che si può osservare è che ci sono tutte aree infinitesime ma nell’ultimo termine appare una forza moltiplicata per un volume infinitesimo, quindi è chiaro che questo volume per quanto piccolo sia non è 0 ma rispetto agli altri termini è un infinitesimo di ordine superiore e quindi è trascurabile.

Per pure questioni geometriche è possibile scrivere le dΩ_x, dΩ_y e dΩ_z in funzione della dΩ_n, in particolare andando a scrivere queste 3 equazioni si può notare che la dΩ_x si può scrivere come dΩ_n * n_x, ovvero il coseno direttore della normale n rispetto a x. Il coseno direttore di una normale non è altro che il coseno dell’angolo che c’è tra quella normale e x in questo caso, ma lo stesso discorso vale ovviamente anche per y e z.

Ridisegnando il tetraedro si può capire che è una pura questione geometrica, infatti andando a guardare la faccia sotto (che viene colorata di giallo nel disegno) e la faccia inclinata, si osserva che la faccia inclinata è dΩ_n mentre quella sotto è dΩ_y poiché è la faccia di normale y secondo il sistema di riferimento adottato.

La faccia dΩ_y essendo un triangolo non è altro che base per altezza diviso 2, ma se si guarda la dΩ_n per calcolarne l’area si usa la stessa base, moltiplicata per l’altezza e diviso 2, quindi sostanzialmente la differenza sta nelle due altezze utilizzate per le due diverse facce.

Se si immagina di guardarlo dall’altra parte si ha che l’altezza della faccia sotto “h” non è altro che l’altezza della superficie inclinata, che si indica con “H”, moltiplicata per il coseno dell’angolo compreso α, visto che le due altezze formano un triangolo rettangolo in cui “h” è un cateto mentre “H” è un’ipotenusa. Però questo angolo α è l’angolo tra la normale n e la normale alla superficie sotto che è appunto y, per cui è l’angolo che sussiste tra la normale n e la direzione y e quindi il cos(α) non è altro che n_y.

In questo modo è stato dimostrato che la dΩ_y è uguale a dΩ_n * n_y, in quanto è stato dimostrato che dΩ_y è uguale a b*h, però sapendo che h = H*cos(α) allora si può fare una sostituzione e sapendo che b*H è pari ad Ω_n e che cos(α) non è altro che n_y allora si ottiene:

Dopo tutto questo ragionamento, che può essere esteso per tutte e 3 le direzioni xyz, nell’equazione precedente si può andare a sostituire alle varie dΩ quanto è stato appena definito, ovvero dΩ_n per il coseno direttore:

A questo punto tutti i dΩ_n appena sostituiti possono essere semplificati e così facendo si ottiene che t_n, ovvero la tensione che si ha su una superficie di normale n è uguale a:

Con l’equilibrio del Tetraedro di Cauchy e con pure questioni geometriche, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore, è stato dimostrato che la t_n, cioè la tensione su una normale qualsiasi in un punto, è determinabile una volta che sono note una t_x, una t_y e una t_z generiche, ma ortogonali tra loro.

Quindi in sintesi una tensione t_n può essere determinata una volta che sono note 3 tensioni t_x, t_y e t_z su 3 giaciture ortogonali tra di loro, ovviamente nello stesso punto.

Questo ovviamente era un equilibrio vettoriale, quindi in realtà ci sono 3 componenti e l’equilibrio si può esplicitare su tutte e 3 le componenti andando ad usare una forma matriciale per semplicità:

Se si immagina di trovarsi sulla superficie del tetraedro di normale x, dove si ha una t_x generica, che avrà 3 componenti, una lungo x, una lungo y e un’altra lungo z e in particolare la componente in x di t_x è quella normale a quella superficie e non è altro che la σ_x.

Invece la componente y non sarà più una σ ma piuttosto una τ perché sta sulla superficie, così come la componente z, poiché anch’essa si trova sulla superficie; per cui si avranno una sola σ e due τ.

La τ_xy è la tensione che agisce sul piano di normale x in direzione y, poiché il primo indice dà sempre la normale al piano su cui agisce mentre il secondo indice dà la direzione, e allora per lo stesso ragionamento anche la componente z di t_x, che è la τ_xz, agisce sul piano di normale x nella direzione z.

In questo modo è stato possibile definire le 3 componenti di t_x, che sono disposte nella prima colonna della matrice precedente. Analogamente si possono definire le 3 componenti di t_y, solo che in questo caso la prima è la componente in x della t_y ed è una tensione che agisce sul piano di normale y in direzione x per cui sarà una τ_yx, poi si ha la σ_y e infine la