Appunti di Teoria delle strutture

Programma / Contenuti:

1. RICHAMI SULLA TEORIA DELL'ELASTICITÀ
2. TEORIA DELLE TRAVI
   • siano sotto le ipotesi di linearità:
     • geometrica (bp piccoli spostamenti)
     • meccanica (bp elasticità lineare)
3. ANALISI LIMITE (si rimuove l'ipotesi di elasticità lineare)
   • IPOTESI LINEARITÀ MECCANICA
     • CENNI DI PLASTICITÀ
     • MECCANISMI DI COLLASSO DI STRUTTURE ISO-IPERSTATICHE
     • TRAVI DI MATERIALE DUTTILE (collasso plastico)
     • ANALISI LIMITE (O INCREMENTALE) DI SISTEMI PIANI DI TRAVE
4. INSTABILITÀ (si rimuove l'ipotesi di piccoli spostamenti)
   • e anche detta ipotesi della linearità geometrica
     • FUNZIONALE DELL'ENERGIA PER SISTEMI DEFORMABILI
     • SISTEMI DISCRETI
     • SISTEMI CONTINUI
       • Instabilità Euliriana
       • Instabilità flesso-torsionale
     • SISTEMI DI TRAVI
5. MATERIALI NON CONVENZIONALI PER LE COSTRUZIONI
   • bambù
   • canna
   • paglia

CONVENZIONE SUI SEGNI DELLE SOLLECITAZIONI

N > 0 SFORZO NORMALE DI TRAZIONE (sollec vcicoli conns assic z)

T SFORZO DI TAGLIO dicetto conn assic y

M MOMENTO FLETTENTE che ruota conns sig y sin z

Se avessimo preso l'assic z in vero sposto allora la convenzione sarebbe rotata;

Entambo le convenzioni portano allo stesso risultato!

1. Richiami Teoria dell'Elasticità

Modello strutturale del continuo (o di solido deformabile)

Come ogni modello esso è formato da:

• Statica (analisi della tensione) - relazioni tra forze esterne e sforzi interni che le equilibrano ed esprimono lo stato tensionale in equilibrio
• Cinematica (analisi della deformazione) - relazioni tra spostamenti e deformazioni
• Legame costitutivo - relazioni tra proprietà proprie dei materiali mettendo in relazione sforzi e deformazioni

Tra la statica e la cinematica si deduce il principio di lavoro virtuale

Cominciamo studiando la statica del modello

• S = frontiera (superficie che racchiude il continuo)
• p = forze di superficie impresse in S (espresse in [FL^-2])
• B = regione occupata dal continuo
• f = forze di volume impresse in B (espresse in [FL^-3])

Sappiamo che tutte le forze siano attive e estatiche

Piccoli spostamenti → possiamo confondere la configurazione deformata con quella indeformata ai fini dell'equilibrio

Dire che il corpo è in equilibrio significa che sono soddisfatte le equazioni cardinali della statica:

R_E = ∫_S f dS + ∫_B f dB = 0 → risultante delle forze esterne = 0

M_O = ∫_S r × f ds + ∫_B r × f dk = 0 → momento delle forze esterne = 0

Dire che il corpo è in equilibrio significa che ogni sua sottoparte è in equilibrio. Supponendo di dividere il corpo in 2 parti:

Sulle due superfici devono necessariamente agire delle forze interne che assicurano all'equilibrio la risultante e l'equilibrio della parte → tensione interna

dA = vettore posizione A

dB = vettore posizione B

 ⇒ S(A) = ξde = (

    0    A si sposta in direzione x

  | -½ yz₁dy   |

    dy    

    z    | -½ yz₁dz   |

(B) = S(B) - ξde = (

    0    B si sposta in direzione y

  | -½ yz₁dy   |

    dy    

    z    | -½ yz₁dz   |

Il semirimmon portà rappresenta una variazione dei luogos durante il processo determinato.

Tra statica e cinematica definiamo il

Riecriviamo le equazioni indifferente di equilibro come:

D_GG = f su B

• ∂/∂x    0   ∂/∂y ∂/∂z 0
• 0    ∂/∂y ∂/∂z  ∂/∂x 0
• [3x67]   [6x1]    [3x1]

è detto OPERATORE DIFFERENZIALE DI EQUILIBRIO

Analogamente per le equazione di equilibrio ai limiti.

N_S^e = f_N su 28

• n_x 0    0
• 0  ny 0  0
• 0  0  nz n_x  n_y
• [3x5]           =
• 6_xyz    f_x
• 0                  f_y
• f_z
• [6x1]           
• [3x1]

N_e è detto OPERATORE DI EQUILIBRIO AI LIMITI

Infine in cinemattica abbiamo visto le equazioni indifferente dei couphuries.

• [6x17]
• ε_x ε_y ε_z ∂/∂y    0
• 0              ∂/∂y
• 0                ∂/∂x
• ∂/∂y    ∂/∂x
•                 f_z
• [C3x17]
• [C3x1]

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ϑ_x(x,y) = ϑ_x(x)ϑ_y(x,y) = ϑ_y(x)

- o anche in forma matriciale:

ϑ_x = ^{ϑ_x, 1 0 0 , -y}

ϑ_y = ϑ_y^{, 0 1 0 , ϑ(x)}

- o anche in forma vettoriale:

ϑ = ϑ_yϑ(x)

s = n(y)U(x)

dati spostamenti puntuali costanti, si possono quindi ottenere &

deformazioni pluridilatate grazie alle ipotesi cinematiche:

ϑ_x = ϑ_x + ϑ

ϑ_y = ϑ_yei^{(x) + ∂u(x)}

(x) + ϑ_y + ∂ϑ(x)

ϑ_yx = ϑ_x + ϑ_yϑ(x) + ∂ϑ(x)

Introduciamo però le seguenti relazioni:

ϑ_x = ϑ_x^{(x) + ϑ_y(x)}

dilatatzione (o anche deformazione assiale)

curvatura (coincidente con la derivata

seconda dello spostamento)

t(x) = -ρ(x) + ϑ(x)

(levicato soltunente con ϑ)^scorrimento

equazioni di congruenza travi piane

eleviamo però entrambe le deformanze per certe re

spostamenti pluridilatati limitati per cui data

la costruzione di spostamenti puntuali

forma matriciale

η = ϑ_x dLdx ǀ o o -l(y x) ǀ

t = ǀ o dLdx ǀ -Ldx -l ǀ ϑ(x) ǀ

o anche lo spostamento di costrumento ai limiti attraverso funzioni degli

spostamenti pluridilatati

ϑ_x(x) = ̌u(x) ̌u_y(x)

ϑ_yx(x)= ̌ϑ(x) - ̌ϑ(x)

(edu. congruenza ai limiti travi piane)

sotto funzione detta equazione di lineare

equazione di j

ϑ(a) = o

ϑ(c) = o

Ritorno con spostero "o" a v cui si pure en cedertura

Definizime le variabili statiche morizizzate fondazionali di equivalenza in

termini di lavoro

elemento di volume e il rifuittodel

riduzione f = ǀ f_x ǀ forze di vellume

ǀ f_yx(x,y) ǀ