Appunti di Statistica - Corso Avanzato

INTEGRALI NOTEVOLI DERIVATE NOTEVOLI

o

≠ -1 PROPRIETÀ DEI LOGARITMI ≠

b

integrazione per parti: o ≠

o o

integrazione per sostituzione ≠

FUNZIONE SPECIALE GAMMA

α

 se g(x) è invertibile: α α- α-1) α

1) α α-1)! α ∊ ℕ

2) =

3)

BINOMIALE ESPONENZIALE

realizzazioni in n prove intervallo di tempo necessario

indipendenti al 1° successo FUNZIONE SPECIALE BETA

IPERGEOMETRICA GAMMA (se α ∊ ℕ )

+

realizzazioni in n prove intervallo di tempo necessario

non indipendenti a ’α-esimo successo α

GEOMETRICA BETA

n. di prove indipendenti quando ci interessa analizzare α α

1)

necessarie per il 1° successo una misura di probabilità

BINOMIALE NEGATIVA LOGISTICA B(α, ) =

2)

n. di prove indipp. necessarie per grandezze di cui vogliamo

per il k-esimo successo modellare la crescita α α ∊ ℕ

3)

POISSON WEIBULL

n. di successi in un determ. per o studio de ’affidabi ità

contesto di tempo o spazio di processi produttivi

Giuseppe Capone - Appunti di Statistica Corso Avanzato

FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI

PROPRIETÀ DELLA

UNICITÀ

❶

Siano X ed Y due v.c., se ed esistono ed

allora

TRASFORMAZIONE LINEARE

❷

Sia X una v.c. con (t) sua funzione generatrice dei momenti (esistente).

Se allora

TRASFORMAZIONI DI VARIABILI CASUALI

CASO GENERALE

v.c. discreta v.c. continua

1.

2.

PROPOSIZIONE 3.1:

X è una v.c. continua

1. è un intervallo aperto

2. deri abi e i

3. è monotona strettamente crescente o decrescente in

4.

↳ i a

•

PROPOSIZIONE 3.2:

X è una v.c. continua

1.

2. Y =

3.

↳ Giuseppe Capone - Appunti di Statistica Corso Avanzato

VETTORI ALEATORI BIVARIATI

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE MARGINALE FUNZIONE DI DENSITÀ MARGINALE

FUNZIONE DI DENSITÀ CONDIZIONATA COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE

 Solo per v.c. continue

 Misura della dipendenza lineare tra X ed Y

 È sempre compreso tra -1 (correlazione

REGRESSIONE

E[Y|X=x] negativa) ed 1 (correlazione positiva)

supporto

≠

≠ non rettangolare

per a e o u a

≠

VARIABILI CASUALI INDIPENDENTI VARIABILI CASUALI NON INDIPENDENTI

supporto

rettangolare

VETTORI ALEATORI MULTIVARIATI

se si a

roprietà roprietà

FUNZIONE DI DENSITÀ MARGINALE FUNZIONE DI DENSITÀ CONDIZIONATA

 

Di ordine 1 Univariata

 Bivariata

 Di ordine 2 Giuseppe Capone - Appunti di Statistica Corso Avanzato

MATRICE DI VARIANZA-COVARIANZA

o  SIMMETRICA

 SEMIDEFINITA POSITIVA: o

Se Se

con con

- - A matrice di costanti reali

-

- ettore di osta ti rea i

-

allora:

allora: o o

:

quando Giuseppe Capone - Appunti di Statistica Corso Avanzato

INDIPENDENZA

Congiunta/Mutua A Gruppi

ato o ato

e so o è il j-esimo sottogruppo di contenente

x 1 delle v.c. di . o

o iu ta e te utua e te indipendenti er

i gruppi di variabili saranno

• indipendenti

• se

• •

•

•

Se varrà la mutua indipendenza tra le v.c.

Se sono mutuamente indipendenti

con: - valori attesi finiti E( , E( , E(

- varianze finite V( , V( , V(



allora: 

 Giuseppe Capone - Appunti di Statistica Corso Avanzato

TEOREMA DI FATTORIZZAZIONE

Valido per funzioni di densità di probabilità

ia u a parti io e di , vettore aleatorio m-dimensionale, in ruppi.

o

e a e sono indipendenti;

Allora: 1) ovvero

2)

Se varrà la mutua indipendenza tra le v.c. ed

per Funzioni Generatrici dei Momenti

o

e a e sono mutuamente indipendenti;

1)

Allora: 2) ⋆ Vale solo per

⋆ Vale anche per v.c. discrete

e u ettore ,

so a di ettori i dipe de ti tutti di di e sio e

Allora: con ,

f.g.m. riferite ad identico

 Vale anche per , v.a. indipendenti

Giuseppe Capone - Appunti di Statistica Corso Avanzato

ato o

VARIABILI CASUALI DISCRETE

 funzione scalare ;

t

1) t ;

2)

3)

 funzione vettoriale

t ;

1) t ;

2)

3) VARIABILI CASUALI CONGIUNTAMENTE CONTINUE

funzione vettoriale biunivoca in

per ogni esiste un solo tale che

da cui la matrice jacobiana di :

Se: è biunivoca

1. è una funzione reale continua

2. esistono e sono continue

3. det esiste ed è ≠

4. Allora:

Giuseppe Capone - Appunti di Statistica Corso Avanzato