Statistica - Appunti

STATISTICA

• Disciplina che comprende tecniche adatte alla raccolta dei dati e alla loro elaborazione → consente di trarre da essi conclusioni.
• Fasi conduzione studio:
  • Definizione quesito di interesse
  • Identificazione disegno dello studio adatto
  • Selezione campione x analisi
  • Identificazione informazioni rilevanti
  • Analisi statistica
  • Presentazione e interpretazione dati

IDENTIFICAZIONE DISEGNO DELLO STUDIO ADATTO

• Studio osservazionale: è studiato il decorso naturale dei fenomeni. I cambiamenti o le differenze in una o più variabili sono studiati in relazione a cambiamenti o differenze in altre variabili senza l'intervento del ricercatore. Esposizione non è determinata dal ricercatore.
• Studio sperimentale: è condotto in condizioni controllate e implica la manipolazione di una o più variabili indipendenti (esposizione) per esterne determinare effetto su un'altra variabile indipendente (esito). Intervento ricercatore sull’esposizione.
• Possibile verificare se esiste associazione tra mutazione e esito ma non una relazione causale, → possono esserci confondenti.

SELEZIONE CAMPIONI DA UTILIZZARE X ANALISI

• Campione: sottogruppo popolazione originaria selezione casuale unità statistiche rappresentativo della popolazione.

STATISTICA:

analisi quantitativa dei fenomeni collettivi che hanno attitudine a variare allo scopo di descriverli attraverso strumenti grafici e indici e di individuare le leggi e i modelli che permettono di spiegarli e di prevederli.

• Descrittiva o inferenziale (inferire su caratteristiche popolazione)

DESCRITTIVA: insieme di tecniche e strumenti finalizzati a rappresentare in modo obiettivo un campione di dati relativi ad una popolazione di interesse. Forniscono sintesi di dati campione e costituiscono il punto di partenza per le successive analisi inferenziali.

• usa TABELLE DI FREQUENZA per capire quale
• GRAFICI
• INDICI STATISTICA

per usare definire tipi di dati che si vogliono descrivere

1) TABELLA DI FREQUENZA: rappresenta in modo ordinato le modalità che una variabile può assumere e il corrispondente numero di unità che nel campione assumono tali modalità.

• Ripetiamo per ogni modalità: CONTEGGI (FREQ. ASSOLUTE) FREQUENZE RELATIVE FREQUENZE RELATIVE PERCENTUALI FREQUENZE CUMULATE

FREQUENZA ASSOLUTA: n° di volte con cui si presenta una certa modalità della variabile rilevata in N osservazioni

FREQUENZA RELATIVA: n° di volte con cui si presenta una certa modalità della variabile, in rapporto al TOTALE, N delle osservazioni

• Freel = fracassoluta / N osservazioni

FREQUENZA RELATIVA %: frequenza relativa a 100 osservazioni

• Freel % = Freel relativo x 100

vanno in vantaggio rispetto alle frequenze assolute, di permetterci confrontare distribuzioni di frequenza basate su numeri differenti unità statistiche (N).

GRAFICO ⇒ A BARRE: mostra la frequenza assoluta e relativa A TORTA: ogni parte rappresenta la frequenza relativa

Quantile

Il quantile è quel valore di una variabile per quei dati sia ordinale o quantitativa che rispetto all'ordinamento non decrescentedelle osservazioni riesce preceduto da d. 100% osservazioni e seguito da (1-d) 100% osservazioni a meno di effetti dovuti alladiscretizzazione.

Quartile

Dividiamo la distribuzione dei dati in 4 parti uguali

Decile

Dividiamo la distribuzione dei dati in 10 parti di uguale F

Calcolo

Necessario ordinare valori in senso crescente dato dalla modalità che si trova nell'interosuccessivo a (m.a) se e m'intero, oppModalità che si trovano nelle posizioni(m.a) e (m.a)+1 se m.a è intero.

Moda

Valore della variabile che si presenta con la maggiorfrequenza nel campione

Come delta_2 ma classe precedente

Modalità = Lim_i + ^Delta_1/_{Delta_1 + Delta_2} * c

Estremo inferiore della classemodale

Ampiezza classi eccesso della fdella classe modalerispetto f della classesuccessiva

Ampi di variazione

Ampiezza assoluta tra i valori estremi delleosservazioni

Range interquartile

È dato dalla differenza tra il valore delquartile con livello d = 0,75 e d = 0,25. Indica che il 25% didelle osservazioni sono inferiori all'estremo inferiore del range e il 25% sono superiori all'estremo superiore.

Varianza campionaria

Somma dei quadrati degli scarti di semplici osservazioni dal valore medio divisa per il numeroosservazioni meno uno

s² = ^{∑_i=1M (X_i - ¯X)2}/_M-1

Gradi di libertà = 6

A₁∩A₂: evento intersezione di A₁ e A₂, insieme di eventi semplici che appartengono a entrambi gli eventi

A₁−A₂: evento differenza, comprende il sottoinsieme degli insiemi elementari che appartengono ad A₁ ma non a A₂

A₁∩A₂ = ∅: eventi incompatibili o mutuamente esclusivi che non possono verificarsi insieme

Teoremi:

• P(A₁∪A₂) = P(A₁) + P(A₂) − P(A₁∩A₂)teorema della probabilità totale
• P(A₂|A₁) = P(A₁∩A₂) / P(A₁)probabilità condizionata: probabilità di osservare l'evento A₂ dato che si è verificato evento A₁
• P(A₁∩A₂) = P(A₂|A₁) ⋅ P(A₁)= P(A₁|A₂) ⋅ P(A₂)teorema della probabilità composta
• Se gli eventi A₁ e A₂ sono stocasticamente indipendenti allora P(A₂|A₁) = P(A₂), dal teorema della probabilità composta viene che cond. necessaria e sufficiente perché A₁ e A₂ siano indipendenti è P(A₁∩A₂) = P(A₁) ⋅ P(A₂)

Da questo teorema discende il teorema di Bayes

P(A|B) = P(A) ⋅ P(B|A) / P(B)con P(B) > 0

Poiché la V.C. normale è definita da μ e σ esistono tante

distribuzioni quante sono le combinazioni dei possibili valori

di μ e σ (infinite), la distribuzione con μ e σ specifica

mentre = 0 e = 1 prende il nome di variabile normale standard

diretta (variabile normale tabulata).

Z = ^{X - μ}/_σ ≈ N(0,1)           X ≈ N(μ,σ²)

TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE: la media di una distribuzione campionaria di medie è uguale alla media della popolazione da cui i campioni sono stati estratti; la deviazione standard di una distribuzione campionaria di medie è uguale alla deviazione standard della popolazione da cui i campioni sono stati estratti divisa per la radice quadrata della dimensione campionaria (errore standard). Se la variabile originale è distribuita in modo gaussiano nella popolazione, anche la distribuzione campionaria delle medie sarà gaussiana. Se la variabile non è distribuita in modo gaussiano nella popolazione, la distribuzione campionaria delle medie tenderà ad approssimare un andamento gaussiano all'aumentare della dimensione del campione.

ASSOCIAZIONE TRA VARIABILI CATEGORICHE: le due variabili non sono indipendenti, la presenza di una influenza la presenza dell'altra.

TEST CHI QUADRATO: test per verificare se due variabili categoriche (ad esempio: animali o mammiferi) sono associate. Verifica la bontà di adattamento se indipendenti p(x_i|y_i) = p_i · p_j

O_i,j: frequenza osservata dell'i-esima modalità della variabile x e della j-esima modalità di y

E_i,j: frequenza attesa

χ² = ∑_i=1 ∑_j=1 ( (O_i,j - E_i,j)² / E_i,j )

• Statistica del test segue una distribuzione χ² → funzione di densità, asimmetrica, la forma della distribuzione dipende dai gradi di libertà → (n° righe - 1), (n° colonne - 1). Saremo portati a rifiutare l'ipotesi nulla se le frequenze osservate sono diverse da quelle tese → alti valori di χ² → test a una coda.