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Statistiche campionarie
Sia X , X , … X un campione casuale di n osservazioni appartenenti a una popolazione finita o1 2 ninfinita. Una statistica campionaria è una funzione delle osservazioni campionarie X , X , … X . Tra1 2 nmedia campionariale statistiche più frequentemente utilizzate, la ricopre un ruolo particolaredovuto alle sue proprietà campionarie. Media campionaria2Sia X la variabile casuale di interesse e siano μ e σ rispettivamente la sua media e varianza. Sia,inoltre, X , X , … X un campione casuale di dimensione n estratto dalla popolazione, formato da n1 2 n 2variabili casuali indipendenti ed identicamente distribuite (poiché E(X )=μ e Var(X )= σ per ogni i =i i1, 2, … , n).Se il campionamento è effettuato con reimmissione si dimostra cheDistribuzione della variabile media campionariaPer dimostrare che la media campionaria segue, nelle applicazioni pratiche di nostro interesse,unaLa distribuzione normale è sufficiente riferirsi al Teorema del Limite Centrale. Quest'ultimo è importante poiché grazie ad esso, la distribuzione della variabile casuale media campionaria, si riconduce (per n sufficientemente grande) ad una distribuzione normale, qualunque sia la distribuzione della variabile nella popolazione dalla quale il campione è estratto.
Teorema del Limite Centrale
Ipotesi: siano X1, X2, ..., Xn variabili casuali indipendenti ed identicamente distribuite (cioè ciascuna di esse ha media μ e varianza σ ma non è specificato che sono distribuite normalmente)
Tesi: per n sufficientemente grande (n>30), la somma (e quindi la media) di tali variabili è approssimativamente normale. Oppure in altri termini: la variabile casuale Z converge in distribuzione, per n>30, alla variabile casuale normale standardizzata.
Osservazione: Se la distribuzione X della variabile in popolazione (e conseguentemente la
La distribuzione delle variabili X1, X2, ..., Xn fosse già normale, la variabile media campionaria, X̄, seguirebbe di riflesso la distribuzione normale. In questo caso non c'è bisogno del Teorema del Limite Centrale (segue dimostrazione).
Se il campionamento è effettuato senza reimmissione?
Se il campionamento è effettuato senza reimmissione, viene meno l'ipotesi di variabili indipendenti tra loro e ciò comporta alcune differenze con i risultati precedenti, relativamente alla varianza della variabile media campionaria:
Osservazioni
Il valore atteso della media campionaria nel campionamento casuale è quindi sempre uguale alla media della popolazione nei due casi con e senza reimmissione.
La varianza, al contrario, differisce nelle due diverse situazioni. In particolare, la varianza è minore nel caso di popolazione finita. Ovviamente, se la dimensione campionaria n è molto piccola rispetto a N (dimensione della popolazione).
Allora la varianza della media campionaria tende ad essere la stessa. Se la popolazione fosse infinita gli schemi di campionamento con e senza reimmissione coinciderebbero in ogni caso.
Distribuzione della variabile media campionaria
Il calcolo della distribuzione campionaria nel caso di campionamento casuale da popolazioni finite è molto complesso. Tuttavia, se la dimensione campionaria n è relativamente grande (>30) ma allo stesso tempo molto più piccola della numerosità N della popolazione, la distribuzione campionaria può essere approssimata con la distribuzione normale.
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