Appunti di statistica

Statistiche campionarie

Sia X₁, X₂, …, X_n un campione casuale di n osservazioni appartenenti a una popolazione finita o infinita. Una statistica campionaria è una funzione delle osservazioni campionarie X₁, X₂, …, X_n.

Media campionaria

Tra le statistiche più frequentemente utilizzate, la media campionaria ricopre un ruolo particolare dovuto alle sue proprietà campionarie.

Sia X la variabile casuale di interesse e siano μ e σ rispettivamente la sua media e varianza. Sia, inoltre, X₁, X₂, …, X_n un campione casuale di dimensione n estratto dalla popolazione, formato da n variabili casuali indipendenti ed identicamente distribuite (poiché E(X_i)=μ e Var(X_i)=σ² per ogni i = 1, 2, …, n).

Distribuzione della variabile media campionaria

Se il campionamento è effettuato con reimmissione, si dimostra che per dimostrare che la media campionaria segue, nelle applicazioni pratiche di nostro interesse, una distribuzione normale è sufficiente riferirsi al Teorema del Limite Centrale.

Quest’ultimo è importante poiché grazie ad esso, la distribuzione della variabile casuale media campionaria, si riconduce (per n sufficientemente grande) a una distribuzione normale, qualunque sia la distribuzione della variabile nella popolazione dalla quale il campione è estratto.

Teorema del Limite Centrale

Ipotesi: siano X₁, X₂, …, X_n variabili casuali indipendenti ed identicamente distribuite (cioè ciascuna di esse ha media μ e varianza σ² ma non è specificato che sono distribuite normalmente).

Tesi: per n sufficientemente grande (n>30), la somma (e quindi la media) di tali variabili è approssimativamente normale. Oppure in altri termini: la variabile casuale Z converge in distribuzione, per n>30, alla variabile casuale normale standardizzata.

Osservazione

Se la distribuzione X della variabile in popolazione (e conseguentemente la distribuzione delle variabili X₁, X₂, …, X_n) fosse già normale, la variabile media campionaria seguirebbe di riflesso, la distribuzione normale. In questo caso non c’è bisogno del Teorema del Limite Centrale (segue dimostrazione).

Se il campionamento è effettuato senza reimmissione?

Se il campionamento è effettuato senza reimmissione, viene meno l’ipotesi di variabili indipendenti tra loro e ciò comporta alcune differenze con i risultati precedenti, relativamente alla varianza della variabile media campionaria.

Osservazioni

Il valore atteso della media campionaria nel campionamento casuale è quindi sempre uguale alla media della popolazione nei due casi.