Appunti di Statistica

RIPASSO STATISTICA

Statistica descrittiva

• Descrivere, monitorare, informazioni dai numeri.
• Unità statistica = soggetto su cui avviene la misurazione.
• Popolazione = insieme di unità statistiche.
• Misurano variabili:
  • Quantitative (le variabili sono misurate sulle unità statistiche)
  • Qualitative

V. qualitative (categoriche)

• Non ordinabili (nominale)
• Ordinabili (rilevo, situazione)

V. quantitative

• Discrete (∈ N{0,1,...})
• Continue (qualsiasi valore ∈ R)

Descrittiva = analisi e descrizione dei dati.

Statistica = inferenziale per trarre conclusioni su intere popolazioni.

1. Analisi descrittiva

   • Distribuzioni di frequenza
   • Distribuzione unitaria = elenco valori dati una variabile.
   • Distribuzioni di frequenza = come si manifestano le variabili
   • Frequenza assoluta = numero di volte cui quel dato si presenta
   • Frequenza relativa = F. Assoluta /TOT
   • Se la variabile quantitativa continua occorrono intervalli.

   Per variabili ord., qualitative e quantitative → FREQ. CUMULATA o RETROCUMULATA

2. Otteniamo grafici

   • Diagramma a barre
     • Barre rappresentano le modalità
     • Lunghezza = frequenza
   • Diagramma a torta
     • Area circolare divisa in frazioni
     • Ciascuna rappresenta modalità
     • Moltiplici.
   • Diagramma di Pareto
     • Barre verticali ordine decrescente + percentuali + F. cumulata
     • Utile per vedere le variabili + frequenti
   • Istogramma
     • Var. suddivisa in classi (sono rappresentati alcuni punti)
   • Poligono
     • X variabili continue divise in classi.
     • Ascissa = punto medio
     • Ordinata = freq.
   • Poligono cumulativo
     • Variabili continue, classi
     • Ascissa = estremo sup. intervallo
     • Ordinata = frequenza cumulativa

Misure di sintesi

• Tendenza centrale
• Misure variabilità / Risultati di sintesi
• Misure di forma

A) Tendenza Centrale

Valori medi

• Media aritmetica, mediana, moda

Media aritmetica: valore medio per variabile quantitativa

_{x = xi fi / xi n}

• Se suddivisa in classi, z_i = valore centro classe
• Media esposta per outliers

Mediana: valore posizione aiⁿ dell’insieme ordinato

• Se N valori dispari → mediana = v_n+1 / 2
• Pari → media tra i due valori in pos. centrale

Quantili

• Misure di posizione non centrata

Divido la distribuzione in Tot pari di uguali numerosità

• Quartili (Q₁, Q₂, Q₃)

Q₁ = 25% valori, Q₂ = 50%, Q₃ = 75%

Pos Q₁ = (n+1)/4 Pos Q₂ = (n+1)/2 Pos Q₃ = 3(n+1)/4

Se il risult. numerico con virgola → media tra i due valori in quella pos.

Moda: modalità della variabile maggiormente presente

Valore Medio

• Scala di misura: nominale = moda, ordinale = moda, mediana, quantili, numerica = moda, mediana, quantili, media arit.

Forma distribuzione ( ? ) media.

• ( ? ) Sìmetrica → untore
• Variabilità quantit. se il seno è molto variabile

• Distribuzione binomiale

esperimento casuale ripetuto

• _eszce di probabilità

n e costante

successo

Pr(X = x) = C_n^xp^x(1 - p)^n-x

E(x) = np Var(X) = np(1 - p)

• distribuzione di Poisson

eventi E in un tempo:

xi Po(λ)

Pr(X = x) = (e^-λλ^x) / x!

E(X) = λ Var(X) = x

Test Chi-Quadro

tabella di contingenza è una tabella di frequenza a doppia entrata in cui le osservazioni relative a due variabili misurate con scala categoriale vengono rappresentate simultaneamente.

Per chi-quadro per la differenza tra due proporzioni

Oltre al test z per 2 proporzioni anche χ² viene costruita una TABELLA di CONTINGENZA!

• H_o: π₁ = π₂
• H₁: π₁ ≠ π₂

χ² = Σ ^{(f_o - f_e)²}/_fe f_o è la frequenza osservata f_e è la frequenza attesa

p̄ = (X₁ + X₂)/(h₁ + h₂)

(righe - 1) × (colonne - 1) GDL

f_e₁ = p̄ ⋅ h₁ e f_e₂ = p̄ ⋅ h₂

Il test χ² è utile per confrontare proporzioni di più popolazioni indipendenti

Tabella r righe c colonne

p̄ = X_r + X_c + X_n/_{hr + hc + hn}

Test Chi-Quadro per l'Indipendenza

Si elaborano una tabella di contingenza r righe e c colonne: possiamo verificare l'indipendenza tra X e Y.

• H_o: X ǫ Y
• H₁: X Ɣ Y

χ² = Σ ^{(f_o - f_e)²}/_fe → f_e = (tot riga × tot colonna)/n