Appunti di Statistica

Relazioni tra caratteri in una tabella a doppia entrata

La varianza within è uguale a zero quando la varianza between è uguale a zero, quando tutte le varianze condizionate sono uguali a zero e le medie sono uguali, ovvero quando la variabile è degenere. La varianza between rappresenta la variabilità fra le medie.

È importante notare che dalle variabili statistiche marginali non è possibile, tranne nel caso speciale di indipendenza, ricostruire la tabella a doppia entrata delle frequenze congiunte. Al contrario, dalle variabili statistiche condizionate è possibile ricavare la tabella a doppia entrata delle frequenze congiunte se si conoscono le frequenze marginali.

Come abbiamo potuto vedere con questo esempio, si può ricreare la tabella tramite le variabili statistiche condizionate.

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Indipendenza tra caratteri

L'assenza di talirelazioni denota una "indipendenza" tra caratteri. In statistica si studiano vari tipi di "indipendenza":

• Indipendenza stocastica
• Indipendenza in media
• Incorrelazione

Indipendenza stocastica

Possiamo vedere i cambiamenti delle distribuzioni condizionate relative e assolute e constatare che le distribuzioni condizionate relative sono uguali, ovvero non dipendono dalla variabile condizionante. X e Y si dicono in questo caso "stocasticamente indipendenti": tutte le frequenze condizionate relative sono uguali tra loro e uguali alle frequenze relative marginali.

Tabella delle frequenze teoriche

La tabella delle frequenze teoriche è un criterio matematico per stabilire se una tabella sia formata da due caratteri indipendenti o meno. Il criterio su cui si basa ciò è basato sulla costruzione di una tabella teorica che si calcola a partire delle frequenze marginali.

Esempio di costruzione di una tabella teorica (in nero)

indipendente stocasticamente a Y ↔ Y indip. stoca. a X2. Frequenze teoriche assolute non sono sempre valori interi3. Presenza di zeri nella tabella le due variabili non sono indipendenti (sono dipendenti)4. Proporzionalità delle frequenze assolute: c’è indipendenza stocastica se siamo in presenza di una tabellacon una relazione proporzionale tra righe e/o colonne (come nell’esempio fatto all’inizio dove la secondariga era il triplo della prima, e la terza il doppio della seconda).

Massima dipendenza funzionale

La massima dipendenza funzionale è la situazione opposta alla indipendenza; quindi possiamo avere 2 estremi inrelazione ad una tabella a doppia entrata:

• Condizione di massima dipendenza funzionale se: la distanza tra tabella iniziale e teorica è massima
• Condizione di indipendenza stocastica se: la distanza tra tabella iniziale e teorica è minima (= 0)

Un carattere Y è dipendente funzionalmente da X ; y = g(x)

Ad ogni x corrisponde un solo y: ovvero ad ogni riga deve corrispondere un solo valore di Y (come nella tabella qui a fianco)

K ≤ h: in questa tabella ad esempio si dice che Y è dipendente funzionalmente da X (K < h) ma non si può dire che X è dipendente funzionalmente da Y (h non è ≤ k ma è >); non è invertibile.

Graficamente quando non si ha alcuna linea verticale: nel caso di linea verticale non si avrà una funzione e dunque non è possibile la dipendenza funzionale.

In questo secondo esempio possiamo vedere che X è dipendente funzionalmente da Y; x = f(y)

Ad ogni y corrisponde un solo x: per ogni colonna abbiamo una sola x

h ≤ k:

Gli esempi sopra riportati sono esempi nei quali la dipendenza funzionale è univoca e ovviamente è possibile avere una dipendenza funzionale per entrambe le variabili. La dipendenza in questo caso verrà chiamata biunivoca.

indipendenza stocastica o dipendenza funzionale. Gli indici di connessione possono essere definiti in 2 modi distinti:

1. Misura della variabilità fra distribuzioni
2. Misura della distanza dalla indipendenza (quella che faremo noi)

Per calcolare la misura della distanza tra le due tabelle andrò a crearmi una terza tabella che prenderà il nome di “tabella di contingenza” i cui valori al suo interno vengono calcolati tramite la differenza dei valori all’interno delle due tabelle messe a confronto (tabella iniziale e tabella teorica). L'indice, che noi utilizzeremo per analizzare la distanza, sarà basato sulle contingenze al quadrato (c): se notiamo le contingenze sono come degli scarti e elevare al quadrato uno scarto, come abbiamo già visto in precedenza, lo facciamo per trovare delle informazioni.

Indice chi-quadrato di Pearson: Come abbiamo anticipato un attimo fa, esiste un indice (indice assoluto) basato sui valori delle contingenze e

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Una volta che abbiamo trovato l'indice assoluto o anche chiamato Chi-quadrato (calcolato quindi la distanza tra tabella teorica e osservata) dobbiamo capire se questo è numero alto o basso, ovvero: sono vicino o lontano alla dipendenza?

Per rispondere a questa domanda andremo a calcolare la connessione tramite l'indice normalizzato di Pearson, ovvero con la formula riportata qui di fianco a sinistra. Nel nostro caso abbiamo trovato 0,2079 ma è basso o alto?

Per capirlo bisogna calcolare la dipendenza massima che si ha trovando il numero dei dati per il valore minimo tra il numero delle varie modalità - 1; in questo caso ad esempio avevamo che il minimo era 3 dunque, il massimo di dipendenza era (dipendenza funzionale) 3 - 1 = 2 x 30 = 60.

Svolgendo poi i calcoli abbiamo trovato 0,2079 che si avvicina alle frequenze teoriche.

aggiungiamo una linea tratteggiata che andrà a rappresentare la media marginale di y (M(Y)), come viene mostrato nel grafico di sopra. Però possiamo vedere che la media marginale di Y non è un indice appropriato per tutte le modalità perché ad esempio per la modalità 1 non serve a nulla. Un indice di posizione che potrebbe sintetizzare meglio la relazione tra X e Y sono invece le media condizionate, che andremo a rappresentare con un rombo all'interno del grafico (guardare a destra). Unendo tutti quanti i rombi (medie condizionate) andremo ad avere una linea spezzata che verrà chiamata "spezzata di Regressione": essa mi rappresenta come varia la domanda (Y) al variare del prezzo (X); la loro relazione. La domanda ora è: come si fa a calcolare tutto ciò teoricamente? La spiegazione sarà riportata qui di seguito.

Medie e varianza marginali e condizionate

Data una v.s. doppia possiamo definire le seguenti variabili

univariate e gli indici che possiamo ricavare da essi:

• 2 v.s. marginali 2 medie marginali e 2 varianze marginali
• (h+k) v.s. condizionate (X I y o Y I x ) 2 v.s. medie condizionatej ie 2 v.s. varianze condizionate.

Con l'esempio di prima (dalla tabella) possiamo ad esempio calcolare gli indici marginali; dunque avremo:

Le v.s. medie condizionate sono v.s. aventi come:

• Modalità: le medie condizionate (o di YIx o di XIy)
• Frequenza: le frequenze marginali della v.s. condizionante

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Dunque, se andiamo a cercare quali siano gli indici con queste v.s. medie condizionate, avremo:

Notiamo che, per la proprietà di minimo della media " u (x ) " è quel valore che minimizza il costo quadratico medioY idi Y nel gruppo identificato da x :i dove con g ho indicato un qualsiasi centro di