Appunti di Statistica

Indice R-quadro (definizione) = + ,

Si consideri la retta dei minimi quadrati definita come in precedenza. Dico indice R-quadro,

ed indico con , l’indice definito come segue:

≔

∈ [, ].

per cui L’indice R-quadro consente di valutare l’accuratezza della retta di regressione. In

particolare: ̂ ̅

= , =

1. se la retta di regressione è costante, e dunque . In tal caso, l’adattamento della

retta di regressione ai dati rilevati è il peggiore.

= ,

2. se la retta di regressione si adatta perfettamente ai dati rilevati, ed è la migliore possibile.

Teoria della probabilità

Elementi di probabilità

Algebra degli eventi

Esperimento aleatorio (definizione)

Dico esperimento aleatorio una qualsiasi operazione il cui risultato non sia deterministico, ovvero il cui

risultato non possa essere previsto in modo certo e assoluto.

Spazio campionario (definizione) ,

Dico spazio campionario, o spazio degli esiti, ed indico con l’insieme di tutti i possibili esiti di un

−esimo,

esperimento aleatorio. Dico evento elementare ed indico con , un elemento dello spazio

campionario, ovvero uno dei possibili esiti di un esperimento aleatorio.

Evento (definizione) ∈ (),

Dico evento dello spazio campionario, ed indico con un qualsiasi sottoinsieme dello spazio

campionario. Trattandosi di insiemi, fra eventi sono ammesse le operazioni di intersezione, unione e

differenza.

Eventi notevoli

Evento complementare (definizione) ̅

Sia un evento qualsiasi. Dico evento complementare, ed indico con , l’insieme definito come segue:

̅

≔ \.

Evento certo (definizione) ̅

, ≔ ∪

Sia un evento qualsiasi. Dico evento certo, ed indico con l’evento definito come segue: .

Evento impossibile (definizione) ̅

∅, ∅ ≔

Sia un evento qualsiasi. Dico evento impossibile, ed indico con l’evento definito come segue: .

Eventi mutuamente esclusivi (definizione)

, , ∩ = ∅.

Siano due eventi. Dico che sono mutuamente esclusivi (o incompatibili) se

Eventi collettivamente esaustivi (definizione)

, … , , … , ∪

Siano un insieme di eventi. Dico che sono collettivamente esaustivi se vale che

1 1

… ∪ = .

Leggi di De Morgan ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

̅∪

̅ ̅∩

̅

, ( ∩ ) = ( ∪ ) =

Siano due eventi qualsiasi. Vale che , e che .

Probabilità elementare

Probabilità (definizione) ()

Dico probabilità, ed indico con , la mappa che associa elementi dell’insieme ad elementi

ℝ.

dell’insieme : () → ℝ

Calcolo della probabilità

1. Probabilità classica.

≔ # ≔ #

Sia la cardinalità dello spazio campionario, e sia la cardinalità di un evento. Calcolo la

.

probabilità classica dell’evento come il rapporto fra ed

() =

2. Probabilità frequentista.

Sia il numero di ripetizioni totali di un esperimento aleatorio, e sia il numero delle volte in cui un

esito dell’evento si è verificato. Calcolo la probabilità frequentista dell’evento come il limite del

, → +∞.

rapporto fra ed con

() =

→+∞

3. Probabilità soggettiva.

Calcolo la probabilità soggettiva dell’evento come il livello individuale di fiducia nel verificarsi dell’evento.

Assiomi di probabilità

1. Positività.

La probabilità di un evento qualsiasi è positiva.

() ≥ ∀ ⊂

2. Unitarietà. ≤ () ≤ ∀ ⊂ .

La probabilità dello spazio campionario è unitaria. Dunque

() ≔

3. Probabilità dell’unione.

, … ,

Siano eventi mutuamente incompatibili. Allora la probabilità dell’unione degli eventi è la somma

delle probabilità dei singoli eventi.

(⋃ ) ≔ ∑ ( )

=

=

Proprietà fondamentali

La probabilità presenta le seguenti proprietà fondamentali.

1. Probabilità dell’insieme vuoto.

La probabilità dell’insieme vuoto è nulla. (∅) =

2. Probabilità dell’evento complementare. ̅

Sia un evento qualsiasi. La probabilità dell’evento complementare è calcolata come segue.

̅ )

( = − ()

3. Probabilità della somma.

, ∪

Siano due eventi qualsiasi. La probabilità dell’unione è calcolata come segue.

( ∪ ) = () + () − ( ∩ )

4. Probabilità di eventi implicanti.

, ⊆ , .

Siano due eventi tali che ovvero tali che implica Allora la probabilità di non è maggiore

.

di quella di () ≤ ()

Probabilità condizionata

Probabilità condizionata (definizione)

, , ,

Siano due eventi qualsiasi. Dico probabilità dell’evento condizionata dall’evento ed indico con

(|), ,

la probabilità che accada l’evento dato che l’evento è accaduto a priori. Tale probabilità è

calcolata come segue: ( ∩ )

(|) = ()

Regola moltiplicativa (definizione)

, ∩

Siano due eventi qualsiasi. La probabilità dell’evento è calcolata come il prodotto della

,

probabilità che accada l’evento dato e la probabilità dell’evento oppure come il prodotto della

.

probabilità che accada l’evento dato e la probabilità dell’evento

( ∩ ) = (|) ∙ () = (|) ∙ ()

La regola moltiplicativa è una diretta conseguenza della probabilità condizionata.

Indipendenza statistica (definizione)

, ∩

Siano due eventi qualsiasi. Dico che e sono indipendenti se la probabilità che accada l’evento

:

è uguale al prodotto delle probabilità degli eventi e

( ∩ ) = () ∙ ()

ovvero se l’accadimento di uno dei due eventi non influenza in alcun modo la probabilità dell’altro. Se,

infatti, e sono indipendenti, vale allora:

(|) = () () >

{ (|) = () () >

altrimenti, dico che e sono dipendenti.

Teoremi fondamentali della probabilità

Partizione dello spazio campionario (definizione)

, … ,

Siano degli eventi tali che:

)

∩ = ∅ ∀ ≠ ∪ … ∪ = ( > ∀

, … , .

Dico allora che gli eventi sono una partizione di

1

Teorema delle probabilità totali

, … , .

Siano una partizione di Allora, vale che:

)

() = ∑ (| ∙ ( )

=

∀ ∈ ().

Dimostrazione. Scrivo: = ∩ Ω = ∩ = ( ∩ )

[⋃ ] ⋃

( )

∩ ∩ ∩ = ∩ ∩ = ∩ ∅ = ∅,

( )

ma dunque:

( ) ) )

() = (⋃ ∩ ) = ∑ ( ∩ ) = ∑ (| ∙ (

per la definizione di probabilità condizionata.

Teorema di Bayes

, … , .

Siano una partizione di Allora, vale che:

)

(| ∙ ( )

|)

( =

∑ )

(| ∙ ( )

∀ ∈ ().

Dimostrazione. Per il teorema delle probabilità totali si ha:

( ∩) (∩ )

|) )

( = (| =

() ( )

)

( ∩ ) = (| ∙ ( )

Poiché si avrà la formula di Bayes.

Variabili aleatorie

Variabile aleatoria (definizione)

Ω

Sia lo spazio campionario. Dico variabile aleatoria una qualsiasi funzione definita dallo spazio

ℝ.

campionario all’insieme dei numeri reali : → ℝ

, ≔

In particolare, essendo ogni evento controimmagine di in dico realizzazione, ed indico con

),

( ℝ.

l’immagine di in

Densità e ripartizione

Funzione di probabilità (definizione)

Sia una variabile aleatoria qualsiasi. Dico funzione di probabilità (o densità) della variabile aleatoria

( ),

calcolata per la realizzazione , ed indico con la probabilità che la variabile aleatoria assuma

valore .

( ) })

≔ ({ =

Proprietà della funzione di probabilità

() . ()

Sia la funzione di probabilità della variabile aleatoria Allora presenta le seguenti proprietà:

1. Positività. Vale infatti quanto segue: ()

≥ ∀ ∈ ℝ

2. Unitarietà. Vale infatti quanto segue: ∑ () =

Funzione di ripartizione (definizione)

: ℝ → [, ]

Sia una variabile aleatoria qualsiasi. Dico funzione di ripartizione di la funzione definita

come segue:

() ()

≔ ∑ () = ∫

∈ −∞

()

= ({ ≤ }).

ovvero tale che

Indici di sintesi

Media (definizione)

, [] ∈ ℝ,

Sia una variabile aleatoria qualsiasi. Dico