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Lezione 3

Funzione di trasferimento

Calcolo della risposta di un sistema dinamico lineare

Per il calcolo della risposta (uscita) di un sistema dinamico soggetto ad ingressi

lineare

assegnati, si possono seguire due strade.

Calcolo nel “dominio del tempo”

Con i metodi dell’analisi matematica, si integra il sistema di equazioni differenziali

(equazioni di stato) forzato dalle funzioni del tempo assegnate (gli ingressi). Dalla

trasformazione di uscita si ricava quindi l’espressione dell’uscita.

Calcolo nel “dominio delle trasformate”

Alla funzione del tempo u(t) si associa, con i metodi matematici che vedremo, una funzione U

1

che prende il nome di del segnale di ingresso. Dalle equazioni del sistema

trasformata

dinamico è poi possibile ricavare facilmente il legame tra la trasformata U e la trasformata Y

del segnale di uscita. Ricavata quindi la trasformata Y, le si associa la funzione del tempo y(t),

che ne costituisce l’antitrasformata, e che rappresenta la risposta del sistema cercata.

trasformata

u(t) U(s)

eq. differenziali eq. algebriche

antitrasformata

y(t) Y(s)

Fig. 1 : Calcolo della risposta di un sistema dinamico lineare

Qual è il vantaggio del metodo di calcolo nel dominio delle trasformate ?

Il vantaggio, notevolissimo, è che il legame tra la trasformata dell’ingresso e la trasformata

dell’uscita è di natura e come accade invece tra le rispettive

algebrica non differenziale,

funzioni del tempo.

1 Con il termine “segnale” intendiamo una variabile, scalare, funzione del tempo.

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 1

Trasformata di Laplace ≥

Si consideri una funzione reale f(t) della variabile reale t, definita per t 0.

La funzione della s:

variabile complessa

∞ −

( ) ( )

∫ st

=

F s f t e dt

0 L[f(t)].

si dice di f(t) e si indica con La trasformata esiste, in

trasformata di Laplace

generale, solo per un insieme di valori di s.

Esempio

Si consideri la funzione scalino:

 =

0 t 0

( ) ( ) 

= =

f t sca t ≥

 1 t 0 sca(t)

1 t

Fig. 2 : La funzione scalino

 

∞ st

e 1

[ ] −

( ) ∫ st

L = = =

 

sca t e dt −

 

s s

0 0

Si noti che l’ultima eguaglianza è vera quando s è un numero complesso a parte reale positiva

(cioè nel semipiano destro del piano complesso).

Esempio

Si consideri la funzione impulso:

( ) ( )

= = ∀ ≠

f t imp t 0

, t 0

+∞ ( )

∫ =

f t dt 1

−∞ ε→0,

Tale funzione può essere vista come il limite, per della seguente funzione:

 ε ≤ ≤ ε

1 0 t

( ) 

=

f t

ε  > ε

 0 t

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 2

f (t)

ε

1/ε t

ε

Fig. 3 : La funzione di cui l’impulso costituisce il limite

∞ ∞ ε 1

[ ] − − −

( ) ( ) ( )

∫ ∫ ∫

st st st

L = = = =

imp t imp t e dt lim f t e dt lim e dt

ε ε

ε → ε →

0 0

0 0 0

ε

  ε ε

− − −

st s s

1 e 1 e se

= = =

=  

lim lim lim 1

ε ε

 

s s s

ε → ε → ε →

0 0 0

0

Proprietà notevoli della trasformata

• Linearità

[ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

L α + α = α L + α L .

f t f t f t f t

1 1 2 2 1 1 2 2

• Traslazione nel dominio della variabile complessa

[ ]

( ) ( )

L =

Se f t F s ,

[ ]

( ) ( )

at

L = −

allora e f t F s a .

• Traslazione nel dominio del tempo

[ ]

( ) ( )

L =

Se f t F s ,

[ ] − τ

( ) ( )

s

L − τ = τ≥0.

allora f t e F s , per

• Derivazione nel dominio del tempo

[ ]

( ) ( )

L =

Se f t F s ,

( ) ( )

 

df t +

( )

= −

L

allora sF s f 0 .

 

 

dt

• Derivazione nel dominio della variabile complessa

[ ]

( ) ( )

L =

Se f t F s , ( )

dF s

[ ]

( )

L = −

allora tf t .

ds

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 3

Trasformate notevoli ≥ F(s)

f(t), t 0

imp(t) 1

sca(t) 1/s

2

ram(t) 1/s 3

par(t) 1/s

at

e 1/(s−a)

ω/(s 2 2

sin(ωt) +ω )

2 2

+ω )

cos(ωt) s/(s

dove: ≥  2 ≥

 t t 0 2 0

t t

( ) ( )

= =

 

ram t par t

< <

0 t 0  0 0

t

Poli e zeri ∞.

I poli di una trasformata F(s) sono i valori di s per cui |F(s)| =

Gli zeri di una trasformata F(s) sono i valori di s per cui F(s) = 0.

Se F(s) è razionale, ossia esprimibile come rapporto di due polinomi in s,

( )

N s

( ) =

F s ,

( )

D s

i poli sono le radici del denominatore D(s), gli zeri le radici del numeratore N(s).

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 4

Antitrasformata di Laplace

Data una funzione F(s) di variabile complessa, si vuole determinare la funzione f(t) di cui F(s)

costituisce la trasformata.

I seguenti due teoremi forniscono informazioni parziali su f(t).

Teorema del valore iniziale

[ ]

( ) ( )

L =

Se f t F s ,

( ) [ ]

+ ( )

=

allora f 0 lim sF s .

→∞

s

Se, ad esempio,

2 + +

s s 1

( ) =

F s ,

3 2

+ +

2 s 3

s 4

( ) 3 2

+ +

s s s 1

+ = =

allora f 0 lim .

3 2

+ +

→∞ 2

2 s 3

s 4

s

Teorema del valore finale

[ ]

( ) ( )

L =

Se f t F s , e F(s) è razionale e ha poli tutti a parte reale negativa oppure nell’origine

del piano complesso, allora

[ ]

( ) ( )

=

lim f t lim sF s .

→∞ →

t s 0

Se, ad esempio,

2 + + 1

s s

( ) = ,

F s 3 2

+ +

2 s 3

s s

−1/2 −1,

F(s) ha poli in 0, e per cui il teorema è applicabile, e risulta:

2 + +

s s 1

( ) = =

lim f t lim 1 .

2 + +

→∞ → 2 s 3

s 1

t s 0

Metodo di Heaviside per funzioni razionali

Consente di ricavare l’espressione analitica dell’antitrasformata quando la trasformata è una

funzione razionale, ossia un rapporto di polinomi in s:

( ) n n 1

+ +

L

+

N s b s b s b

( ) n

0 1

= =

F s .

( ) −

n n 1

+ +

L

+

D s s a s a n

1

Il metodo viene qui presentato solo per alcuni casi particolari.

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 5

1) Poli reali semplici

Il denominatore è fattorizzabile come:

( )( ) ( )

( ) = + + L + ∈ℜ ≠

D s s p s p s p , p , p p .

1 2 n i i j

Ne consegue:

α α α

( ) = + +

L

+

1 2 n

F s + + +

s p s p s p

1 2 n

α

α , ..., mediante confronto tra questa espressione e l’espressione

Si ricavano i coefficienti 1 n

originaria di F(s). Infine si antitrasformano i singoli termini:

( ) − − −

p t p t p t

= α + α +

L

+ α ≥

f t e e e , t 0 .

1 2 n

n

1 2

2) Poli reali semplici e un polo reale multiplo

Il denominatore è fattorizzabile come:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

k

= + + L + ∈ℜ ≠ = − −

D s s p s p s p , p , p p , m n k 1 .

1 2 m i i j

Ne consegue: α

α α α α

( )

( ) 1 k 1

= + +

L

+ + +

L

+

1

k 11 2 m

F s −

( ) ( ) + + +

k k 1

+ + s p s p s p

s p s p 1 2 m

1 1 α α α α

Si ricavano i coefficienti , ..., ..., mediante confronto tra questa espressione e

1k 11, 2 m

l’espressione originaria di F(s). Infine si antitrasformano i singoli termini:

− k

k 1 2

t t

( ) − − − −

− p t p t p t p t

p t

= α + α + + α + α + + α ≥

L L

f t e e e e e , t 0 .

1 1 1 2 m

( )

( ) ( )

− m

1

k 11 2

k

1 1

− −

k 1 ! k 2 !

3) Poli reali semplici e due poli complessi e coniugati semplici

Il denominatore è fattorizzabile come:

( )( )( ) ( )

( ) ( )

L

= + + + + ∈ℜ ≥ ≠ = −

D s s p s p s p s p , p i 2 , p p , m n 1 .

1 1 2 m i i j

σ

Ne consegue (posto p = + jω):

1

α α α α β + γ α α

s

( ) = + + +

L

+ = + +

L

+ =

1 1 2 m 2 m

F s + +

+ + + + 2 2 2

+ σ + σ + ω

s p s p s p s p s p s p

s 2 s

1 1 2 m 2 m

+ σ − βσ + γ ω α α

s

= β + + +

L

+ m

2

( ) ( )

ω + +

2 2

2 2

+ σ + ω + σ + ω s p s p

s s m

2

β γ β, γ, α α

con e parametri reali opportuni. Si ricavano i coefficienti , ..., mediante

2 n

confronto tra questa espressione e l’espressione originaria di F(s). Infine si antitrasformano i

singoli termini: − βσ + γ

( ) ( ) ( )

− σ − σ − −

t t p t p t

= β ω + ω + α +

L

+ α ≥

f t e cos t e sin t e e , t 0 .

2 m

m

2

ω

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 6

Funzione di trasferimento

Consideriamo un sistema dinamico lineare in forma vettoriale:

( ) ( ) ( )

& = +

t t t

x Ax Bu n m p

∈ℜ ∈ℜ ∈ℜ

, , ,

x u y

( ) ( ) ( )

= +

t t t

y Cx Du

Introduciamo i vettori che contengono le trasformate di Laplace delle

X(s), U(s), Y(s)

componenti dei vettori rispettivamente.

x(t), u(t), y(t),

Osservando che risulta:

[ ]

( ) ( ) ( )

&

 L  −

 

x t sX s x 0

1 1 1

   

[ ]

( ) ( ) ( )

&

L −

x t sX s x 0

 

[ ]

( ) ( ) ( )

2 2 2

&

L = = = −

t s s 0

x X x

   

M M

   

[ ]

( ) ( ) ( )

&

L −

 

x t sX s x 0

 

 

n n n

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  + + +

L + + +  

a X s a X s ... a X s

a x t a x t ... a x t 11 1 12 2 1

n n

11 1 12 2 1

n n

   

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ + +

L + + +

a x t a x t ... a x t a X s a X s ... a X s

 

[ ]

( ) ( )

21 1 22 2 2 n n

21 1 22 2 2 n n

L = = =

t s

Ax AX

   

M

M

   

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

L + + + + + +

 

a x t a x t ... a x t a X s a X s ... a X s

 

 

n

1 1 n 2 2 nn n n

1 1 n 2 2 nn n

e analogamente per le altre trasformate di prodotti matrice-vettore, si ottiene, sfruttando la

linearità della trasformata:

( ) ( ) ( ) ( )

− = +

s s 0 s s

X x AX BU

( ) ( ) ( )

= +

s s s

Y CX DU

Si è quindi ottenuto un sistema nelle trasformate delle variabili. Per tutti i valori di

algebrico

s diversi dagli autovalori della matrice risulta:

A,

− −

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

= − + − 0

s s s s

X I A BU I A x

n n

e quindi:

[ ]

− −

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

= − + + − 0 .

s s s s

Y C I A B D U C I A x

n n

Di particolare interesse è la situazione in cui lo stato iniziale è nullo (x(0) = 0). Risulta:

( ) ( ) ( )

=

s s s ,

Y G U

dove la matrice (di dimensioni p×m):

[ ]

−1

( )

( ) = − +

s s

G C I A B D

n

prende il nome di del sistema.

funzione di trasferimento

Nel caso SISO (m=p=1), la funzione di trasferimento diventa uno scalare e si può scrivere,

sempre a stato iniziale nullo:

( )

Y s

( ) =

G s .

( )

U s

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 7

La funzione di trasferimento può essere calcolata con la formula precedente (ricavando quindi

le matrici e invertendo una matrice n×n) oppure trasformando le singole equazioni

A, B, C, D

membro a membro (a stato iniziale nullo), e ricavando il legame tra Y(s) e U(s) mediante

(s).

eliminazione delle X

i

Riprendiamo gli esempi di sistemi dinamici elementari trattati in precedenza, limitandoci

naturalmente a quelli lineari:

Resistore ( )

1 Y s 1

( ) ( ) ( )

= ⇒ = =

y t u t G s ( )

R U s R

Induttore

1

( ) ( )

& =

x t u t

1 L ( )

Y s 1

( ) ( ) ( )

= ⇒ = =

y t x t G s ( )

1 U s Ls

Condensatore

1

( ) ( )

& =

x t u t

1 C ( )

Y s 1

( ) ( ) ( )

= ⇒ = =

y t x t G s ( )

1 U s Cs

Massa

( ) ( )

& =

x t x t

1 2

1

( ) ( )

& =

x t u t

2 M ( )

Y s 1

( ) ( ) ( )

= ⇒ = =

y t x t G s ( )

1 2

U s Ms

Oscillatore meccanico

( ) ( )

& =

x t x t

1 2

1 ( )

( ) ( ) ( ) ( )

& = − − +

x t Kx t Dx t u t

2 1 2

M ( )

Y s 1

( ) ( ) ( )

= ⇒ = =

y t x t G s ( )

1 2 + +

U s Ms Ds K

Serbatoio cilindrico

1

( ) ( )

& =

x t u t

1 A

S ( )

Y s 1

( ) ( ) ( )

= ⇒ = =

y t x t G s ( )

1 U s A s

S

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 8

Struttura della funzione di trasferimento

Si consideri un sistema SISO, per cui la funzione di trasferimento è uno scalare:

[ ]

( )

( ) 1

= − +

G s s D .

C I A B

n

Osserviamo che: ( ) ( ) ( )

L

 

k s k s k s

n

11 12 1

 

( ) ( ) ( )

L

k s k s k s

1

−1

( )  

n

21 22 2

− = ,

s

I A ( )

n  

M M O M

det s

I A

n  

( ) ( ) ( )

L

k s k s k s

 

n n nn

1 2 −A)

dove i polinomi k (s) sono i complementi algebrici della matrice (sI ed hanno, per

ij n

costruzione, grado non superiore a n−1 (mentre il determinante a denominatore ha

ovviamente grado n). −1

( )

Nel formare lo scalare si combinano linearmente i polinomi k , ottenendo un

s

C I A B ij,

n

polinomio che non può avere grado maggiore dei singoli polinomi. A questa espressione va

poi sommato D, se il sistema non è strettamente proprio.

Concludiamo quindi che la funzione di trasferimento è razionale (rapporto di polinomi):

( )

N s

( ) =

G s ,

( )

D s

che il denominatore D(s) ha grado n, mentre per il numeratore:

( )

≤ − =

polinomio di grado n 1 , se il sistema è strett. proprio ( D 0

)

( ) =

N s = ≠

polinomio di grado n , se il sistema non è strett. proprio ( D 0

)

Si osservi quindi che il grado del numeratore non può mai eccedere quello del denominatore.

Si ricorda inoltre che un polinomio di grado n a coefficienti reali ammette nel piano

complesso n radici, reali o a coppie complesse e coniugate (teorema fondamentale

dell’algebra).

Gli della funzione di trasferimento sono le radici del numeratore N(s) (e quindi sono in

zeri

numero minore o uguale a n).

I della funzione di trasferimento sono le radici del denominatore D(s) (e quindi sono in

poli −A),

numero uguale a n). I poli, in quanto radici del determinante della matrice (sI coincidono

n

con gli della matrice

autovalori A.

Queste conclusioni non contemplano esplicitamente il caso in cui numeratore e denominatore

abbiano una o più radici comuni. Nel formare l’espressione della funzione di trasferimento tali

radici si semplificano, per cui il denominatore avrà grado minore di n (e il numeratore grado

minore o uguale a quello del denominatore). In questo caso i poli della funzione di

trasferimento formano un sottoinsieme degli autovalori della matrice A.

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 9

Nel piano complesso, i poli vengono di norma rappresentati con una crocetta, gli zeri con un

pallino. La funzione di trasferimento:

2 +

s 1

( ) =

G s ,

3 2

+ +

s s s

3 2 −j −1 −2,

presenta due zeri, in s = e s = j, e tre poli, in s = 0, s = e s = rappresentati come in

figura: Im

j Re

−2 −1 0

−j

Fig. 4 : Disposizione di poli e zeri.

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 10

Parametri caratteristici della funzione di trasferimento

Si è visto che la funzione di trasferimento di un sistema dinamico è una funzione razionale

della variabile complessa s, ossia è il rapporto di due polinomi:

( ) n n 1

β β L β

+ + +

N s s s

( ) = = n

0 1 .

G s −

( ) n n 1

γ L γ

+ + +

D s s s n

1

Alternativamente si può utilizzare la seguente espressione equivalente:

∏ ( )

+

s z i

( ) = ρ i

G s .

∏ ( )

+

s p

i

i

dove le produttorie corrono su tutti gli zeri e su tutti i poli, rispettivamente, mentre:

ρ: costante di trasferimento

−z : zeri

i

−p : poli

i e p possono anche essere complessi. Per ottenere una

Si osservi che i parametri z i i

rappresentazione con solo numeri reali è sufficiente accorpare i termini complessi e coniugati

(a numeratore e a denominatore), nei polinomi di secondo grado a radici complesse. Questi

polinomi, a loro volta sono espressi per mezzo di due parametri particolarmente significativi,

ζ ω

indicati con e :

n

2 2

ζω ω

+ + ,

s 2 s

n n

ω

dove è un numero positivo.

n

Per comprendere il significato dei due parametri, osserviamo che le radici del polinomio sono:

2

= − ζω ± ω − ζ

s j 1 ,

1

, 2 n n

e risultano effettivamente complesse e coniugate se |ζ| < 1.

ζ ω è allora illustrato dalla seguente figura:

Il significato dei parametri e n Im

ω

n

−ζω α Re

n ζ = cos(α)

ζ ω

Fig. 5 : Significato dei parametri e n

ω , è il modulo delle due radici, ossia la loro distanza dall’origine.

pulsazione naturale:

n

ζ, α

è il coseno dell’angolo formato dalla congiungente l’origine con le

smorzamento: radici, rispetto al semiassse reale negativo

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 11

−ζω ω

Poiché la parte reale dei poli vale e è un numero positivo, si ha:

n n

ζ>0: due radici nel semipiano sinistro

ζ=0: due radici sull’asse immaginario

ζ<0: due radici nel semipiano destro

Possiamo a questo punto esprimere la funzione di trasferimento per mezzo di soli parametri

reali nella seguente forma:

( )

∏ ∏

( ) 2 2

+ + ζ ω + ω

s z s s

2

i zi nzi nzi

( ) = ρ i i ,

G s ( )

∏ ∏

( ) 2 2

+ + +

ζ ω ω

s p s s

2

i pi npi npi

i i

ω ω ζ ζ

> ≤

con , 0

, , 1 .

nzi npi zi pi

Un’ulteriore espressione della funzione di trasferimento è la seguente:

∏ ( )

+ τ

1 s

µ i

( ) = i

G s ∏ ( )

g +

s 1 sT

i

i

dove le produttorie corrono su tutti gli zeri e su tutti i poli diversi da zero, rispettivamente,

mentre:

µ: guadagno

g: tipo

τ : costanti di tempo degli zeri

i

T : costanti di tempo dei poli

i

Si osservi che il rapporto delle due produttorie valutato in s = 0 è pari a 1. Per ottenere questo

g .

risultato si sono raggruppati gli eventuali poli o zeri in s = 0 nel termine a denominatore s

Pertanto g è un numero intero, uguale, se positivo, al numero di poli in s=0, se negativo, al

numero di zeri in s=0 (se è nullo non vi sono né poli né zeri in s=0).

Se g=0, risulta inoltre: −

( ) ( ) 1

µ = = = − +

lim G s G 0 D ,

CA B

s 0

espressione che prende il nome di in quanto corrisponde al rapporto tra

guadagno statico,

2

ingresso e uscita all’equilibrio.

Più in generale:

[ ]

( )

g

µ = lim s G s .

s 0

Anche questa forma della funzione di trasferimento può essere espressa in termini solo di

parametri reali: = + = +

2 0 u , y Du x

Ax B Cx

All’equilibrio risulta , per cui, eliminando , si ottiene il risultato.

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 12

 

2

ζ s

∏ ∏

( )

+ τ + +

 

zi

s s

1 1 2

i ω 2

ω

 

µ i i

( ) nzi nzi

=

G s ,

 

g ζ 2

s ∏ ∏ s

( )  

pi

+ + +

sT s

1 1 2

i ω 2

ω

i i  

npi npi

ω ω > ζ ζ ≤

con , 0

, , 1 .

nzi npi zi pi

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 13

Calcolo delle risposte temporali

Dato un sistema dinamico lineare ed un ingresso trasformabile secondo Laplace, è possibile

ricavare l’espressione analitica dell’uscita del sistema dinamico forzata da tale ingresso.

Occorre:

1. Ricavare, se non è già data, la funzione di trasferimento G(s) del sistema

2. Ricavare la trasformata U(s) dell’ingresso

3. Calcolare la trasformata dell’uscita Y(s) = G(s)U(s)

4. Antitrasformare

Sia ad esempio:

+

2 s 1

( ) ( ) ( )

= =

G s , u t sca t .

2 + +

s 5

s 4

Sappiamo allora che: + +

1 2 s 1 2 s 1

( ) ( ) ( ) ( )

= = = =

U s , Y s G s U s ( ) ( )( )

+ +

2 + +

s s s 1 s 4

s s 5

s 4

Applichiamo il metodo di Heaviside per l’antitrasformazione di Y(s):

( )( ) ( ) ( )

α + + + α + + α +

α α α +

s 1 s 4 s s 4 s s 1 2 s 1

( ) 1 2 3

= + + = =

1 2 3

Y s .

( )( )

( )( )

+ + + + + +

s s 1 s 4 s s 1 s 4 s s 1 s 4 −1, −4,

Imponendo l’uguaglianza dei due numeratori, in particolare nei punti s = 0, s = s = si

ottiene: 

α = α =

4 1 1 4

1 1

 

 

− α = − ⇒ α =

3 1 1 3

2 2

 

 

α = − α = −

 

2 7 7 12

3 3

Pertanto:

1 1 7 1 1 7

− − − −

( ) ( ) t 4 t t 4 t

= + − = + − ≥

y t sca t e e e e , t 0 .

4 3 12 4 3 12

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 14

Stabilità

Sia dato un sistema all’equilibrio all’istante t=0.

lineare,

Si applichi quindi, all’istante t=0¸ un all’ingresso del sistema (ossia una

impulso

perturbazione di ampiezza molto elevata e di durata brevissima).

Si possono presentare tre tipologie di comportamenti per l’andamento temporale dell’uscita y,

riportate in figura: y (c) (b)

(a) t

Fig. 6 : Differenti comportamenti della risposta all’impulso

(a) l’uscita converge al valore iniziale (supposto nullo);

(b) l’uscita non converge al valore iniziale, ma non diverge;

(c) l’uscita diverge.

Questi comportamenti corrispondono, rispettivamente, a un sistema:

(a) asintoticamente stabile;

(b) (o stabile, ma non asintoticamente);

semplicemente stabile

(c) instabile.

Per i sistemi dinamici lineari, di cui ci stiamo occupando, la stabilità non è legata al

particolare punto di equilibrio in cui si trova il sistema nel momento in cui si dà l’impulso in

ingresso (tutti i punti di equilibrio sono equivalenti tra di loro). Ciò non è evidentemente vero

per un sistema non lineare (si pensi ad un pendolo e ai suoi differenti punti di equilibrio).

Ne consegue che per un sistema lineare la proprietà di stabilità deve essere deducibile

dall’espressione matematica del sistema dinamico, ed in particolare dalla sua funzione di

trasferimento.

Limitiamoci, per brevità, al caso di sistemi con poli semplici (ossia radici non multiple del

denominatore). Ricordando che la trasformata dell’impulso vale 1, si ottiene:

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 15

∏ ( )

+

s z α

i

( ) ( ) ( ) ( )

= = = ρ =

i i

Y s G s U s G s .

∏ ( ) +

+ i s p

s p i

i

i

Antitrasformando, si ricava l’espressione analitica della risposta all’impulso:

∑ −

( ) p t

= α ≥

y t e , t 0 .

i

i

i α

Se p è complesso, ossia p = + jβ , risulta:

i i i i

( )

( ) ( )

− − α

p t t

= β − β .

i i

e e cos t j sin t

i i

Naturalmente sarà presente anche il termine coniugato e i contributi immaginari allo sviluppo

si elideranno.

Ora, se tutti i poli sono reali negativi (p >0) o complessi a parte reale negativa (α >0), tutti gli

i i

esponenziali convergono a zero e, in base alla definizione, il sistema è asintoticamente

stabile; se tutti i poli sono negativi, a meno di uno che è nullo (p =0) o di una coppia che è

i

immaginaria (α =0) , l’esponenziale con esponente nullo dà luogo ad un termine costante

i

mentre quelli con esponente immaginario danno luogo a termini sinusoidali, e quindi la

risposta non converge a zero, ma non diverge: il sistema è pertanto semplicemente stabile; se,

<0) o complesso con parte reale positiva (α <0),

infine, almeno un polo è reale positivo (p i i

l’esponenziale relativo a tale polo diverge, facendo divergere la risposta all’impulso: il

sistema è quindi instabile.

Estendendo, con ragionamenti analoghi, le conclusioni al caso di poli multipli, si può

formulare il seguente teorema:

Un sistema è: se e solo se tutti i poli della sua funzione di trasferimento hanno

asintoticamente stabile: parte reale negativa;

se e solo se tutti i poli della sua funzione di trasferimento hanno

semplicemente stabile: parte reale negativa o nulla, almeno uno ha parte reale nulla, e tutti

i poli a parte reale nulla sono semplici;

se e solo se almeno un polo della sua funzione di trasferimento ha

instabile: parte reale positiva oppure ha parte reale nulla ed è multiplo.

L’analisi di stabilità si riduce quindi all’analisi della posizione dei poli della funzione di

trasferimento. Esistono criteri per valutare se un polinomio (in questo caso il denominatore

della funzione di trasferimento) ha tutte le radici a parte reale negativa, cioè nel semipiano

sinistro del piano complesso. Ci limitiamo a dare una condizione necessaria (che, come tale,

ha interesse solo quando viene violata).

perché il polinomio:

Condizione necessaria

− −

( ) n n 1 n 2 L

= + γ + γ + + γ

D s s s s

1 2 n γ γ γ

abbia tutte le radici a parte reale negativa è che i coefficienti , ..., siano tutti positivi.

1, 2 n

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 16

Per esempio: +

s 2

( ) =

G s non è asintoticamente stabile;

3 2

+ + −

s s s 1

+

s 2

( ) =

G s non è asintoticamente stabile;

3 2

+ +

s s 1

+

s 2

( ) =

G s non si può concludere nulla dalla condizione necessaria.

3 2

+ + +

s s s 1

A completamento delle note sulla stabilità osserviamo che:

1. se il sistema è dato in forma di equazioni di stato, la discussione sulla stabilità può anche

essere condotta sugli autovalori della matrice Infatti i poli della funzione di

A.

trasferimento coincidono con tali autovalori, in assenza di cancellazioni di radici nel

formare la funzione di trasferimento. In presenza invece di cancellazioni, se quindi i poli

sono un sottoinsieme degli autovalori di la definizione di stabilità qui introdotta induce

A,

a ritenere inessenziali ai fini della valutazione della stabilità la posizione nel piano

complesso degli autovalori cancellati (contano solo i poli). In realtà una definizione più

generale di stabilità (stabilità alla Lyapunov), che fa riferimento al sistema espresso in

termini di equazioni di stato, conduce alla conclusione che il sistema è asintoticamente

stabile alla Lyapunov se e solo se tutti gli autovalori di sono a parte reale negativa.

A

Potremo allora dire che se tutti i poli della funzione di trasferimento sono a parte reale

negativa ma vi sono autovalori cancellati a parte reale non negativa, il sistema è

asintoticamente stabile esternamente ma è presente una non asintotica stabilità interna.

2. In questo corso non si danno definizioni di per sistemi non

stabilità di stati di equilibrio

lineari, né strumenti per valutarla. E’ tuttavia evidente che lo studio della stabilità del

sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio fornisce chiare indicazioni del

comportamento del sistema non lineare perturbato rispetto alla condizione di equilibrio.

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 17

Esercizi

Esercizio 3.1

Si calcoli la funzione di trasferimento dall’ingresso u all’uscita y per la rete elettrica

dell’esercizio 2.1, in cui si ponga R=1, L=1, C=1.

Esercizio 3.2

Si calcoli la funzione di trasferimento dall’ingresso u all’uscita y per il seguente sistema

dinamico:

( ) ( )

& =

x t x t

1 2

( ) ( )

& =

x t x t

2 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

& = − − − +

x t x t x t 2 x t u t

3 1 2 3

( ) ( )

=

y t x t

1

Esercizio 3.3

Si determinino tipo, guadagno, costanti di tempo degli zeri e dei poli per la seguente funzione

di trasferimento: 2

2 s s

( ) =

G s ( )

( ) 2

+ + +

s 1 s 6 s 8

Esercizio 3.4

Si discuta la stabilità dei sistemi descritti dalle seguenti funzioni di trasferimento:

1 3

( ) ( )

= =

G s G s

1 2

+ 2 + −

s 5 s s 1

5 8 s 1

( ) ( )

= =

G s G s

3 4

4 2 2

+ + + + +

s 3

s 2 s 1 s s 1

Esercizio 3.5

Si scrivano le equazioni (nel dominio del tempo) di un sistema dinamico che ammette la

seguente funzione di trasferimento:

3

( ) =

G s +

s 4

Esercizio 3.6

Si calcoli l’espressione analitica della risposta all’impulso della seguente funzione di

trasferimento:

+

4 s 1

( ) =

G s 2 + +

s 5

s 6

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 18

Traccia delle soluzioni

Esercizio 3.1

Trasformando secondo Laplace entrambi i membri delle equazioni, si ottiene:

= − − +

sX X X U

1 1 2

= −

sX X X

2 1 2

=

Y X 2

da cui, eliminando X e X , si ottiene:

1 2

( )

Y s 1

=

( ) 2 + +

U s s 2 s 2

Esercizio 3.2

Trasformando secondo Laplace entrambi i membri delle equazioni, si ottiene:

=

sX X

1 2

=

sX X

2 3

= − − − +

sX X X 2 X U

3 1 2 3

=

Y X 1

da cui, eliminando X , X e X , si ottiene:

1 2 3

( )

Y s 1

=

( ) 3 2

+ + +

U s s 2 s s 1

Esercizio 3.3

Riscrivendo la funzione di trasferimento nella forma:

( )

+

µ 1 sT

( ) z

1

=

G s ( )( )( )

g + + +

s 1 sT 1 sT 1 sT

p p p

1 2 3

si ottiene: ( )

s 1 0

.

5

s

( ) =

G s ,

( )( )( )

+ + +

4 1 s 1 0

.

25

s 1 0

.

5

s

da cui si deduce:

−1

Tipo: g = µ 1/4

Guadagno: = −0.5

Costante di tempo dello zero: T =

z1

Costanti di tempo dei poli: T = 1, T = 0.25, T = 0.5.

p1 p2 p3

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 19

Esercizio 3.4

G e G sono asintoticamente stabili (hanno i poli nel semipiano sinistro), G e G non lo

1 4 2 3

sono, in quanto non soddisfano la condizione necessaria (per la precisione, sono instabili).

Esercizio 3.5

Una possibile (non unica) soluzione è la seguente:

( ) ( ) ( )

& = − +

x t 4 x t 3

u t

( ) ( )

=

y t x t

Esercizio 3.6

Poiché la trasformata di Laplace dell’ingresso (impulso) vale 1, la trasformata di Laplace

dell’uscita coincide con la funzione di trasferimento G(s). Si applica il metodo di

antitrasformazione di Heaviside: ( ) ( )

α α

+ + +

α α

+ s 3 s 2

4 1

s

( ) ( ) 1 2

= = = + =

1 2

Y s G s .

( )( )

( )( )

+ + + + + +

s 2 s 3 s 2 s 3 s 2 s 3

−2 −3,

Confrontando i numeratori, una volta in s = e una volta in s = si ottiene:

α α

= − = ,

7 , 11

1 2

da cui:

( ) − −

2 t 3

t

= − + ≥

y t 7 e 11

e t 0 .

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 3 - 20

Lezione 4

Risposte canoniche dei sistemi

del primo e del secondo ordine

Parametri caratteristici della risposta allo scalino

Per risposte canoniche si intendono le risposte dei sistemi dinamici ai segnali cosiddetti

canonici (impulso, scalino, rampa), ovvero quei segnali utilizzabili come test per evidenziare

le proprietà dinamiche del sistema. Ci concentreremo sui sistemi del primo e secondo ordine

in quanto rappresentativi dei modelli di prima approssimazione di larga parte dei sistemi

fisici.

Sul tracciato di una generica risposta allo scalino potremo definire alcuni parametri

caratteristici: y(t) ±ε%

S

y ∞

0.9y

∞ T

0.1y t

∞ T

s

Fig. 1 : Parametri caratteristici della risposta allo scalino

• è il tempo impiegato dalla risposta a passare dal 10% al 90% del

Tempo di salita :

T

s

valore di regime.

• è il tempo impiegato dalla risposta ad entrare

Tempo di assestamento al (100-ε)% :

T

aε ±ε%

definitivamente in una fascia compresa tra del valore di regime.

• è l’escursione massima della risposta

Sovraelongazione percentuale massima :

S E

rispetto al valore di regime, rapportata in percentuale al valore di regime stesso:

{ }

( ) −

max y t y

S ∞

= =

S 100 100 .

E y y

∞ ∞

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 1

Sistemi del primo ordine

L’espressione più generale della funzione di trasferimento per un sistema del primo ordine

(ossia con un solo polo) è la seguente:

+

µ τ

1 s

( ) =

G s .

+

g sT

1

s

Sistemi strettamente propri

Sono i sistemi in cui il grado del denominatore è maggiore del grado del numeratore. Sistemi

del primo ordine strettamente propri non possono quindi presentare zeri:

µ =

, 0

g

µ 1 +

1 sT

( ) = =

G s µ

+

g 1 sT

s =

, 1

g

s

=

g 0 µ

( ) =

G s +

1 sT ( ) ( ) ( )

= ⇒ =

Studiamo la risposta allo scalino ( u t sca t U s 1 s ):

µ µ µ  

1 T 1 1

( ) ( ) ( )  

= = = − = −

µ

Y s G s U s .

 

+ + +

1 sT s s 1 sT s s 1/ T

Antitrasformando:

( )

( ) t T

= µ − ≥

y t 1 e , t 0 . 1

A seconda del segno di T l’andamento di y risulta molto diverso :

y T > 0 T < 0

y t

µ T t

Fig. 2 : Risposta allo scalino per T>0 e T<0

µ

1 Qui e nel seguito si assumerà, senza alcuna perdita di generalità, il parametro positivo.

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 2

Quando T>0, la risposta y si assesta su un valore finito, mentre quando T<0 la risposta diverge

all’infinito. Si osservi che il sistema di funzione di trasferimento G(s) presenta un polo per

s=−1/T. Pertanto il sistema risulta asintoticamente stabile per T>0, instabile per T<0.

Im Im

Re Re

−1/T −1/T

T > 0 T < 0

Fig. 3 : Posizione del polo per T>0 e T<0

Considerando solo il caso asintoticamente stabile (T>0), si può calcolare il valore limite (per

t→∞) della risposta allo scalino con il teorema del valore finale:

µ

 

1

[ ]

( ) ( )

= = = µ.

lim y t lim sY s lim s

 

 

+

1 sT s

→∞ → →

t s 0 s 0 µ

Pertanto la risposta allo scalino tende al guadagno del sistema: in altre parole il rapporto tra

il valore limite dell’uscita ed il valore limite dell’ingresso (che in questo caso vale 1, essendo

l’ingresso uno scalino), è pari al guadagno del sistema. Ciò costituisce una circostanza

generale.

La forma del transitorio dipende invece solo dalla costante di tempo T. All’istante iniziale

µ/T:

(t=0) la derivata di y vale pertanto inizialmente la curva è tangente alla retta che passa per

µ

l’origine e che intercetta la retta orizzontale di ordinata (ossia la retta a cui tende la

risposta), in corrispondenza dell’istante t=T (fig. 1). Ne consegue che il transitorio è tanto più

veloce quanto più piccolo è il valore della costante di tempo T. Si può verificare che la

risposta y raggiunge praticamente (al 98÷99%) il valore di regime dopo un tempo pari a 4÷5

volte la costante di tempo T. Si osservi che da queste considerazioni emerge anche con molta

evidenza un metodo grafico per tracciare l’andamento approssimato della risposta allo scalino.

( ) ( ) ( )

= ⇒ =

Studiamo anche la risposta all’impulso ( u t imp t U s 1 ):

µ µ 1

( ) ( ) ( )

= = =

Y s G s U s .

+ +

sT T s T

1 1/

Antitrasformando:

µ −

( ) t T

= ≥

y t e , t 0 .

T

Si noti che la risposta all’impulso risulta uguale alla derivata rispetto al tempo della risposta

allo scalino (circostanza generale).

A seconda del segno di T si ottiene:

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 3

y t

y

µ/T T > 0 T < 0

T t

Fig. 4 : Risposta all’impulso per T>0 e T<0

Coerentemente con la definizione di stabilità, per T>0 (sistema asintoticamente stabile), la

risposta converge a zero, per T<0 (sistema instabile) la risposta diverge.

=

g 1 µ

( ) =

G s .

s

Il sistema ha un polo in s=0: è pertanto semplicemente stabile.

( ) ( ) ( )

= ⇒ =

Studiamo la risposta allo scalino ( u t sca t U s 1 s ):

µ µ

1

( ) ( ) ( )

= = =

Y s G s U s .

2

s s s

Antitrasformando:

( ) ( )

= µ

y t ram t . y

µ t

1

Fig. 5 : Risposta allo scalino

Per quanto riguarda la risposta all’impulso:

µ

( ) ( ) ( )

= =

Y s G s U s .

s

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 4

e quindi:

( ) ( )

= µ

y t sca t . y

µ t

Fig. 6 : Risposta all’impulso µ.

In entrambi i casi l’uscita equivale all’integrale dell’ingresso, moltiplicato per il fattore

Sistemi propri non strettamente

Sono i sistemi in cui il grado del denominatore è uguale al grado del numeratore. Sistemi del

primo ordine propri non strettamente presentano quindi uno zero:

+ τ

1 s

µ =

, 0

g

+

1 sT

µ + τ + τ

1 1

s s

( ) = = µ =

, 1

G s g

+

g 1 sT s

s s = −

µ , g 1

+

1 sT

=

g 0 + τ

1 s

( ) = µ

G s +

1 sT

Studiando la risposta allo scalino si perviene alla seguente espressione:

 

τ

  −

( )   t T

= µ + − ≥

y t 1 1 e , t 0 .

 

 

 

T τ

Al variare del valore relativo di e T (e quindi della posizione relativa del polo e dello zero)

la risposta allo scalino cambia sensibilmente (si considera solo il caso asintoticamente stabile,

T>0):

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 5

y

µ

Im

τ

0 < < T µτ/T

Re

−1/T

−1/τ t

T

τ

Fig. 7 : Risposta allo scalino per 0< <T

y

µτ/T

Im

τ µ

0 < T < Re

−1/T −1/τ t

T τ

Fig. 8 : Risposta allo scalino per 0<T<

y

µ

Im

τ < 0 < T T t

Re

−1/T −1/τ µτ/T τ

Fig. 9 : Risposta allo scalino per <0<T

Uno zero nel semipiano sinistro “anticipa” la risposta rispetto al caso di sistema privo di zero,

nel senso che la risposta stessa si porta inizialmente ad un valore diverso da zero, dello stesso

segno del valore di regime.

Uno zero nel semipiano destro “ritarda” la risposta rispetto al caso di sistema privo di zero,

nel senso che la risposta stessa si porta inizialmente ad un valore diverso da zero, di segno

opposto al valore di regime (risposta inversa). Questo tipo di comportamento è tipico dei

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 6

sistemi con zeri nel semipiano destro, che per ragioni che saranno chiare più avanti nel corso,

prendono anche il nome di sistemi a fase non minima.

=

g 1 + τ

1 s

( ) = µ

G s s y

Im

τ > 0 µ

µt

Re

−1/τ t

1

τ>0

Fig. 10 : Risposta allo scalino per

y

Im

τ < 0 1 t

µ

µt

Re

−1/τ τ<0

Fig. 11 : Risposta allo scalino per

= −1

g s

( ) = µ

G s + sT

1 y

µ/T

Im Re

−1/T T t

Fig. 12 : Risposta allo scalino (zero in s=0)

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 7

Sistemi del secondo ordine

Per i sistemi del secondo ordine (che presentano cioè due poli) ci limiteremo ad esaminare

alcuni casi particolari, rinunciando alla casistica completa.

Sistemi con poli reali e nessuno zero

µ

( ) =

G s .

( )( )

+ +

1 sT 1 sT

1 2 −1/T

Assumiamo T e T positivi, ossia il sistema asintoticamente stabile (i suoi poli, in s = ,

1 2 1

−1/T

s = , sono nel semipiano sinistro).

2

La trasformata di Laplace della risposta allo scalino è data da:

µ

( ) =

Y s .

( )( )

+ +

1 1

s sT sT

1 2

In base al teorema del valore iniziale, otteniamo:

µ

[ ]

( ) ( )

= = =

y 0 lim sY s lim 0

( )( )

+ +

→∞ →∞ 1 sT 1 sT

s s 1 2 µ

[ ]

[ ] [ ] s

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

L

= = − = = =

0 0 0

y lim s y lim s sY s y lim s Y s lim ( )( )

+ +

→∞ →∞ →∞ →∞ 1 sT 1 sT

s s s s 1 2

2

µ µ

[ ]

( ) [ ]

[ ] s

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 3

L

= = − = = = >

y 0 lim s y lim s s Y s y 0 lim s Y s lim 0

( )( )

+ + T T

→∞ →∞ →∞ →∞ sT sT

1 1

s s s s 1 2

1 2

mentre in base al teorema del valore finale:

µ

[ ]

( ) ( )

∞ = = = µ

y lim sY s lim .

( )( )

+ +

→ → 1 sT 1 sT

s 0 s 0 1 2

La risposta parte quindi da zero, con tangente orizzontale e concavità rivolta verso l’alto.

µ.

Tende poi al valore

L’antitrasformata si può ottenere con il metodo di Heaviside:

 

T T

− −

( ) 1 2

t T t T

= µ − + ≥

 

y t 1 e e , t 0 .

1 2

− −

 

T T T T

1 2 1 2

L’andamento tipico è a forma di “S”:

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 8

y

µ t

Fig. 13 : Risposta allo scalino

La durata del transitorio può essere facilmente legata alle due costanti di tempo T e T solo se

1 2

i due valori sono molto diversi tra loro: in tal caso, infatti, conta solo il valore della costante di

tempo più grande.

Se, ad esempio T >> T , allora:

1 2

[ ]

( ) t T

≈ µ − ≥

y t 1 e , t 0 .

1 y

µ transitorio veloce

dovuto a T 2

T t

1

Fig. 14 : Risposta allo scalino con T >> T

1 2

Sistemi con poli reali e uno zero

+ τ

1 s

( ) µ

=

G s .

( )( )

+ +

1 sT 1 sT

1 2

Assumiamo T e T positivi, ossia il sistema asintoticamente stabile.

1 2

La trasformata di Laplace della risposta allo scalino è data da:

+ τ

1 s

( ) = µ

Y s .

( )( )

+ +

s 1 sT 1 sT

1 2

In base al teorema del valore iniziale, otteniamo:

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 9

 

τ

+

1 s

[ ]

( ) ( )  =

= = µ

y 0 lim sY s lim 0

( )( )

+ +

 

→∞ →∞ 1 sT 1 sT

s s 1 2  

τ µτ

+

[ ]

[ ] [ ] 1 s

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

L  =

= = − = = µ

0 0

y lim s y lim s sY s y lim s Y s lim s ( )( )

+ + T T

 

→∞ →∞ →∞ →∞ 1 1

sT sT

s s s s 1 2

1 2

mentre in base al teorema del valore finale:

 

τ

+ s

1

[ ]

( ) ( )  =

∞ = = µ µ

y lim sY s lim .

( )( )

+ +

 

→ → sT sT

1 1

s 0 s 0 1 2 τ>0,

La risposta parte quindi da zero, con tangente rivolta verso l’alto per verso il basso per

τ<0. µ.

La risposta tende poi al valore

Qualitativamente, gli andamenti della risposta allo scalino saranno:

τ

T < T <

y 1 2

µ τ

T < < T oppure

2

1 τ <

0 < T < T

2

1 t

τ

Fig. 15 : Risposta allo scalino con >0

y

µ τ < 0 t

τ

Fig. 16 : Risposta allo scalino con <0

Si osservi il tratto di risposta inversa nel caso di zero nel semipiano destro (τ < 0).

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 10

Sistemi con poli complessi e coniugati e nessuno zero

In questo caso è comodo riscrivere l’espressione della funzione di trasferimento nella forma

equivalente: 2

ω

( ) n

= µ

G s ,

2 2

+ ζω + ω

s 2 s

n n

ζ, ω , sono stati definiti nella precedente lezione.

dove e pulsazione naturale,

smorzamento, n ζ ω

Si ricorda che il significato dei parametri e è illustrato dalla seguente figura:

n Im

ω

n

−ζω α Re

n ζ = cos(α)

ζ ω

Fig. 17 : Significato dei parametri e n

Si osservi inoltre che:

ζ>0: ⇒

due poli nel semipiano sinistro sistema asintoticamente stabile

ζ=0: ⇒

due poli sull’asse immaginario sistema semplicemente stabile

ζ<0: ⇒

due poli nel semipiano destro sistema instabile

Studiamo la risposta allo scalino:

2

µ ω

( ) n

=

Y s .

2 2

ζω ω

+ +

s s 2 s

n n

In base al teorema del valore iniziale, otteniamo:

2

µω

[ ]

( ) ( ) n

= = =

y 0 lim sY s lim 0

2 2

+ ζω + ω

→∞ →∞ s 2 s

s s n n 2

µω

[ ]

[ ] [ ] s

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) n

2

L

= = − = = =

y 0 lim s y lim s sY s y 0 lim s Y s lim 0

2 2

+ ζω + ω

→∞ →∞ →∞ →∞ s 2 s

s s s s n n

2 2

µω

[ ]

( ) [ ]

[ ] s

( )

( ) ( ) ( ) ( ) n

2 3 2

L

= = − = = = µω >

y 0 lim s y lim s s Y s y 0 lim s Y s lim 0

n

2 2

+ ζω + ω

→∞ →∞ →∞ →∞ s 2 s

s s s s n n

ζ>0,

mentre, per in base al teorema del valore finale:

2

µω

[ ]

( ) ( ) n

∞ = = = µ

y lim sY s lim .

2 2

+ ζω + ω

→ → s 2 s

s 0 s 0 n n

L’espressione analitica della risposta allo scalino, ottenibile per antitrasformazione, è la

seguente:

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 11

 

( )

1 − ζω

( )  

t 2

= µ − ω − ζ + α ,

y t 1 e sin 1 t

n n

 

2

− ζ

 

1

ζ =

dove cos(α).

ζ=0,

Per si ha:

[ ]

( )

( ) = µ − ω

1 cos

y t t

n ω

ossia una cosinusoide di pulsazione :

n T = 2π/ω

y n

2µ t

ζ

Fig. 18 : Risposta allo scalino per =0

ζ≠0,

Per la risposta ha l’andamento di una sinusoide inviluppata da due esponenziali

ζ>0, ζ<0).

(convergenti nel caso asintoticamente stabile, divergenti nel caso instabile,

y

2µ −ζω t

µ(1+e )

n *

y T = 2π/ω

M n

µ −ζω t

µ(1−e )

n t

ζ ω ω ζ

* 2

= −

Fig. 19 : Risposta allo scalino per >0 ( )

1

n n

Si può dimostrare che, nel caso asintoticamente stabile, la sovraelongazione percentuale

massima, ossia il rapporto percentuale tra l’escursione del primo picco della risposta rispetto

al valore di regime ed il valore di regime stesso, dipende esclusivamente dal fattore di

ζ:

smorzamento

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 12

ζπ

− µ

y 2

ζ

M 1

= =

S 100 100

e

E µ 100

S E 90

80

70

60

50

40

30

20

10

0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ζ

Fig. 19 : Sovraelongazione percentuale massima rispetto al fattore di smorzamento

Per fare in modo che la sovraelongazione percentuale massima sia inferiore ad un valore

assegnato, occorrerà quindi che i poli del sistema appartengano ad un determinato settore del

semipiano sinistro del piano complesso (come quello tratteggiato in figura):

Im Re

Fig. 20 : Settore del piano complesso per limitare la sovraelongazione

Il può invece essere determinato con buona approssimazione (per

tempo di assestamento

eccesso) facendo riferimento anziché alla risposta ad uno dei suoi inviluppi. Volendo quindi

calcolare ad esempio il tempo di assestamento al 99% (T ) , si imporrà:

a1

( )

− ζω − ζω

T T

µ − = µ ⇒ = ⇒ ζω =

1 1

n a n a

1 e 0

.

99 e 0

.

01 T ln 100

n a

1

e quindi:

ln 100 4

.

6

= ≈

T .

a

1 ζω ζω

n n

Il tempo di assestamento risulta quindi inversamente proporzionale al modulo della parte

Per limitare il tempo di assestamento occorrerà quindi che i poli del sistema

reale dei poli. ζω

siano caratterizzati da un prodotto sufficientemente grande, ossia che appartengano ad un

n

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 13

semipiano incluso nel semipiano sinistro del piano complesso sufficientemente lontano

dall’asse immaginario (come quello tratteggiato in figura):

Im Re

Fig. 21 : Semipiano del piano complesso per limitare il tempo di assestamento

Volendo contenere sia la sovraelongazione sia il tempo di assestamento, i poli della funzione

di trasferimento dovranno trovarsi in una regione del piano complesso intersezione delle due

regioni tratteggiate nelle precedenti figure.

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 14

Esercizi

Esercizio 4.1

Si tracci l’andamento qualitativo della risposta allo scalino del sistema descritto dalla

seguente funzione di trasferimento:

4

( ) =

G s +

s 2

Esercizio 4.2

Si tracci l’andamento qualitativo della risposta allo scalino del sistema descritto dalla

seguente funzione di trasferimento:

1 0

.

5

s

( ) =

G s +

1 s

Esercizio 4.3

Si tracci l’andamento qualitativo della risposta allo scalino del sistema descritto dalla

seguente funzione di trasferimento:

10

( ) =

G s ( )( )

+ +

1 s 1 0

.

1

s

Esercizio 4.4

Si tracci l’andamento qualitativo della risposta allo scalino del sistema descritto dalla

seguente funzione di trasferimento:

18

( ) =

G s 2 +

s 9

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 15

Traccia delle soluzioni

Esercizio 4.1

G(s) è della forma:

µ

( ) =

G s +

1 sT

µ = 2,

con T = 0.5. Pertanto: 3

2.5 T

2

1.5

y 1

0.5

0 0 1 2 3 4 5

t (s)

Esercizio 4.2

G(s) è della forma:

+ τ

1 s

( ) = µ

G s +

1 sT

µ = 1, τ −0.5.

con T = 1, = Pertanto:

1.5 T

1

0.5

y 0

-0.5

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

t (s)

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 16

Esercizio 4.3

G(s) è della forma:

µ

( ) =

G s ( )( )

+ +

1 sT 1 sT

1 2

µ =

con 10, T = 1, T = 0.1. Pertanto la risposta allo scalino è dominata dalla costante di

1 2

tempo T :

1 12 T 1

10

8

y 6

4

2

0 0 1 2 3 4 5

t (s)

Esercizio 4.4

G(s) è della forma:

2

ω

( ) n

= µ

G s 2 2

+ ζω + ω

2

s s

n n

µ = 2, ω ζ=0.

con =3, Pertanto:

n 5 T

4.5

4

3.5

3

2.5

y 2

1.5

1

0.5

0 0 2 4 6 8 10

t (s)

Il periodo T dell’oscillazione permanente vale:

π

2

= =

T 2

.

094 s

ω

n

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 17

Lezione 5

Schemi a blocchi

Elementi costitutivi di uno schema a blocchi

Gli schemi a blocchi costituiscono un formalismo per rappresentare graficamente le

interazioni tra sistemi dinamici.

Vediamone gli elementi costitutivi:

Il blocco

Il blocco non è altro che un simbolo indicante la presenza di un sistema dinamico, avente la

funzione di trasferimento riportata nel simbolo del blocco, e l’ingresso e l’uscita riportati

rispettivamente sulla freccia entrante e sulla freccia uscente dal blocco:

U Y

G(s)

Fig. 1 : Un blocco

Il nodo sommatore

L’uscita del nodo è data dalla somma algebrica dei segnali che entrano nel nodo, ciascuno

preso con il proprio segno (se non è indicato il segno, si assume per convenzione il segno

positivo). X W = X+Y−Z

W

+

Y +

Z Fig. 2 : Un nodo sommatore

Il punto di diramazione

Tutti i segnali uscenti da un punto di diramazione sono uguali al segnale entrante nel punto.

Y Y = X

X W W = X

Z = X

Z

Fig. 3 : Un punto di diramazione

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 5 - 1

Schemi di interconnessione

Sistemi in cascata (o serie)

Due sistemi si dicono in cascata (o in serie) se l’uscita di uno è l’ingresso dell’altro.

Graficamente si ha la seguente situazione:

U=U Y = U Y = Y

1 1 2 2

G (s) G (s)

1 2

Fig. 4 : Blocchi in cascata

La funzione di trasferimento dall’ingresso del primo sistema all’uscita del secondo si ottiene

come segue:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= = = = =

Y s Y s G s U s G s Y s G s G s U s G s G s U s

2 2 2 2 1 2 1 1 2 1

Pertanto:

( )

Y s ( ) ( )

= G s G s

( ) 1 2

U s

La funzione di trasferimento del sistema costituito dalla cascata di due sottosistemi è quindi

data dal delle due funzioni di trasferimento parziali.

prodotto

Sistemi in parallelo

Due sistemi si dicono in parallelo se hanno lo stesso ingresso, mentre le loro uscite si

sommano (algebricamente) per determinare l’uscita del sistema risultante.

Graficamente si ha la seguente situazione: Y

1

G (s)

1

U + Y

+

Y

2

G (s)

2

Fig. 5 : Blocchi in parallelo

La funzione di trasferimento dall’ingresso comune ai due sistemi all’uscita si ottiene come

segue: [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= + = + = +

Y s Y s Y s G s U s G s U s G s G s U s

1 2 1 2 1 2

Pertanto:

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 5 - 2

( )

Y s ( ) ( )

= +

G s G s

( ) 1 2

U s

La funzione di trasferimento del sistema costituito dal parallelo di due sottosistemi è quindi

data dalla delle due funzioni di trasferimento parziali, ciascuna presa con il

somma algebrica

segno con cui la sua uscita entra nel nodo sommatore.

Sistemi in retroazione

Due sistemi si dicono connessi in retroazione quando l’uscita del primo è l’ingresso del

secondo, mentre l’uscita del secondo si somma o si sottrae ad un ingresso esterno per

determinare l’ingresso del primo sistema.

Si hanno quindi due possibili schemi di connessione:

U + U Y Y

1 1

G (s)

1

+ Y U

2

2 G (s)

2

Fig. 6 : Blocchi in retroazione positiva

U + U Y Y

1 1

G (s)

1

− Y U

2

2 G (s)

2

Fig. 7 : Blocchi in retroazione negativa

In entrambi i casi:

G : funzione di trasferimento della linea di andata

1

G : funzione di trasferimento della linea di retroazione

2

Consideriamo il caso di retroazione e calcoliamo la funzione di trasferimento

positiva

dall’ingresso U all’uscita Y: [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= = = + = + =

Y s Y s G s U s G s U s Y s G s U s G s U s

1 1 1 1 2 1 2 2

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= + = +

G s U s G s Y s G s U s G s G s Y s

1 2 1 1 2

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 5 - 3

Pertanto:

( ) ( )

Y s G s

1

=

( ) ( ) ( )

U s G s G s

1 1 2

Analogamente, nel caso di retroazione negativa:

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= = = − = − =

Y s Y s G s U s G s U s Y s G s U s G s U s

1 1 1 1 2 1 2 2

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= − = −

G s U s G s Y s G s U s G s G s Y s

1 2 1 1 2

e quindi:

( ) ( )

Y s G s

1

=

( ) ( ) ( )

+

U s 1 G s G s

1 2

La funzione di trasferimento G (s)G (s) prende il nome di funzione di trasferimento

1 2

d’anello.

La regola per trovare la funzione d trasferimento del sistema complessivo (sistema in anello

è quindi la seguente :

chiuso)

( ) − : retroazione positiva

Y s f.d.t. linea di andata

=

( ) + : retroazione negativa

U s 1m f.d.t. d'anello

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 5 - 4

Stabilità degli schemi di interconnessione

Sistemi in cascata

Siano: ( ) ( )

N s N s

( ) ( )

1 2

= =

G s G s

, ,

( ) ( )

1 2

D s D s

1 2

le funzioni di trasferimento dei due sistemi in cascata, espresse come rapporti di polinomi.

La funzione di trasferimento del sistema complessivo sarà quindi:

( )

( )

N s N s

( ) ( ) ( ) 1 2

= =

G s G s G s .

( )

( )

1 2 D s D s

1 2

Il denominatore di G(s) è dato dal prodotto dei denominatori delle funzioni di trasferimento

parziali: ne consegue che i poli del sistema complessivo sono la riunione dei poli dei due

sottosistemi in cascata. Pertanto:

Un sistema costituito dalla cascata di due o più sottosistemi è asintoticamente stabile se e

solo se lo sono tutti i sottosistemi che compongono la cascata.

Il precedente ragionamento non prevede la possibilità che vi siano radici di N uguali a radici

1

di D , o radici di N uguali a radici di D , ossia che intervengano cancellazioni tra poli di una

2 2 1

funzione di trasferimento e zeri dell’altra. Se viceversa tali cancellazioni avvengono, occorre

porre attenzione al fatto che i poli cancellati siano o meno a parte reale negativa (ossia nel

semipiano sinistro).

Se infatti tutti i poli cancellati sono nel semipiano sinistro, essi non hanno alcun ruolo nel

determinare l’asintotica stabilità del sistema complessivo, che viene ovviamente a dipendere

dai poli non cancellati. Se invece almeno uno dei poli cancellati non è nel semipiano sinistro,

mentre tutti i poli non cancellati lo sono, si sarebbe indotti a ritenere che il sistema risultante

sia asintoticamente stabile (il denominatore della funzione di trasferimento ottenuto a seguito

delle cancellazioni presenterebbe tutte radici nel semipiano sinistro). In realtà una situazione

di questo tipo corrisponderebbe alla presenza di una instabilità (o, comunque, non asintotica

stabilità) interna: a seguito di una sollecitazione impulsiva all’ingresso, seppure la variabile di

uscita del sistema si riporta, esaurito il transitorio, al valore di riposo, altre variabili interne

possono crescere indefinitamente, o comunque non ritornare al valore di riposo.

Concludiamo quindi che la precedente affermazione sulla stabilità dei sistemi connessi in

cascata è in realtà valida, facendo riferimento al concetto di stabilità interna, anche in

presenza di cancellazioni tra poli e zeri.

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 5 - 5

Sistemi in parallelo

Siano: ( ) ( )

N s N s

( ) ( )

1 2

= =

G s G s

, ,

( ) ( )

1 2

D s D s

1 2

le funzioni di trasferimento dei due sistemi in parallelo. La funzione di trasferimento del

sistema complessivo sarà quindi (i segni con cui avviene la somma sono irrilevanti ai fini

della stabilità): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

N s N s N s D s N s D s

( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1

= + = + =

G s G s G s .

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 D s D s D s D s

1 2 1 2

Anche in questo caso, il denominatore di G(s) è dato dal prodotto dei denominatori delle

funzioni di trasferimento parziali: ne consegue che i poli del sistema complessivo sono la

riunione dei poli dei due sottosistemi in cascata. Pertanto:

Un sistema costituito dal parallelo di due o più sottosistemi è asintoticamente stabile se e solo

se lo sono tutti i sottosistemi che compongono il parallelo.

Un ragionamento analogo a quello sviluppato per i sistemi in cascata consente di concludere

che l’affermazione è valida, con riferimento al concetto più generale di stabilità interna, anche

e

in presenza di poli comuni tra le due funzioni di trasferimento (ovvero radici comuni di D

1

, che comportano cancellazioni).

D

2

Sistemi in retroazione

Siano: ( ) ( )

N s N s

( ) ( )

1 2

= =

G s , G s ,

( ) ( )

1 2

D s D s

1 2

le funzioni di trasferimento dei due sistemi in retroazione. La funzione di trasferimento del

sistema complessivo sarà quindi:

( )

N s

1

( ) ( ) ( )

( )

G s D s N s D s

( ) 1 2

1 1

= = =

G s ,

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m m

N s N s

G s G s D s D s N s N s

1 1 2

m 1 2 1 2

1 2 1 ( ) ( )

D s D s

1 2

con l’opportuno segno a seconda che si tratti di retroazione positiva o negativa.

Pertanto i poli del sistema in anello chiuso sono le radici del denominatore:

( ) ( ) ( ) ( )

m

D s D s N s N s

1 2 1 2

e non hanno nessuna relazione precisa con le radici dei polinomi D e D , ossia con i poli dei

1 2

due sottosistemi interconnessi. Pertanto:

Per un sistema costituito dalla retroazione di due sottosistemi non si può affermare nulla

sulla asintotica stabilità del sistema in anello chiuso a partire dalla asintotica stabilità o

meno dei due sistemi interconnessi.

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 5 - 6

Esercizi

Esercizio 5.1

Si calcoli la funzione di trasferimento da u a y per il sistema descritto dal seguente schema a

blocchi: U Y

G (s) G (s)

1 2

G (s) G (s)

3 4

Esercizio 5.2

Si calcoli il legame, in termini di funzioni di trasferimento dagli ingressi u e w all’uscita y per

il sistema descritto dal seguente schema a blocchi: W

G (s)

3

G (s)

1

U Y

G (s)

2

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 5 - 7

Traccia delle soluzioni

Esercizio 5.1

Risolvendo lo schema a blocchi si ottiene:

( ) ( ) ( )

Y s G s G s

( ) ( )

2 4

= +

G s G s

( ) ( ) ( )

1 3

+ +

U s 1 G s 1 G s

2 4

Esercizio 5.2

Risolvendo lo schema a blocchi si ottiene:

( ) ( ) ( )

+

G s G s G s

( ) ( ) ( )

1 2 3

= +

Y s U s W s

( ) ( ) ( ) ( )

+ + + +

G s G s G s G s

1 1

1 2 1 2

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 5 - 8

Diagrammi di Nyquist

• Diagramma di Nyquist (o polare): curva nel piano

complesso parametrizzata in :

!

• ImG(j!) in funzione di ReG(j!))

0.1

0.08

0.06 G(j!1)

0.04 G(j!2)

Axis 0.02

Imaginary 0 TextEnd

-0.02

-0.04 G(j!4)

-0.06 G(j!3)

-0.08

-0.1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

Real Axis

Diagrammi di Nyquist

• Sono di particolare importanza nello studio della stabilita`

dei sistemi dinamici

• Si tracciano per valori di per il diagramma si

!"0, !#0

ottiene per simmetria rispetto all’asse reale (G(-j!)= G*(j!))

• Si possono costruire per via grafica a partire dalla forma

fattorizzata di G(j!)

• Non ci sono “regolette” generali come nel caso dei

diagrammi di Bode

• Si possono ricavare ImG(j!) e ReG(j!) da G(j!) e si

possono valutare in regioni di interesse

• Ci si aiuta con i diagrammi di Bode

Diagrammi di Nyquist

s 1 s

• Esempio: G(s) = =

(s 1)(s 2) 2 (1 s)(1 s / 2)

+ + + +

j j

! !

G( j )

! = = 2

( j j 2) 3 j 2

! ! "! !

+1)( + + +

j (" j 1)(" j 2)

! ! !

+ +

= ( j j 2) (" j 1)(" j 2)

! ! ! !

+1)( + + +

2 2 2

j ("! 3 j 2) 3 j (2 )

! ! ! ! !

" + + "

= =

2 2 2 2

( 1)( 4) ( 1)( 4)

! ! ! !

+ + + +

• KB=1/2 |KB|dB=-6dB

$

• 1=1, 2=1/2 punti di spezzamento 1/%

1=1, 1/%

2=2

% % $ Diagrammi di Nyquist

• Diagrammi di Bode:

0

-6

-10

dB

Gain -20

-30 -1 0 1

10 10 2 10

Frequency (rad/sec)

90

deg

Phase 0

-90 -1 0 1

10 10 10

Frequency (rad/sec)

Diagrammi di Nyquist

• Informazione qualitativa:

• |G(j!)| presenta un massimo tra 1 e 2 rad/s; in

corrispondenza di tale massimo argG(j!) ! 0

• |G(j!)| 0 per 0 , +'

& ! & ! &

• argG(j!) e` una funzione monotona decrescente

• argG(j!) per 0

& (/2 ! &

• argG(j!) -(/2 per +'

& ! &

• Questo permette di capire il comportamento per !

“grandi” e “piccoli”

!

• Si puo` studiare analiticamente l’andamento per valori

particolari di ! Diagrammi di Nyquist

• Andamento in punti notevoli:

2 2

3 (2 )

! ! !

"

G( j ) j

! = +

2 2 2 2

( 1)( 4) ( 1)( 4)

! ! ! !

+ + + +

j ) j$mG( j )

! !

= #eG( +

) = 0 =0

" "

!eG(j ) = 0 =0 = 2

" " "

#mG(j ±

1

j 2)

!eG( = 3

Diagrammi di Nyquist

Nyquist Diagrams

0.2

0.15

0.1

G(j0) G(j)2)

0.05

Axis

Imaginary 0

-0.05

-0.1

-0.15

-0.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Real Axis

Diagrammi di Nyquist

• Si puo` dimostrare che il diagramma di Nyquist e` una

circonferenza di centro 1/6 e raggio 1/6

• Il massimo di |G(j!)| si ottiene per != )2

• A meta` tra i due punti di spezzamento l’effetto della

presenza dello zero viene annullato da quello dei due poli

log1 log 2 log(1 2)

+ ! 1/ 2

x log 2 log 2

= = = =

M 2 2

• Per ImG(j!)=0, ReG(j!)>0 ArgG(j!)=0

!= )2, $

Diagrammi di Nyquist

• Sui diagrammi di Bode:

0

20log0.3 !-10dB

-6

-10

dB

Gain -20

-30 -1 0 1

10 10 2 10

Frequency (rad/sec) != )2

90

deg

Phase 0

-90 -1 0 1

10 10 10

Frequency (rad/sec) 0+

Comportamento per ! &

0+

• Comportamento per : per molto piccoli,

! & !

riferendosi alla forma di Bode di G(j!)

h h h

G( j ) ( j ) K j (K )

! ! !

" =

B B

• h: eccesso zeri/poli nell’origine

• h>0: G(j!) ! 0 per ! 0

!

• il diagramma di Nyquist parte dall’origine

• arg G(j!) ! h(/2 se KB>0

• arg G(j!) ! h(/2+( se KB<0 0+

Comportamento per ! &

0+

• h<0: G(j!) ! per !

!

'

• il diagramma di Nyquist parte dall’infinito

• arg G(j!) ! |h|(-(/2) se KB>0

• arg G(j!) ! |h|(-(/2) +( se KB<0

• Il diagramma puo` andare all’infinito con un asintoto

1

• Esempio: G(s) = s(s 1)

+ 1 j

"

G( j )

! = =

j ( j 1) ( j 1)

! ! ! !

+ +

j

! + "1 "1

j

= " = +

2 2 2

( 1) ( 1) ( 1)

! ! ! ! !

+ + +

0+

Comportamento per ! &

$1

lim j ) lim

!

#eG( = = $1

2

( 1)

! +

! !

"0 "0 $1

lim j ) lim

!

%mG( = = $&

2

( 1)

! ! +

! !

"0 "0

asintoto verticale passante per -1

0+

• h=0: G(j!) ! KB per !

!

• il diagramma di Nyquist parte da un punto dell’asse reale

• direzione di partenza: considero G’(s)=G(s)-KB (versione

traslata di G(s)) che ha h=1 e come prima ...

Comportamento per +'

! &

• Comportamento per +' : consideriamo due casi

! &

• m=deg(N(s))<n=deg(D(s)) (funzioni razionali strettamente

proprie). Per grandi

!

m m"1 K

s b s b 1

+ + +

m 0

"1

G( j ) K K 0

! = # #

1 1

n n"1 n"m

K

s a s a ( j )

!

+ + +

n 0

"1 s= j

! *

+ (n m) K 0

# # >

$ ' -

1 1

2

arg G( j ) arg K ,

! " =

& )

1 *

n#m

( j )

!

% ( - (n m) K 0

*

# # + <

1

. 2

Comportamento per +'

! &

• Proseguimento dell’esempio: 1 + +

% (

: arg G( j ) arg m)

! ! $+

" +# " ' $ * = = $2 = $(n $

2

& ) 2 2

!

% (

1 + + +

+

0 : arg G( j ) arg

! !

" " = $ = $1, = $h ,

' *

j 2 2 2

!

& )

Comportamento per +'

! &

1 Bode Diagrams

0 40

-1 !&+' 20

0

-2 -20

-40

-3

axis -60

-80

-4

imaginary -5 -100

-120 TextEnd

-6 -140

-7 -160

-180

-8 -2 -1 0 1 2

10 10 10 10 10

Frequency (rad/sec)

!&0+

-9

-10

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

real axis

Comportamento per +'

! &

• m=deg(N(s))=n=deg(D(s)) (funzioni razionali proprie non

strettamente). Per grandi

! m m$1 K

s b s b

+ + +

m$1 0

lim G( j ) lim K K

! = =

1 1

n n $1 K

s a s a

+ + +

! !

"# "# n$1 0 s j

!

=

• Il diagramma va a finire sull’asse reale

• direzione di arrivo: considero G”(s)=G(s)-K1 (versione

traslata di G(s)) che ha grado relativo >0 e come prima ....

Poli immaginari

• Presenza di poli nell’origine: diagramma “aperto”

• Poli immaginari puri (*=0): il diagramma di Nyquist va

all’infinito per valori finiti di !

• Esempio: 1 s

+

G(s) = 2

1 s / 2

+ 1 j 1

! !

+

G( j ) j

! = = +

2 2 2

1 / 2 1 / 2 1 /2

! "! "!

"

1

1 2 0

" # $

! = = = =

n

" ! Poli immaginari

• Diagrammi di Bode:

40

30

20

dB 10

Gain 0

-10

-20 -1 0 1

10 10 10

Frequency (rad/sec)

90

60

30

0

-30

-60

-90

-120

-150 -1 0 1

10 10 10

Poli immaginari

• Il diagramma di Nyquist va all’infinito per !&"2

1 "

x j ) y j )

" "

= !eG( = = $mG( =

2 2

1 / 2 1 / 2

" #"

#

$ '

y ! 2

lim lim (1 / 2) lim 2

! !

= # = =

& )

2

% (

x 1 / 2

!

#

2 2 2

!" ! !"

"

j ) 2 j )

" "

!mG( # $eG( pendenza

1

" 1

y 2 x 2

! = ! y 2 x

= !

2 2

1 / 2 1 /2

!" !" 2

2 2 1

"! ! 2

"#

= = !

#

2

1 / 2 1 / 2 2

!" "

+ intercetta

Poli immaginari

• Asintoto: 1

j ) 2 j )

" "

!mG( = #eG( $ 2

• Per G(j0)=1. Angolo di uscita dall’asse reale (caso

!=0

h=0): versione traslata 1 s s(1 s / 2)

+ "

G (s) G(s) K 1

! = " = " =

B 2 2

1 s / 2 1 s / 2

+ +

h=1, KB>0

$ $ (/2

• G(j!) 0 per Angolo di entrata: -(n-m)(/2=-(/2 (KB>0)

& ! & '. Poli immaginari

4

3 !&"2-

2

1

axis

imaginary 0 !=0

!&'

TextEnd

-1

-2

-3 !&"2+

-4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

real axis

Specifiche nel dominio della frequenza

• Caratterizzazione della risposta al gradino nel dominio del

tempo

• Permette di formulare delle specifiche di controllo in

termini di S, Tr,Ts,Ta

• Caratterizzazione della risposta armonica: si suppone che

il sistema abbia comportamento simile a quello di un

sistema del secondo ordine

• Pulsazione di risonanza r: pulsazione in cui si ha max

!

|G(j!)|

• Picco di risonanza Mr:|G(j! r)|/|G(j0)|

• Banda passante f=2(B: pulsazione in cui |G(j!)| e`

!

diminuito di 3dB rispetto a |G(j0)|

Specifiche nel dominio della frequenza

40

35

|G(j0)|d Mr

30

B 25

|G(j0)|dB 20

-3dB 15

10

5

0 -1 0 1

10 10 10

2(B=

! !

r f

Specifiche nel dominio della frequenza

• Correlazione tra specifiche nel dominio del tempo e

specifiche nel dominio della frequenza

• Relazioni approssimate

• Ts piccolo sistema “pronto” “passano” frequenze

$ $

elevate B elevata

$ TsB ! 0.4

• Sistema poco smorzato (* piccolo) S grande Mr

$ $

grande S ! (Mr/|G(0)|)-1

Specifiche nel dominio della frequenza

Step Response

40

35 30

30 Amplitude 20

25 TextEnd

20 10

15 0

10 0 5 10 15

-1 0 1

10 10 10 Time (sec.)

Step Response

30 25

25 20

Amplitude 15

20 10 TextEnd

15 5

0

10 0 1.4 2.8 4.2 5.6 7

-1 0 1

10 10 10 Time (sec.)

Lezione 7

Requisiti di un

sistema di controllo

Componenti di uno schema di controllo

Esaurita la trattazione dei sistemi dinamici, si torna ora al problema di controllo, che aveva

dato origine a tale studio. In figura è riportata la struttura tipica di un sistema di controllo in

retroazione: d d

A p

y° u y

m

C A S

c T d

T

Fig. 1 : Sistema di controllo completo di strumentazione

dove:

S: (o

sistema sotto controllo processo)

T: trasduttore

A: attuatore

C: (o

controllore regolatore)

Sistema sotto controllo

E’ l’oggetto dello studio delle precedenti lezioni. Su di esso si interviene attraverso la

variabile manipolabile m ed il suo comportamento è influenzato dal disturbo d . La sua uscita

p

è la variabile controllata y. Se il sistema è lineare, le sue proprietà dinamiche possono essere

1

espresse per mezzo di due funzioni di trasferimento :

(s).

y(s) = P(s) m(s) + H(s) d p

Trasduttore

E’ lo strumento che misura una grandezza fisica del sistema sotto controllo (la variabile

controllata y) e ne invia la misura c al controllore, in una forma compatibile con la sua

tecnologia. E’ generalmente caratterizzabile con due proprietà, precisione e ripetibilità.

Si può distinguere tra precisione statica (a transitorio esaurito il segnale che esprime la misura

della grandezza è proporzionale al valore assunto dalla grandezza stessa) e precisione

dinamica (velocità del transitorio con il quale lo strumento reagisce a variazioni nella

1 Indicheremo con lo stesso simbolo una variabile funzione del tempo e la sua trasformata di Laplace. Lez. 7 - 1

P. Rocco - Dispense di Automatica

grandezza misurata). La ripetibilità invece è la proprietà per cui il comportamento del

trasduttore, sia statico che dinamico, non varia nel tempo.

Se il comportamento dinamico del trasduttore è approssimabile a quello di un sistema

dinamico lineare, la relazione che intercorre tra le trasformate della grandezza controllata y e

della misura c è esprimibile per mezzo di una funzione di trasferimento e può essere affetta da

un disturbo:

c(s) = T(s) y(s) +d (s)

T

Se il trasduttore è ripetibile, T(s) non varia nel tempo. In tal caso è anche possibile individuare

un andamento desiderato della misura c°, elaborando con un sistema di funzione di

trasferimento T(s) l’andamento desiderato y°:

c°(s) = T(s) y°(s).

Attuatore

L’attuatore traduce l’azione di controllo elaborata dal controllore, ed espressa dalla variabile

di controllo u, in un’azione efficace sulla variabile manipolabile m. Ad esso è quindi di norma

associato uno stadio di amplificazione di potenza ed eventualmente di conversione di potenza

(si pensi ad un motore elettrico che converte potenza elettrica in potenza meccanica).

Anche per gli attuatori ipotizzeremo un comportamento dinamico lineare affetto da disturbo,

per cui: (s).

m(s) = A(s) u(s) +d A

Controllore

Il controllore riceve in ingresso la misura c della variabile controllata ed il relativo segnale di

riferimento c°. Dovendo rendere questi due segnali quanto più possibile simili, è naturale che

il controllore agisca sulla loro differenza, ossia sull’errore e = c° c. Ipotizzeremo che anche

c

il controllore abbia un comportamento dinamico lineare, per cui si avrà:

u(s) = R(s) e (s).

c

Alla luce delle precedenti considerazioni, siamo in grado di riformulare un problema di

controllo sulla base di uno schema a blocchi di sistemi dinamici lineari: Lez. 7 - 2

P. Rocco - Dispense di Automatica d

p H(s) d

A

y° c° e u m y

+ + + +

+

c

T(s) R(s) A(s) P(s)

− c T(s)

+ +

d T

Fig. 2 : Sistema di controllo lineare

Ipotizzeremo le funzioni di trasferimento P(s), H(s), T(s) e A(s) date, insieme con l’andamento

del segnale di riferimento y°. L’incognita del problema sarà la funzione di trasferimento R(s).

Lez. 7 - 3

P. Rocco - Dispense di Automatica

Formalizzazione del problema di controllo

Lo schema a blocchi di Fig. 2 può essere semplificato osservando che l’effetto dei due disturbi

d e d in linea di andata equivale all’effetto di un unico disturbo d riportato direttamente

p A

sull’uscita del processo:

d(s) = P(s) d (s) + H(s) d (s).

A p

Inoltre osserviamo che: [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

o o

= − = − − = − −

e s c s c s T s y s T s y s d s T s y s y s n s ,

c T

dove: −1

( ) ( ) ( )

= .

n s T s d s

T

Si ottiene quindi lo schema a blocchi riportato di seguito: d

y° u m y

+ + +

T(s) R(s) A(s) P(s)

− + +

n

Fig. 3 : Prima elaborazione del sistema di controllo

A questo punto, sfruttando la commutatività del prodotto tra funzioni di trasferimento, si può

ulteriormente semplificare lo schema a blocchi: d

y° y

+ + +

R(s) G(s)

− + +

n

Fig. 4 : Seconda elaborazione del sistema di controllo

con:

G(s) = T(s) P(s) A(s).

Infine, una terza elaborazione porta al seguente schema: Lez. 7 - 4

P. Rocco - Dispense di Automatica d

y° y

+ + +

L(s)

− + +

n

Fig. 5 : Terza elaborazione del sistema di controllo

dove:

L(s) = R(s) G(s).

Si osservi che L(s) è la del sistema.

funzione di trasferimento d’anello

L’obiettivo ideale y y° non è realizzabile, a causa dei limiti connessi alla dinamica del

sistema sotto controllo, dell’attuatore e del trasduttore. Si definiscono allora una serie di

che il progetto del controllore dovrà soddisfare:

requisiti Il sistema in anello chiuso deve essere asintoticamente

Stabilità: stabile, altrimenti qualsiasi perturbazione agente in

qualsiasi punto dell’anello si amplificherebbe

indefinitamente.

A regime, a seguito di assegnate perturbazioni (a

Precisione statica: scalino, a rampa ecc.) degli ingressi, l’errore tra

riferimento e variabile controllata deve essere nullo,

oppure inferiore ad una soglia prefissata.

La variabile controllata deve inseguire le variazioni del

Precisione dinamica: riferimento, e reagire a perturbazioni sui disturbi, con

sufficiente rapidità, e senza manifestare comportamenti

oscillatori.

A causa dei limiti di funzionamento lineare degli

Intensità dell’azione di controllo: attuatori, oltre che per non danneggiare gli attuatori

stessi, occorre evitare che la variabile di controllo

subisca brusche variazioni o assuma valori eccessivi.

Lez. 7 - 5

P. Rocco - Dispense di Automatica

Fondamenti di Automatica 1

Lezione 8: Diagramma di Nyquist

• Regole per il tracciamento qualitativo

• Esercizi A.A. 2004/05

Fondamenti di Automatica 2

Diagrammi polari o di Nyquist

• ω −∞ ∞,

Diagramma polare fornisce, al variare di da a il

G(jω)

valore di nel piano complesso.

x: e[G(jω)]

- Asse y: m[G(jω)]

- Asse

• I diagrammi polari si possono facilmente dedurre dai

diagrammi di Bode. A.A. 2004/05

Fondamenti di Automatica 3

Regole per il tracciamento qualitativo dei

diagrammi di Nyquist (DN)

ω ∈

1. L’andamento del DN per (−∞, 0] può essere ottenuto da

ω ∈ ∞)

quello per [0, per simmetria rispetto all’asse reale:

• e[G(jω)]=e[G(−jω)]

• m[G(jω)]= −m[G(−jω)] ∼

G(jω)

ω → k

+ b

:

2. Comportamento per 0 = h

(jω)

 | < ∞), h

k (|k = 0

b b

G(jω) =  ∞, h> 0

• DN parte dall’asse reale per sistemi senza poli nell’origine

con fase: ◦ k >

0 0

b

◦ k <

180 0

b A.A. 2004/05

Fondamenti di Automatica 4

• ∞ h >

Parte dal punto all’ per sistemi con 0 poli

nell’origine; la fase di partenza è data da

 ◦ k >

−h90 0

b

∠G(jω) ∠k − h90

= =

lim b  ◦

−(h k <

+

ω→0 + 2)90 0

b

• h ∞

Caso = 1: il DN parte all’ parallelamente all’asse

e[G(jω)]

immaginario e tende ad un valore costante per

ω → +

0 b · · · b b

n

(jω) + + (jω) +

0 n−1 n

G(jω) = a · · · a a

n n−1 2

(jω) + (jω) + + (jω) + (jω)

1 n−2 n−1

ω → +

per 0 jω(b

jω b jω a a − b a

(b + )(a + ) )

∼ n−1 n n−2 n−1 n−1 n−1 n n−2

G(jω) =

= jω(a a ω jωa

2 2 2

2

+ )

n−1 n−2 n−1

b a − b a

∼ n−1 n−1 n n−2

e[G(jω)] < ∞

=⇒ = a

2

n−1 A.A. 2004/05

Fondamenti di Automatica 5

3. Comportamento alle alte frequenze

 0 sistema strettamente proprio

G(jω)

lim =  b

ω→∞ sistema biproprio

0 ◦

∠G(jω) ∠k − − nz − np nz

= 90 (np + )

lim b + +

ω→∞

◦ e ≤

• np: n di poli con 0

• nz: n e ≤

di zeri on 0

• np n e >

: di poli con 0

+ ◦

• nz n e >

: di zeri on 0

+ A.A. 2004/05

Fondamenti di Automatica 6

Esercizio 1 k k > τ >

G(s) 0, 0

= s sτ

(1 + )

Poli: s s − 1

= 0, = τ

ω → 0 si ha un asintoto −jk(1 − jωτ

k )

G(jω) =

= jω(1 jωτ ω(1 jωτ − jωτ

+ ) + )(1 )

−→ −kτ

e[G(jω)] − kτ

= +

ω→0

1+ωτ

m[G(jω)] −→ −∞

+

ω→0 A.A. 2004/05

Fondamenti di Automatica 7

Esercizio 1 Nyquist Diagram

Bode Diagram 200

80

60 150

40 −20 dB/dec

(dB) 20 100

Magnitude 0 50

−40 dB/dec

−20 Axis

−40 Imaginary 0

−60

−90 −50

−45 deg/dec

(deg) −100

−135

Phase −150

1/τ −200

−180 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

Frequency (rad/sec) Real Axis A.A. 2004/05

Fondamenti di Automatica 8

Esercizio 2 k k > τ >

G(s) 0, 0

= s sτ

2 (1 + )

Poli: s s − 1

= 0 doppi, = τ ◦

• ω → ∞ |G(jω)| → ∠G(jω) → −270

si ha 0 and

• ω → +

0 si ha e[G(jω)] −→ −∞

m[G(jω)] −→ ∞ A.A. 2004/05

Fondamenti di Automatica 9

Esercizio 2 Nyquist Diagram

Bode Diagram 200

150

120 −40 dB/dec

100 150

80

(dB) 100

40

Magnitude 0 −60 dB/dec 50

Axis

−40 Imaginary 0

−80

−100

−180 −50

(deg) −45 deg/dec −100

−225

Phase −150

1/τ −200

−270 x −2500 −2000 −1500 −1000 −500 0

Frequency (rad/sec) Real Axis A.A. 2004/05

Fondamenti di Automatica 10

Esercizio 3 k(1 τ s)

+ z k > τ

G(s) > τ >

0,

= 0

z p

s sτ

(1 + )

p

Poli: s s − 1

= 0, = τ p

Zeri: s − 1

= τ z ◦

• ω → ∞ |G(jω)| → ∠G(jω) → −90

si ha 0 and

• ω → +

0 si ha − τ

e[G(jω)] −→ k(τ )

z p

m[G(jω)] −→ −∞ A.A. 2004/05

Fondamenti di Automatica 11

Esercizio 3

Bode Diagram Nyquist Diagram

100 300

80

(dB) 60 200

Magnitude 40 100

20 Axis

0 Imaginary 0

−20

−30

−45 −100

(deg) −60

Phase −200

−75 1/τ

1/τ p

z

−90 x

0 −300

−3 −2 −1 0 1 2

10 10 10 10 10 10 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Frequency (rad/sec) Real Axis

k τ τ

= 2, = 10, = 1

z p A.A. 2004/05

Fondamenti di Automatica 12

Esercizio 4

s s)

+1 0.1(1 +

F orma di bode

G(s) = =

2 2

(s + 2)(s + 4s + 5) (1 + 0.5s)(1 + 0.8s + 0.25s )

k =0.1

b

Zero reale: s −1 τ

= per = 1

z

Polo reale: s −2 τ

= per = 0.5

√ √

p

Poli complessi: ω δ

= 5, = 0.4 5

n ◦

• ω → ∞ |G(jω)| → ∠G(jω) → −180

si ha 0 and

• ω = 0 si ha |G(j0)| = 20 log 0.1

dB 10

∠G(j0) = 0 A.A. 2004/05

Fondamenti di Automatica 13

Esercizio 4

Bode Diagram

0 dB/dec

0 Nyquist Diagram

0.2

+20 dB/dec

−10

−20 −40 dB/dec 0.15

(dB) −30

Magnitude −40 0.1

−50

−60 0.05

Axis

−70 o x x Imaginary

−80

45 0

+45 deg/dec 0 deg/dec

0 −0.05

(deg) −45 −90 deg/dec

Phase −0.1

−90 −135 deg/dec

−135 −0.15

τ −1 −90 deg/dec

p x

o

−180 x ω

−1 0 1 2

10 10 10 10 −0.2

−1

−1

n

ω

τ ω

−1 τ

τ

0.1

0.1 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

10

−1

τ 10

τ n n

10

Frequency (rad/sec)

p

−1 p

z

0.1 z

z Real Axis A.A. 2004/05

Fondamenti di Automatica 14

Esercizio 5

s −0.0625(1 s

2 2

+

+ 1 )

F orma di bode

G(s) = =

− −

(s 2)(s + 2)(s + 4) (1 + 0.25s)(1 + 0.5s)(1 0.5s)

k =-0.0625

b

Zeri immaginari: s ±j, ω δ

= = 1 e = 0

n n

z z

Polo stabile τ = 0.5 per 1/τ = 2

1 1

Polo stabile τ = 0.25 per 1/τ = 4

2 2

Polo instabile: τ = 0.5 per 1/τ = 2

3 3 ◦

• ω → ∞ |G(jω)| → ∠G(jω) → −90

si ha 0 and

• ω = 0 si ha |G(j0)| = 20 log 0.0625

dB 10

∠G(j0) −180

= A.A. 2004/05

Fondamenti di Automatica 15

Esercizio 5

Bode Diagram

0 Nyquist Diagram

0 dB/dec

+40 dB/dec 0.2

−20 −20 dB/dec

−40 0.15

(dB) −60

−80

Magnitude −100 0.1

−120

−140 0.05

Axis

−160 Imaginary

−180

0 0

−45 deg/dec

−45 −0.05

(deg) −90

Phase −0.1

−135

−180 −0.15

−45 deg/dec

−225 x

0 x

−2 −1 0 1 2

10 10 10 10 10 −0.2

ω n −1 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

−1

τ τ

Frequency (rad/sec)

z 1 2 Real Axis A.A. 2004/05

Fondamenti di Automatica 16

Esercizio 6 2

s s s

2 1 + +

8(s + + 15) F orma di Bode

G(s) 15 15

= =

s 3 2

3 2 s 3s s

+ 9s + 15s + 120 + + + 1

120 40 8

K =1

B ∼ ∼

δ

Zeri complessi: ω 3.873 e 0.129

= =

n n

z z

∼ ∼

Polo stabile: τ 0.113 per 1/τ 8.839

= =

p p

∼ ∼

Poli complessi: ω δ

3.685 e 0.022

= =

n n

p p ◦

• ω → ∞ |G(jω)| → ∠G(jω) → −90

si ha 0 and

• ω = 0 si ha |G(j0)| = 20 log 1

dB 10

∠G(j0) = 0 A.A. 2004/05

Fondamenti di Automatica 17

Esercizio 6

Bode Diagram Nyquist Diagram

20 5

10 4

(dB) 0 3

Magnitude −10 2

−20 1

Axis

−30 Imaginary 0

−40

90

45 −1

(deg) 0 −2

Phase −45 −3

−90 ω −4

1/τ

n p

p x x

−135 o

−1 0 1 2 3

10 10 10 10 10

ω −5

−1 0 1 2 3 4 5

Frequency (rad/sec)

n

z Real Axis A.A. 2004/05

Lezione 9

Prestazioni dinamiche dei

sistemi di controllo


PAGINE

189

PESO

1.73 MB

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Esame: Automazione
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2008-2009

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Novadelia di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Automazione e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Tor Vergata - Uniroma2 o del prof Capobianco Alessandra.

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