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Analisi del testo

L'equazione fornita è:

L = - = = 0 0 0y lim s y lim s sY s y lim s Y s lim ( )( )+ + → ∞ → ∞ → ∞ → 1 sT 1 sTs s s s 1 22µ µ[ ]( ) [ ][ ] s( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 3L = - = = = > y 0 lim s y lim s s Y s y 0 lim s Y s lim 0( )( )+ + T T→ ∞ → ∞ → ∞ → sT sT1 1s s s s 1 21 2

Mentre in base al teorema del valore finale:

µ[ ]( ) ( )∞ = = = µy lim sY s lim .( )( )+ + → → 1 sT 1 sTs 0 s 0 1 2

La risposta parte quindi da zero, con tangente orizzontale e concavità rivolta verso l'alto.µ. Tende poi al valore L.

L'antitrasformata si può ottenere con il metodo di Heaviside:

T T− −( ) 1 2t T t T= µ − + ≥ y t 1 e e , t 0 .1 2− − T T T T1 2 1 2

L'andamento tipico è a forma di "S".

Fig. 13 : Risposta allo scalino

La durata del

transitorio può essere facilmente legata alle due costanti di tempo T e T solo se i due valori sono molto diversi tra loro: in tal caso, infatti, conta solo il valore della costante di tempo più grande. Se, ad esempio T >> T, allora:

[ ]−( ) t T≈ µ − ≥y t 1 e , t 0 .1 yµ transitorio veloce dovuto a T 2T t1

Fig. 14 : Risposta allo scalino con T >> T1 2

Sistemi con poli reali e uno zero+ τ1 s( ) µ=G s .( )( )+ +1 sT 1 sT1 2

Assumiamo T e T positivi, ossia il sistema asintoticamente stabile.1 2

La trasformata di Laplace della risposta allo scalino è data da:

+ τ1 s( ) = µY s .( )( )+ +s 1 sT 1 sT1 2

In base al teorema del valore iniziale, otteniamo:

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 9

 τ+1 s[ ]( ) ( )  == = µy 0 lim sY s lim 0( )( )+ + →∞ →∞ 1 sT 1 sTs s 1 2  τ µτ+[ ][ ] [ ] 1 s( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2L  == = − = =

2µω[ ][ ] [ ] s( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) n 2L= = − = = =y 0 lim s y lim s sY s y 0 lim s Y s lim 02 2+ ζω + ω→∞ →∞ →∞ →∞ s 2 ss s s s n n2 2µω[ ]( ) [ ][ ] s( )( ) ( ) ( ) ( ) n 2 3 2L= = − = = = µω >y 0 lim s y lim s s Y s y 0 lim s Y s lim 0n2 2+ ζω + ω→∞ →∞ →∞ →∞ s 2 ss s s s n nζ>0,mentre, per in base al teorema del valore finale:2µω[ ]( ) ( ) n∞ = = = µy lim sY s lim .2 2+ ζω + ω→ → s 2 ss 0 s 0 n nL’espressione analitica della risposta allo scalino, ottenibile per antitrasformazione, è laseguente:P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 11 ( )1 − ζω( )  t 2= µ − ω − ζ + α ,y t 1 e sin 1 tn n 2− ζ 1ζ =dove cos(α).ζ=0,Per si ha:[ ]( )( )

= µ − ω1 cosy t tn ωossia una cosinusoide di pulsazione :n T = 2π/ωy n2µ tζ

Fig. 18 : Risposta allo scalino per =0ζ≠0,

Per la risposta ha l’andamento di una sinusoide inviluppata da due esponenzialiζ>0, ζ<0).(convergenti nel caso asintoticamente stabile, divergenti nel caso instabile,

y2µ −ζω tµ(1+e )n *y T = 2π/ωM nµ −ζω tµ(1−e )n tζ ω ω ζ* 2= −

Fig. 19 : Risposta allo scalino per >0 ( )1n n

Si può dimostrare che, nel caso asintoticamente stabile, la sovraelongazione percentualemassima, ossia il rapporto percentuale tra l’escursione del primo picco della risposta rispettoal valore di regime ed il valore di regime stesso, dipende esclusivamente dal fattore diζ:smorzamento

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 12ζπ−− µy 2−ζM 1= =S 100 100eE µ 100S E

9080706050403020100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1&zeta;Fig. 19 : Sovraelongazione percentuale massima rispetto al fattore di smorzamento

Per fare in modo che la sovraelongazione percentuale massima sia inferiore ad un valore assegnato, occorrerà quindi che i poli del sistema appartengano ad un determinato settore del semipiano sinistro del piano complesso (come quello tratteggiato in figura):

Im ReFig. 20 : Settore del piano complesso per limitare la sovraelongazione

Il tempo di assestamento può invece essere determinato con buona approssimazione (per tempo di assestamento eccesso) facendo riferimento anziché alla risposta ad uno dei suoi inviluppi. Volendo quindi calcolare ad esempio il tempo di assestamento al 99% (T ) , si imporrà:

a1( )− ζω − ζωT Tµ − = µ ⇒ = ⇒ ζω =1 1n a n a1 e 0.99 e 0.01 T ln 100n a1e quindi:

ln 100 4.6= ≈T .a1 ζω ζωn n

Il tempo di assestamento risulta quindi inversamente

proporzionale al modulo della partePer limitare il tempo di assestamento occorrerà quindi che i poli del sistemareale dei poli. ζωsiano caratterizzati da un prodotto sufficientemente grande, ossia che appartengano ad unnP. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 13semipiano incluso nel semipiano sinistro del piano complesso sufficientemente lontanodall’asse immaginario (come quello tratteggiato in figura):

Im ReFig. 21 : Semipiano del piano complesso per limitare il tempo di assestamentoVolendo contenere sia la sovraelongazione sia il tempo di assestamento, i poli della funzionedi trasferimento dovranno trovarsi in una regione del piano complesso intersezione delle dueregioni tratteggiate nelle precedenti figure.

P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 14EserciziEsercizio 4.1Si tracci l’andamento qualitativo della risposta allo scalino del sistema descritto dallaseguente funzione di trasferimento:4( ) =G s +s 2Esercizio 4.2Si tracci l’andamento

qualitativo della risposta allo scalino del sistema descritto dallaseguente funzione di trasferimento:−1 0.5s( ) =G s +1 s

Esercizio 4.3Si tracci l’andamento qualitativo della risposta allo scalino del sistema descritto dallaseguente funzione di trasferimento:10( ) =G s ( )( )+ +1 s 1 0.1s

Esercizio 4.4Si tracci l’andamento qualitativo della risposta allo scalino del sistema descritto dallaseguente funzione di trasferimento:18( ) =G s 2 +s 9P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 15Traccia delle soluzioni

Esercizio 4.1G(s) è della forma:µ( ) =G s +1 sTµ = 2,con T = 0.5. Pertanto: 32.5 T21.5y 10.50 0 1 2 3 4 5t (s)

Esercizio 4.2G(s) è della forma:+ τ1 s( ) = µG s +1 sTµ = 1, τ −0.5.con T = 1, = Pertanto:1.5 T10.5y 0-0.5-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8t (s)P. Rocco - Dispense di Automatica Lez. 4 - 1