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Processi Stocastici
Serie Storica
Collezione di osservazioni {xt, t=1,...,n} riferite ad un certo fenomeno Xt, raccolte nel tempo e indicizzate rispetto ad un parametro t∈Z.
- Gran parte dei fenomeni economici si evolvono in maniera regolare nel tempo, ragionevole credere che l'osservazione al tempo t sia più simile all'osservazione al tempo t-1 piuttosto che a quella riferita a tempi più remoti.
- Hanno memoria del proprio passato e manifestano un certo grado di persistenza.
Processo Stocastico
→ Spazio parametrico T, Spazio probabilità (Ω, BΩ, P)
- Il processo stocastico X(ω,t,t) è funzione finita, a valori reali e misurabili in W∈Ω.
- Fissato ω si ha funzione reale X(ω,t)-X(ω(t)) che costituisce una realizzazione del processo stocastico viene visto come una famiglia di variabili casuali
- Realizzazione X(t) e W viene soppresso.
DUALISMO FRA SERIE STORICA E PROCESSO STOCASTICO
PROCESSO STOCASTICO
- MECCANISMO DI GENERAZIONE DI NUMERI DI NATURA CASUALE
SERIE STORICA => CONSIDERATA COME PARTE FINITA DI UNA SEQUENZA NUMERICA GENERATA DAL PROCESSO. ANALISI SERIE STORICA CONDURRA’ ALL’INDIVIDUAZIONE DEL PROCESSO STOCASTICO GENERATORE DELLA SERIE, E LA RICERCA DEL PROCESSO AVVIENE SULLA BASE DI UN INSIEME FINITO DI REALIZZAZIONI, LA SERIE STORICA, DOVE L'ESIMA COMPONENTE Xt E’ L’UNICA REALIZZAZIONE DELLA VARIABILE CASUALE Xt.
PROCESSI STOCASTICI
-> 4 CATEGORIE
- PROCESSI STOCASTICI DISCRETI A PARAMETRO DISCRETO
- t ed -> DISCRETI, FINITI o NUMERABILI E POSSONO ESSERE FATTI CORRISPONDERE CON GLI INSIEMI t = tE = 0, 1,… e ω = ω0, ω1, ---
- PROCESSI STOCASTICI DISCRETI A PARAMETRO CONTINUO
- t PUÒ ESSERE MESSO IN CORRISPONDENZA DI UN INSIEME CONTINUO t = t a ≤ t < b
- PROCESSI STOCASTICI CONTINUI A PARAMETRO DISCRETO
- t DISCRETO
- PROCESSI STOCASTICI CONTINUI A PARAMETRO CONTINUO
- t e ω CONTINUI
- X (t, ω) DEFINISCE UNA VARIABILE CASUALE CONTINUA PER QUALSIASI t e t
FUNZIONE AUTOCOVARIANZA
(k)
SE (k) È FUNZIONE DI AUTOCOVARIANZA DI UN PROCESSO STOCASTICO STAZIONARIO IN SENSO LATO (k) = (-k)
FUNZIONE PARI RISPETTO AI RITARDI k OVVERO RISPETTA LA PROPRIETA'
(k) = (-k)
(k) = cov(t, t+k) = [t t+k]
= [t t-k] = (-k)
FUNZIONE AUTOCORRELAZIONE
(k)
(t) = (t-k) = ²(0)
(t, t-k) = (k)
UNA MISURA DELLA STRUTTURA INTERNA DEL PROCESSO STAZIONARIO
È DEFINITA COME IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE TRA LE VARIABILI CASUALI t e t-k
() = [t−/ t-k−/]
= COV(t, t-k)/√((Xt) (t-k))
= (k)/²(0)
PROPRIETÀ
- (0) = (0)/(0) = 1
- (k) = (-)
- |(k)| ≤ 1
OPERATORE RITARDO
Bk xt = xt-k
k = -2, -1, 0, 1, 2
- COMMUTATIVO RISPETTO AL PRODOTTO
- B(B(xt)) = B2(B(xt))
- DISTRIBUTIVO RISPETTO ALLA SOMMA
- B(xt + yt) = B xt + B yt
- NON HA EFFETTO SULLE COSTANTI Bc = c, c∈R
OPERATORE DIFFERENZA
Δxt = (1 - B)xt = xt - xt-1
STAZIONARIETÀ E INVERTIBILITÀ
- NON TUTTI I PROCESSI STAZIONARI SONO INVERTIBILI E NON TUTTI I PROCESSI SONO STAZIONARI
- CONDIZIONE CHE GARANTISCE LA STAZIONARITÀ PER UN PROCESSO INVERTIBILE RICHIEDE CHE LE RADICI DELL'EQUAZIONE π(B) = 0 GIACCIONO FUORI DAL CERCHIO DELL'UNITÀ DEVE RISULTARE |π| > 1
- CONDIZIONE INVERTIBILITÀ PER UN PROCESSO CHE È SEMPRE STAZIONARIO, RICHIEDE CHE LE RADICI DELL'EQUAZIONE ϕ(B) = 0 SI TROVINO AL DI FUORI DEL CERCHIO DELL'UNITÀ DEVE RISULTARE |ϕ| > 1
PROCESSO MA
PROCESSO MEDIA MOBILE DI ORDINE qzt = at - θ1at-1 - θ2at-2 - ... - θqat-qθ(B)at
PROCESSO MA (1)
→ zt = at - θ1at-1
SOSTITUIAMO at-1 = zt-1 - θ1at-22zt = 2at - θ1(zt-1 + θ1at-2)zt = at - θ1zt-1 - θ12at-2 - ... - θ1n at-n
OPPUREat = zt + θ1zt-1 + θ12zt-2 + ...= ∑j=0∞ θ1j zt-j
QUESTA TRASFORMAZIONE NECESSITA DELLA PROPRIETÀ DELL'INVERTIBILITÀ CHE È VERIFICATA SE, SOLO IN QUESTO CASO ESISTE FUNZIONE h() TALE PER CUI POSSA SCRIVERE zt IN FUNZIONE DELLE VARIABILI CASUALI zt-1, zt-2
VARIANZA
VAr(zt - x(0)) = E(zt2) = E(at - θ1at-1)2 = E(at2 - 2θ1at - 1at+ (θ1at-1)2) = E(at2) - 2ρωE(at - 1at) + (θ1E(at-1)2) =σ22 + 0 + θ12σ2 = σ2(1 + θ2)
AUTOCOVARIANZA
E(ztzt-1) = E((at - θ1 at-1)(at-1 - θ1 at-2)) - δ(t),- E(θ1zt - 1) = - θ1σ2
AUTOCORRELAZIONE
P(1) = x(1) - θ1σ2σ2(1 + θ2) = - θ1---1 + θ2
Processo MA
caratterizzato → funzione autocorrelazione si annulla dopo il ritardo corrispondente all'ordine del processo
Funzione autocorrelazione parziale decresce verso lo zero con andamenti diversi che dipendono dall'ordine del processo e dal valore dei suoi parametri
Processo ARMA (p, q) → modello misto
Φ(B) zt + Θq(B) at
- Φ(B) = (1 - Φ1B - ... - ΦpBp)
- Θq(B) = (1 - Θ1B - ... - ΘqBq)
Affinché sia invertibile è necessario che le radici del polinomio Θq(B) = 0 giacciono fuori dal cerchio dell'unità
Per garantire stazionarietà si richiede che le radici del polinomio Φ(B) = 0 siano in valore assoluto maggiori di 1
ARMA (p, q) stazionari e invertibili →
- rappresentati in forma puramente autoregressiva
Π(B)zt = Φ(B)/Θq(B) zt = at
Secondo un modello a media mobile
zt - Ψ(B)at = Θq(B) at/Φ(B)
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