Serie storiche: appunti generali+ domande esame con risposte complete

SERIE STORICHE - PROCESSO STOCASTICO

Def. Un processo stocastico è una famiglia di variabili casuali indicizzate da tempo;

Indice che indica il tempo:

t fissato: _t è una variabile casuale

ω fissato: ^ω è una traiettoria o realizzazione

Serie Storiche: Singola realizzazione di un processo stocastico

Processo Stocastico → Traiettorie (serie storica) →Sezioni dove trattenute (v.c.) → Successione ordinata di v.c.

Utilizzeremo la nostra traiettoria per fare inferenza se il processo stocastico gode di:

1. Ergodicità → Riprodcucibili ed estensibili i risultati da una generica realizzazione al processo
2. Stazionarietà → Invarianza rispetto ad una traslazione arbitraria lungo l'asse dei tempi

Stazionarietà

{_t1, _t2, ..., _tm} → Insieme di v.c. dal processo stocastico _t, t = 0, ±t1, ±t2

• Il processo è stazionario se:

Funzione di ripartizione multidimensionale F[_t1, ..., _tm] = F[_t1+k, ..., _tm+k] ∀k ∈ ℕ (1)

• Stazionarietà in senso stretto: Se la condizione scritta sopra vale ∀m
• Troppo forte come condizione: impossibile da verificare

• Funzione media:

M_t = E[ Z_t ]

• Funzione varianza:

O²_t = E[ (Z_t - M_t)² ]

• Funzione di autocovarianza:

γ(t₁, t₂) = E[ (Z_t1 - M_t1) (Z_t2 - M_t2) ]

Covarianza fra due serie storiche

• Funzione di autocorrelazione:

ρ(t₁, t₂) = ^γ(t1,t2)/_{√( O²t1 O²t2)}

Correlazione fra due serie storiche

• Stazionario in senso debole: se tutti i suoi momenti congiunti

(stazionarità in congiunto) fino all'ordine m ≥ 3 sono invarianti rispetto a t₀

• Stazionario del secondo ordine se ha media e cov. costanti.

Oss.: la stazionarità in senso stretto implica la stazionarità in

senso debole se i momenti fino all'ordine 2 sono finiti

consegueto 1_{nel P.S}

| M_b = M

| E[Z²] < ∞, O²_t = O²

| ∀t

b) Siccome la stazionarietà in senso stretto implica (1)

γ(t₁, t₂) = γ(t_1+k, t_2+k) - ∀k

ρ(t₁, t₂) = ρ(t_1+k, t_2+k) = ρ_k

Questo vuol dire che un processo stazionario con i primi due momenti finiti ha autocon e autocor. che dipendono solo dall'intervallo di tempo k.

Oss.: Un processo stocastico è gaussiano se la distribuzione congiunta è normale ⇒ stazionarità forte = stazionarità debole

Funzione di autocorrelazione campionaria

K

• Per un processo gaussiano stazionario e per T grande la distribuzione approx a una ove appross.:
• Per i processi in cui , per K > m, approx. di Barlett
• E si ottiene il seguente S.E.

L'approssimazione di Barlett si usa a testare l'ipotesi che le autocorrelazioni siano nulle

• Per testare un processo white noise:

⟹ I software plottano le linee per I.C.; se l'istogramma esce vuol dire che è significativamente non nulla

Funzione di autocorrelazione parziale

• Si trova tramite metodo di Durbin (no determinanti) supponendo un processo sottostante white noise:

• Quindi metodo di verifica uguale a

AR(2)

AR(2): (1 - φ₁ B - φ₂ B²) z_t = a_t

z_t = φ₁ z_t-1 + φ₂ z_t-2 + a_t

• Invertibilità: AR(2) risulta sempre invertibile, è stazionario se:
• φ₂ + φ₁ < 1
• φ₂ - φ₁ < 1
• |φ₂| < 1

Momenti:

E[z_t] = 0

Var: γ₀ = φ₁ γ₁ + φ₂ γ₂ + σ_a²

Autocov: γ_k = φ₁ γ_k-1 + φ₂ γ_k-2

Autocorr: ρ_k = φ₁ ρ_k-1 + φ₂ ρ_k-2

• k = 1
• ρ₁ = φ₁ + φ₂ ρ₁ ⇒ ρ₁ = φ₁ / (1 - φ₂)
• k = 2
• ρ₂ = φ₁ ρ₁ + φ₂ ⇒ ρ₂ = (φ₁² + φ₂ - φ₂²) / (1 - φ₂)

Oss.:

• 1) Autocorrelazione decresce in maniera esponenziale per radici reali e in maniera sinusoïdale per radici complesse
• 2) Autocor. parziale si annulla dopo il 2^o lag.

• RAPPRESENTAZIONE DI UN MODELLO MA IN ARMA (p, q):

Z_t=ψ(B)a_t ψ(B)= (1-Θ₁B) / (1-φB) a_t

DA CUI NE RICAVO:

ψ_s = φ₁^s-1 (φ₁ - Θ₁)

• AUTOCORREZIONE & AUTOCOVARIANZA.
• —MOLTIPLICO IL MODELLO ARMA PER Z_t-k E CON IL VALORE ATTESO ARRIVIAMO A:

γ_k = φ₁γ_k-2 + E[Z_t-ka_t] - Θ₁E[Z_t-k-1a_t-1]

• k=0

γ₀ = φ₁γ₁ + σ₂² - Θ₁(φ₁ - Θ₁)σ₂²

• k=1

γ₁ = φ₁γ₀ - Θ₁σ_a²

DA CUI γ₀ = (1 + Θ₁² - 2φ₁Θ₁) / (1 - φ₁²) σ_a²

γ₁ = (φ₁ - Θ₁)(1 - φ₁Θ₁) / (1 - φ₁²) σ_a²

• k≥2

γ_k = φ₁γ_k-1

ρ_k =

• | (φ₁ - Θ₁)(1 - φ₁Θ₁) / σ₂ - 2φ₁Θ₁ k=1 — DIPENDE SIA DAIPARAMETRI AR CHE MA
• | φ₁ρ_k-1 k≥2

• AUTOCORRELAZIONE PARZIALE
• HA ANDAMENTO SMORZATO , MA NON CALCOLABILE IN QUANTO TROPPO COMPLETTO

VARIANZA E AUTOCOVARIANZA MODULI ARIMA

• UN PROCESSO STAZIONARIO IN MEDIA PUÒ NON ESSERE STAZIONARIO IN VARIANZA & CON.
• UN PROCESSO NON STAZIONARIO IN MEDIA È SICURAMENTE NON STAZIONARIO IN VARIANZA.

• CASO IMA (1,1) RIFERIMENTO t₀ PER t>t₀

Zₜ = Zₜ₀ + aₜ + (1-θ)aₜ₋₁ + … + (1-θ)a₀₊₁ - θa₀ₜ₀

Zₜ₋ₖ = Zₜ₀ + aₜ₋ₖ + (1-θ)aₜ₋ₖ₋₁ + … + (1-θ)a₀ₜ + θa₀ₜ₀

QUINDI:

Var (Zₜ) = [1 + (t-t₀-1)(1-θ)²] σₐ²

Var (Zₜ₋ₖ) = [1 + (t-t₀-ₖ-1)(1-θ)²] σₐ²

cov (Zₜ₋ₖ₊₁, Zₜ) = [1-θ + (t-t₀-ₖ-1)(1-θ)²] σₐ²

corr (Zₜ₋ₖ₊₁, Zₜ) = - cov (Zₜ₋ₖ₊₁, Zₜ) / √(Var (Zₜ₋ₖ) * Var (Zₜ))

OSSERVAZIONI:

• LA VARIANZA DEL PROCESSO ARIMA DIPENDE DA t E Var (Zₜ) ≠ Var (Zₜ₋ₖ) SE k≠0
• LA Var (Zₜ) È ILLIMITATA SE t → ∞
• COV E CORR DIPENDONO DA t - NON SONO INVARIANTI RISPETTO ALLA TRASLAZIONE SU t
• SE t₀ >> k , CORR (Zₜ₋ₖ₊₁, Zₜ) ≈ 1

-NEL CASO IN CUI LA NON STAZIONARIETÀ IN VARIANZA & COVARIANZA DIPENDA SOLO DALLA NON STAZIONARIETÀ IN MEDIA, POSSIMO RIFARCI AD UN MODELLO STAZIONARIO IN COVARIANZA CON LA DIFF. APPROPRIATA E DUNQUE DETERMINANDO L'ANDAMENTO DEL PROCESSO SULLA BASE DEI PARAMETRI AR₁ e MA φ₁ , θ e DUA VARIANZA DEL WHITE NOISE