Serie storiche: appunti generali+ domande esame con risposte complete

Serie storiche - Processo stocastico

Def. Un processo stocastico è una famiglia di variabili casuali indicizzate dal tempo, Z(t,ω).

Ω = Ε (spazio campionario).

T = Famiglia di indici fissato ➔ t̂ = T, z(t,ω) è una variabile casuale.

ω fissato ➔ ω̂ = Ω, z(t,ω) è una traiettoria o realizzazione.

Serie storiche: singola realizzazione di un processo stocastico.

Processo stocastico ➔ traiettorie (serie storiche) ➔ sezioni delle traiettorie (v.c) ➔ successione ordinata di v.c.

Utilizzeremo la nostra traiettoria per fare inferenza se il processo stocastico gode di:

• Ergodicità ➔ Riproduce ed estende i risultati da una generica realizzazione al processo.
• Stazionarietà ➔ Invarianza rispetto ad una traslazione arbitraria lungo l'asse dei tempi.

Stazionarietà

{Z_t1, Z_t2, …, Z_tm} ➔ insieme di v.c dal processo stocastico Z(t,ω): t=0,±t₂.

Il processo è stazionario se:

Funzione di ripartizione multidimensionale F(Z_t1, …, Z_tm) = F(Z_t1+k, …, Z_tm+k), ∀ k ∈ ℕ.

Stazionarietà in senso stretto: se la condizione scelta sopra vale ∀tm ➔ troppo forte come condizione, possibile da verificare.

Serie storiche - Processo stocastico

Def. Un processo stocastico è una famiglia di variabili casuali indicizzate dal tempo, Z_t(ω,∇) con ω ∈ Ω (spazio campionario), ∇ ∈ l'insieme degli indici.

t fissato ⇒ Z_t(−,∇) è una variabile casuale.

ω fissato ⇒ ωi ⇒ Z_t(∇) è una traiettoria o realizzazione.

Serie storiche: singola realizzazione di un processo stocastico.

Processo stocastico: traiettorie ⇒ sezioni delle traiettorie (serie storiche) ⇒ successione ordinata di variabili casuali.

Utilizzeremo la nostra traiettoria per fare inferenza se il processo stocastico gode di:

• Ergodicità ⇒ Riproducibilità ed esemplare i risultati da una generica realizzazione del processo.
• Stazionarietà ⇒ Invarianza rispetto ad una traslazione arbitraria lungo l'asse dei tempi.

Stazionarietà

{Z_t1, Z_t2,..., Z_tm} ⇒ insieme di v. c. dal processo stocastico Z_t(∇) con t: t=0,±1,±2, ...

Il processo è stazionario se: funzione di ripartizione multidimensionale F(Z_t1, Z_t2,..., Z_tm) = F(Z_tk1, ..., Z_tkm) ∫ k ∈ ℕ1.

Stazionarietà in senso stretto: se la condizione scelta sopra vale ∀m ⇥ troppo forte come condizione, possibile da verificare.

Funzioni del processo

Funzione media: M_t = E[Z_t].

Funzione varianza: σ²_t = E[Z_t - M_t]².

Funzione di autocovarianza: γ(t₁,t₂) = E[(Z_t1 - M_t1)(Z_t2 - M_t2)].

Covarianza fra due serie storiche.

Funzione di autocorrelazione: ρ(t₁,t₂) = γ(t₁,t₂)/(√σ²_t1σ²_t2).

Correlazione fra due serie storiche.

Stazionario in senso debole: se tutti i suoi momenti congiunti (stazionarità in congiunta) fino m’ordine m ≥ 2 sono invarianti rispetto a t₀.

Stazionario del secondo ordine se la media e cov. costanti.

Oss: la stazionarietà in senso stretto implica la stazionarietà in senso debole se i momenti fino all'ordine 2 sono finiti.

Nel P.s M_t = ME[Z_t²] σ²_t = O² ∀ t.

Poiché la stazionarietà in senso stretto implica γ(t₁,t₂) = γ(t₁+k,t₂+k) ∀ k.

ρ(t₁,t₂) = ρ(t₁+k,t₂+k) = ρ_k.

Questo vuol dire che un processo stazionario con i primi due momenti finiti ha autocon e autocar. che dipendono solo dall'intervallo di tempo k.

Oss: Un processo stocastico è gaussiano se la distribuzione congiunta è normale ⇒ stazionarità forte = stazionarità debole.

Le funzioni di autocovarianza e autocorrelazione

γ_k = cov (z_t, z_t+k) = E(z_t-μ)(z_t+k-μ).

ρ_k = ^γ_k/_γ0 dove γ₀ = Var(z_t) = Var(z_t+k).