Serie storiche: appunti generali+ domande esame con risposte complete

Serie Storiche - Processo Stocastico

Def. Un processo stocastico è una famiglia di variabili casuali indicizzate dal tempo, Z(t,ω)

• Ω = Ε (spazio campionario)
• T = Famiglia di indici

• t fissato ➔ t̂ = T z(t,ω) è una variabile casuale
• ω fissato ➔ ω̂ = Ω z(t,ω) è una traiettoria o realizzazione

• Serie Storiche: singola realizzazione di un processo stocastico
• Processo Stocastico ➔ traiettorie (serie storiche) ➔ sezioni delle traiettorie (v.c) ➔ successione ordinata di v.c

Utilizzeremo la nostra traiettoria per fare inferenza se il processo stocastico gode di:

1. Ergodicità ➔ riproduce ed estende i risultati da una generica realizzazione al processo
2. Stazionarietà ➔ invarianza rispetto ad una traslazione arbitraria lungo l'asse dei tempi

Stazionarietà

• {Z_t1, Z_t2, …, Z_tm} ➔ insieme di v.c dal processo stocastico Z(t,ω): t=0,±t₂

• Il processo è stazionario se:
• Funzione di ripartizione multidimensionale F(Z_t1, …, Z_tm) = F(Z_t1+k, …, Z_tm+k), ∀ k ∈ ℕ

Stazionarietà in senso stretto: se la condizione scelta sopra vale ∀tm ➔ troppo forte come condizione, possibile da verificare

SERIE STORICHE - PROCESSO STOCASTICO

Def. Un processo stocastico è una famiglia di variabili casuali indicizzate dal tempo, Z_t(ω,∇) con ω ∈ Ω (spazio campionario), ∇ ∈ l'insieme degli indici.

• t fissato ⇒ Z_t(−,∇) è una variabile casuale.
• ω fissato ⇒ ωi ⇒ Z_t(∇) è una traiettoria o realizzazione.
• Serie storiche: singola realizzazione di un processo stocastico.

Processo stocastico: traiettorie ⇒ sezioni delle traiettorie (serie storiche) ⇒ successione ordinata di variabili casuali.

Utilizzeremo la nostra traiettoria per fare inferenza se il processo stocastico gode di:

1. Ergodicità ⇒ riproducibilità ed esemplare i risultati da una generica realizzazione del processo.
2. Stazionarietà ⇒ invarianza rispetto ad una traslazione arbitraria lungo l'asse dei tempi.

Stazionarietà

• {Z_t1, Z_t2,..., Z_tm} ⇒ insieme di v. c. dal processo stocastico Z_t(∇) con t: t=0,±1,±2, ...

• Il processo è stazionario se: funzione di ripartizione multidimensionale F(Z_t1, Z_t2,..., Z_tm) = F(Z_tk1, ..., Z_tkm) ∫ k ∈ ℕ

1

• Stazionarietà in senso stretto: se la condizione scelta sopra vale ∀m ⇥ troppo forte come condizione, possibile da verificare.

• Funzione media:

  M_t = E[Z_t]

• Funzione varianza:

  σ²_t = E[Z_t - M_t]²

• Funzione di autocovarianza:

  γ(t₁,t₂) = E[(Z_t1 - M_t1)(Z_t2 - M_t2)]

  Covarianza fra due serie storiche

• Funzione di autocolrelazione:

  ρ(t₁,t₂) = γ(t₁,t₂)/(√σ²_t1σ²_t2)

  Correlazione fra due serie storiche

• Stazionario in senso debole: se tutti i suoi momenti congiunti(stazionarità in congiunta) fino m’ordine m ≥ 2 sono invarianti rispetto a t₀
• Stazionario del secondo ordine se la media e cov. costanti.

Oss: la stazionarietà in senso stretto implica la stazionarietà in senso debole se i momenti fino all'ordine 2 sono finiti

Nel P.s

• M_t = M
• E[Z_t²] < ∞
• σ²_t = O²
• ∀ t

Poiché la stazionareità in senso stretto implica

• γ(t₁,t₂) = γ(t₁+k,t₂+k) ∀ k
• ρ(t₁,t₂) = ρ(t₁+k,t₂+k) = ρ_k

Questo vuol dire che un processo stazionario con i primi due momenti finiti ha autocon e autocar. che dipendono solo dall'intervallo di tempo k.

Oss: Un processo stocastico è gaussiano se la distribuzione congiunta è normale ⇒ stazionarità forte = stazionarità debole

LE FUNZIONI DI AUTOCOVARIANZA E AUTOCORRELAZIONE

γ_k = cov (z_t, z_t+k) = E(z_t-μ)(z_t+k-μ)

ρ_k = ^γ_k/_γ0 dove γ₀ = Var(z_t) = Var(z_t+k