Appunti di Scienza delle costruzioni II

Metodo degli spostamenti

Sistema simmetrico caricato simmetricamente

Si impongono degli spostamenti o rotazioni in modo che le (v-3) relazioni iperstatiche soddisfino le (v-s) equazioni di equilibrio.

δ = parametro cinematico

x_i = incognite iperstatiche

Dall'equazione di congruenza:

x_i = E_iA_i δ_i

Sostituisco nella F = m / i ∑_i x_i = i ∑ x_i = m / i ∑_i E_i A_i δ_i / e_i.

Essendo i δ_i tutti uguali perché c'è un corpo rigido, si ha:

F = m / i ∑_i (E_i A_i / e_i) δ

K_i: rigidezza tirante i-esima

Si ricava: δ = F / ∑_i E_i A_i / e_i = F / ∑_i K_i = F / K

K = rigidezza totale

Noto δ si ricavano le relazioni:

x_i = E_i A_i / e_i K_i F / K K_i / K coefficiente di ripartizione

Sistema non simmetrico

m-2 volte iperstatico

δ, ψ = parametri cinematici

x_i = incognite iperstatiche

Equazione di congruenza:

δ_i = x_i e_i / E_i A_i = δ + ψ x_i

Equazione di equilibrio alla traslazione:

F = m / i ∑_i x_i

Equazione di equilibrio alla rotazione:

F d = m / i ∑_i x_i x_i

Sostituisco x_i = E_i A_i (δ + ψ x_i)

F = δ (∑ E_i A_i / e_i) + ψ (∑ e_i A_i x_i)

F d = δ (∑ E_i A_i x_i / e_i) + ψ (∑ e_i A_i x_i x_i)

Matrice di rigidezza

Metodo degli spostamenti. Si impongono degli spostamenti o rotazioni in modo che le (V-3) relazioni iperstatiche soddisfino le (V-3) equazioni di equilibrio.

Sistema simmetrico caricato simmetricamente:

δ = parametro cinematico

x_i = incognite iperstatiche

Dall’equazione di congruenza:

x_i = E_iA_i δ_i

Sostituisco nella F = F_m ≥ ∑_i E_iA_i δ

Essendo δ_i tutti uguali perché c’è un corpo rigido, si ha:

F = F_m≥ ∑( _i: A_i)

K_i = rigidezza trave i-esima

δ_{i i}

Si ricava: δ = F / ∑ Ei Ai / e_i = F / ∑K_i = F / K

K = rigidezza totale

Noto δ si ricavano le x_i:

x_i = Ei Ai_iδ ( F K / K )

Coefficiente di ripartizione

Sistema non simmetrico (m-2 volte iperstatico)

δ, ψ = parametri cinematici

x_i = incognite iperstatiche

Equazione di congruenza:

δ_i: x_i = δ + ψ x_i: Ei A i/f

Equazione di equilibrio alla traslazione:

F = m ∑ _i x_i A_i x_i

Equazione di equilibrio alla rotazione:

Sostituisco x_i = Ei Ai (δ_i + ψ x_i)

F= δ (≥ EiAi _i) + ψ (≤ EiAi _i)

F·d = δ (≤ EiAi _i) + ψ (≤ EiAi _i)

Sistemi di travi in parallelo

k = parametro cinematico

x_i = incognite iperstatiche

Equazione di congruenza:

ϕ_p; = x_i e_i = ϕ

Equazione di equilibrio:

m = Σ x_ix_i = m

Coefficiente di ripartizione a pressione

Telaio shear-type (traverso infinitamente rigido)

S = parametro cinematico

T_i = incognite iperstatiche

Equazione di congruenza:

S_i = T_i / e_i = S

Rigidezza al taglio:

T_i = F

Coefficiente di ripartizione a taglio

Questi sistemi erano tutti:

• Parallelo: In cui si sommano le rigidezze
• Collassa se tutti i componenti collassano
• Serie: In cui si sommano le cedevolezze
• Collasso a catena

Calcolo automatico dei telai

Si numerano i nodi (criterio di minima distanza), si definisce il sistema di riferimento locale per le travi. Si isolano le travi. Si impongono gli spostamenti generalizzati ai nodi e si calcolano le reazioni iperstatiche in ogni trave. Relazione matriciale fondamentale della trave i-esima.

Vettore incognite iperstatiche 6x1.

Matrice di rigidezza 6x6.

Vettore spostamenti.

Vettore forze nodi equivalenti.