Appunti di Scienza Delle Costruzioni

Continuo Matematico

F_e

dR_V = ∫f_VdVdR_Σ = ∫pdΩdMⁱ = 0

∫f_edV = ∫f_edΩ = 0

∬(p+O)∧FdV + ∬(p+O)∧F_edΩ = 0

dP = P_indΣ (dMⁱ = 0)

P_e = P_m - m

• P₀₁
• P₀₂
• P₀₃
• P₀₄

allora posso trovare qualsiasi superficie un delimitino di rupi con incline noto

dR² = p₁dc₁dR² = p₂dc₂dR³ = p₃dc₃

se “equilibrio” dR¹ + dR² + dR³ = 0 (vetto Chorali)p_m(dc₁) = p_i(dc₂) = p₃(dc₃) (ad eliminare)

dQ =

dQ = m1

dQ = m2

dQ = m3

p11 dQn = p11 dQn m1 + p12 dQn m2 + p13 dQn m3

p11 dQn m1 + p21 dQn m2 + p31 dQn m3 pmk = ∑_i=1³ p1k mif

pmk = p1k m1 + p2k m2 + p3k m3

eq. sul continuo

∫∫∫ F dv + ∫∫ pn dΩ = 0

∫∫∫ (R,O) F dv + ∫∫ (R-O) pn dΩ = 0

Cubico de fisica di stato cond la normale

Deriva G - Tau alfa

• P_x   G - P_a1 P_a2 P_a3 compiunta e ideA normale

Propelio lungo le 3 direzioni:

• P_a -> ₁ = P_1a α₁ + P_2a α₂ + P₃₁ x₃
• P_a2 -> ₂ = P_1a α₁ + P_2a α₂ - P₃₂ x₃
• P_a3 -> ₃ = P_1a α₁ + P₂₃ α₂ + P₃₃ α₃

Anguichuito α₁ α₂ α₃

• (P₁₁ − G) α₁ − P₁₂ α₂ − P₃₁ α₃ = 0
• P₂₂ α₁ − (P₂₂ − G) α₂ − P₃₂ α₃ = 0
• P₃₃ α₁ − P₂₃ α₂ − (P₃₃ − G) α₃ = 0

Sistema lineare omogeneo, ammette soluzioni banale + particulier (xi) altro e solo la particulaire.

Soluzione se determinante della matrice dei coefficienti dello scorpive delle esen. vuoto!

• det
• P₁ G^-1 P₂₁
• P₁₂ P₂ G_-1 P₃₂
• P₁₃ P₂₃ P₃₃ G^-1

→ − G³ (P₁₁ + P₂₂ + P₃₃) G² − L G + N = 0 (risoluzione!)

Ottengo:

→ − (I₁ =₁ G₁ G₂ G₃) G² − I₂ G + I₃ = 0

Invariante e odelgo (in dipende daccinoa abtionmale unui apolografiova)

• I₁ = G₁ + G₂ + G₃ (summe solucion)
• I₂ = G₁G₂ + G₂G₃ + G₃G₁ (prodotti solezi 2 a 2)
• I₃ = G₁G₂G₃ (prodotti soluzioni)

Per definische ino trato di equilibrio peseo le tre vie x, 3 improviamo e teto combinazione tensorplene computed le tensioni piremciple ai 3 angoli pi'Eulogro!

Stato di Deformazioni

Se nell'intorno di un punto ogni elemento di linea rimane invariate e ciò è valido per tutti i punti delsolido, allora il solido non si deforma, ma subisce una trasfor-

mazione rigida.

Calcoliamo la differenza dei lunghi tra ds₁ e ds₂

NUOVI ANCHE QUOTATO

ds₁ = (λ_i + 1) ds₀

ds₁² = da_i² + dx₁² + dx₂² + dx₃²

LAGRANGE

ds² = da₁² + da₂² + da₃²

(a₁)

I differenziali degli nuovi elementi sono molto piccoli (quelli nelle non), quindi si possono trascurare quelli di ordine superiore

LAGRANGE

a_i = a_i(x₁, x₂, x₃)

EULERO

X_i = X_i(a₁, a₂, a₃)

a_i = λ_i + λ_i(x₁, x₂, x₃)

da_i = Σ ∂ a_i / ∂ x_i dx_i

quadriando da_i² = dx₁² + 2 Σ ϒ a_i / ∂ dx_i (Σ ϒ dx d_x)

Quindi

_∂Sⁱm/∂y_j = ∑_k=1³ ∂λ^m_x/∂x_j α_xj

in generale

_∂λ^m/∂y_i = ∑_j,k=1³ ∂λ^m_x/∂x_j α_kij

essendo λ^m = ∑_e=1³ ∂e α_me sostituendo:

_∂Sⁱm/∂y_k = ∑_e=1³ ∂e α_me

→ TENSORE degli SPOSTAMENTI

(doppio e simmetrico)

Le componenti dello spostamento al variare dell s.d.r.

cambiano con le stesse regole con cui variano le componenti

degli altri.

Si possono trovare le dilatazioni principali, circoli di Mohr...

1. Scomposizione della matrice hessiana del vettore spostamento

Spostamento del punto P:

λ(P) = λ(Q) + dλ

λ(P) = λ(Q) + ∂λ/∂x₁ dx₂ + ∂λ/∂x₂ dx₃ + ∂λ/∂x₃ dx₁

- λ(Q) + ∑_i=1³(1/3) ∂λ/∂x dx_k

Poniamo: (uso sss e esim)

λⁱ(P) - λ_i(Q) ≈ ∑_k=1³ ∂ξ_i/∂x_k → δⁱ_k = Σ_ik + Ώ_ik

λⁱ() - λ_i() = ∫₁³ Ώ_x dx_x

- ∫₁³ Σⁱ_x dx_i = (Π_x () - λ_i() - ∫₁³ Ώ_x dx_i

- ∫₁³ (λ_xx ∩ λ_xt

Un materiale che non cambia con il S.d.R. è detto

isotropo

OSS: nei solidi elastici le "direzioni" principali di

sforzi e deformazioni coincidono.

• Siccome la matrice dei moduli elastici (a 9 incognite) è
• invariante (ossia non cambia al variare del S.d.R),
• essa è definita da solo due parametri: (legame elastico)
• Modulo di Young - Modulo elastico
• (tenta le intere dimensioni di uno sforzo)
• Coefficiente di Poisson (numero puro)
• Matrice _elasticità [C] - inverso dei moduli elastici [D]

Nel sistema di riferimento principale degli sforzi

• [P_i] -> 6^(assiali) [D_i] non cambia!
• Parte simmetrica
• Scorrimenti devono essere nulli
• Deformazioni
• Tensioni principali
• Prova: sforzo di trazione monodimensionale

OSSERVAZIONE

(Equasi di deformazioni scalari isoteroti isotropi)

{

• ε₁₁ = ¹/_E(P₁₁ - ^v/_mP₂₂ - ^v/_mP₃₃)
• ε₂₂ = ¹/_E(P₂₂ - ^v/_mP₁₁ - ^v/_mP₃₃)
• ε₃₃ = ¹/_E(P₃₃ - ^v/_mP₁₁ - ^v/_mP₂₂)
• ε₁₂ = ^P₁₂/_2G
• ε₂₃ = ^P₂₃/_2G
• ε₃₁ = ^P₃₁/_2G

Ottengo:

ε₁₁ + ε₂₂ + ε₃₃ = ^v/_Em(m-2)

INVARIANTE LINEARE DELLE DEFORMAZIONI

θ_i = ¹/_E(m-2)/_m

INVARIANTE LINEARE DEGLI SFORZI

I₁ = P₁₁ + P₂₂ + P₃₃

Considero il caso di pressione negativa (compressione)

P₁₁ = P₂₂ = P₃₃ = -q

Poiché I₁ = -3q ⇒ θ_i < 0

altrimenti si violerebbe il 2° principio della termodinamica

¹/_E(m-2)/_m deve essere POSITIVO, se e solo se: m > 2

• Lo stato di sforzo è definito su 6 componenti che sono legati
• Abbiamo 4 equazioni che legano le componenti di spostamenti
• Abbiamo inoltre 6 equazioni del legame sforzi deformazioni

45 EQUAZIONI ⇔ 45 INCROGITE