Appunti di psicometria

Misure di variabilità: curtosi e asimmetria

Curtosi: grado di piattezza della curva della densità delle frequenze rispetto alla curva normale (mediana=0). Più la ds è alta, più la curtosi è ampia (la curva è più piatta).

Asimmetria: grado di asimmetria della curva della densità delle frequenze rispetto alla curva normale. Mediana 0, deviazione standard (valore tra il punto di flesso della curva e la linea di simmetria centrale) 1: curva perfetta. I valori solitamente vanno da 0 a infinito, ma oltre il +4 o -4 sono poco frequenti (anomali).

Riepilogo vedi slides (impo!) in una distribuzione normale, media mediana e moda coincidono (0).

Come si riportano le informazioni statistiche descrittive?

Ci sono molti modi di riportare queste statistiche all'interno del contesto dell'articolo (o della tesi). La grafica dev'essere selezionata con cura per rappresentare accuratamente e fedelmente le informazioni che vogliamo riportare e comunicare.

l'unità di misura su cui sono misurati (i metri, i gradicentigradi e simili); non sono facili da interpretare se usano scale non conosciute (ad es. intervallo 6-36 oppure 30-180). Variabili diverse possono usare unità diverse (età, soddisfazione...) con metriche diverse (età -> 0-n; soddisfazione -> 0-10, ...) che possono cambiare da una cultura all'altra (kg o libbre, km o miglia, ...).

Fondandoci sui dati grezzi, dunque, non possiamo confrontare fra loro variabili diverse: un 25 in un test di abilità matematica (AM) è migliore o peggiore di un 55 in un test di abilità verbale (AV)? Dipende dalle relative scale: se AM ha un intervallo 1-30 e se AV un range 10-60, entrambi i punteggi sono abbastanza vicini al valore massimo (sono "massimo teorico").

Ma comunque, ciò significa che uno è "migliore" (maggiore) dell'altro? In termini assoluti, sì: 55 è

maggiore di 25; Ma in termini relativi?

M (media)

So di per certo che un punteggio è più basso dell'altro (25 < 55), ma non "quanto significa" che sia più basso rispetto all'altro, proprio perché non ho una gamma di oscillazione (max-min) che valga per entrambe le variabili (AM e AV).

Per capire la reale differenza tra due variabili, dunque, dovrei trovare una gamma di oscillazione che valga per entrambe, adoperando una specifica unità di misura per entrambe. Infatti, si possono confrontare tra loro due variabili diverse solo se queste hanno uguale unità di misura (la quale è un "metro" che permette di esprimere "lunghezze" diverse tramite qualcosa di comparabile e confrontabile).

Confrontare variabili diverse tra loro, dunque, non è possibile se non usando la stessa scala e lo stesso metro di misura; è come decidere se 3 banane sono più di 3 arance: si tratta di cose diverse, non

confrontabili a meno che siano trasformate in una stessa unità di misura. Ci si potrebbe chiedere, per ovviare il "3 banane pesano di più di 3 arance?" "3 banane problema, per esempio ohanno più vitamine di 3 arance?". In questo caso, i due oggetti sono confrontabili in quanto valutabili tramite uno stesso metro.

In statistica, si vorrebbe avere un' unica unità di misura che valga per qualsiasi tipo di variabile quantitativa (intervallo/rapporto), così da permetterne il confronto. Quale potrebbe essere questa unità di misura? (Sto cercando un' unità di misura che valga per entrambe le scale dell' esempio precedente (AM e AV), tale da permettere di esprimere nella stessa maniera i precedenti punteggi di 25 e 55 (così da confrontarli e capire quale è quello "migliore", "maggiore").

1. Sottraendo a tutti i punteggi della scala la media (Xi-M), ovvero utilizzando gli scarti dalla media,

Passiamo da una scala che va da 0 a 10 a una scala che va da -5 a +5. In questa nuova scala, la media è 0: abbiamo trasformato uno scarto assoluto in uno scarto relativo utilizzando come unità di misura la media. Utilizzando questa operazione con le due variabili dell'esempio (AM e AV), le medie delle due variabili considerate diventano entrambe 0, e così entrambe le variabili vengono espresse attorno al valore 0. Infatti:

Se faccio questa operazione mi baso su una trasformazione lineare che sfrutta una delle proprietà della media: se aggiungo o sottraggo una costante a una distribuzione, allora la media subisce la stessa trasformazione; per cui, se tolgo ad AM e AV la loro media, trasformo le due variabili in modo che abbiano entrambe M=0.

Adesso le due variabili hanno la stessa media (0), ma hanno ancora una varianza diversa: devo trovare un modo per "comprimere" le distribuzioni, così da ottenere che in entrambe il massimo e il minimo

mi dice quante deviazioni standard ci sono tra il punteggio considerato (Xi) della variabile e la media della stessa variabile. Seppur cambida distribuzione a distribuzione, dunque, DS mi permette di confrontare le due distribuzioni, in quanto mi dice quante DS ci sono tra la media e il punteggio X per ogni distribuzione (posso confrontare i punteggi di due variabili diverse, perché so quante ds ci sono tra quel punteggio e la media della variabile).

Proprietà dei punti z:

• Il punto z è una misura standard (come il metro); la trasformazione dei punteggi in punti z si dice anche "standardizzazione";
• La distribuzione dei punti z si dice "distribuzione standardizzata" perché è una delle tante possibili curve di frequenza, ma con M e DS conosciute a priori.
• La media dei punti z è 0, in quanto qualunque punteggio corrispondente alla media originale sarebbe a 0 scarti dalla media;
• La somma dei punti z è 0, in quanto i punti z sono

scarti dalla media(somma scarti dalla media =0) trasformati in modo uniforme;

La deviazione standard dei punti z è 1, perché la deviazione standard è l'unità di misura;

Valori negativi indicano punteggi inferiori alla media;

Valori positivi indicano punteggi superiori alla media.

Vi è poi una formula "inversa", che conoscendo media, ds e punto z permette di calcolare X (il punteggio, o punto, grezzo):

Basandoci su ciò, osserviamo che ci sono scale standardizzate utilizzate comunemente in psicologia (specie per i test) che derivano dai punti z:

- Punteggi T: hanno M=50 e DS= 10; si ottengono con T = 10z+50;

- Punteggi SAT: hanno M = 500 e DS = 100; si ottengono con SAT = 100z +500

- QI o IQ: la maggior parte dei test di intelligenza (es. WAIS) ha M =100 e DS= 15; si ottengono con QI = 15z + 100;

il test di intelligenza Stanford-Binet utilizza M=100 e DS=16; si ottengono con QI = 16z + 100.

DISTRIBUZIONE NORMALE E STANDARDIZZATA

La formula

percentuali sono invertite per Z = -1

La probabilità di trovare punteggi superiori a Z=3 o Z= -3 è minima; infatti:

In una curva normale oltre le 3 ds c'è poca probabilità che si possano trovare valori, ma ciò non è impossibile.

Per risalire dai punti z all'area corrispondente (se non c'è la possibilità di utilizzare la curva animata) si utilizzano le tavole della distribuzione normale.

Esistono delle tabelle che riportano il valore dell'area corrispondente a vari valori di z.

- Tavola Welkowitz

- Tavola Aron

- Tavola Field

Ci sono alcuni punti z particolari:

N.B. nell'ultimo punto non 91 ma 99.