Appunti di probabilità

Probabilità

Per definizioni

date

probabilità delle

parlare di evaporati

prima sanno

per cosa

( Un (

Def ) aleatorio ) ben

esperimento esperimento procedura

è sperimentale con

una

: un

definito di risultati esito

el

possibili prevedibile priori

è

insieme cui a

non

, (

Def Lo

( )

) finito infinito associato ad

r

spazio campione

campione

spazio : un

o

Farti dell'

di possibili

' risultati

i esperimento

' l insieme

esperimento e w

( A

dice

Def ) dir

Dato evento

si

evento spazio satoinsieno

R

campione

uno

: un

,

Un elementare

dato

risultato

che è evento

abbia

atento solo e

un

ultimo probabilità

dei

molto

quest' nella problemi di

utile Trattazione

sarà .

La singola di detta

è

esperimento

un

ripetizione prosa .

la

Di probabilità dote

particolare gli

si

Teoria

portante della

un sposi

per sono

di

risultati

i

presenti interesse

sono .

Per la classe finti

di

S gli eventi interesse

di

degli eventi intende

si

spazio .

funzione

P

La definire

probabilità degli ha

S valori

sullo eventi

è una spazio e in

[ ]

0,1 [ ]

P Aes PIA ) e 0,1

→

:

Ovvero legge

' che ad el

A ed che

evento 1

e tra

ogni un compreso 0 mismo

numero

assegna

una

di dell'

terrificati

al

incertezza stesso

evento

associato

grado .

Per hanno

la probabilità esistono

Trattare contro

che

approcci

3 pro e .

Approccio assiomatico

- frequentate

Approccio

- classico

Approccio

-

Quello livello el

soddisfacente

ritenuto basa

è

matematico assiomatico quale si su

più quello

a quelli

l'

el

Kolmogorov

che probabilità

i Definiamo assiomatico

3 di usando

di

sono approccio

concerto

assiomi .

(

Def Assegnato (

) S

Probabilità 6- di

ed di

eventi approfondito

: compiono si

campo ~

spazio )

dopo

~ un

uno

definisce funzione definire S soddisfare

probabilità negativi da

salari

P tale seguenti

reali i

una non

in a ,

,

Tre anioni

) P

/

I (

20 AES

A) )

negatività

di

assioma non

(

) P (

I ) di normalizzazione

=L )

assioma

r / :*

(

☒ -2

E) { / g) )

=P

Aina VI.

Se P

A S

ti An

allora

di " "

esclusivi

di #

eventi =

mutuamente

è

" ;

successione

una ,

" ,

=

( Assioma /

di additività

numerabile le

Oss In '

parole disgiunti

probabilità eventi

di due

ultimo si

ci

e dice che

assioma

poche

: sommano

PIANA /

A APA

esenti

due allora

Nel =P PIA

di /

t

A avremo A) )

= che

caso c +

e - ,

,

, ,

,

L' delle

intera discende

probabilità

Teoria da tramite

dimostreremo

Tali questi

assiomi e

ltnpottouti proprieta ' .

)

PIO

1) O

-

-

Per Pla

D ( )

Assioma

fato ) di Ehe

questo normalizzazione

che

ricordiamoci =L

provare

: e

=D

nn

Allora (

# ①

el -17101=1

Plm

) )

v0

assioma allora

r PIO

posso )

usare o

=

=

/ 1=1 )

A-

P PIA

a) ☒

- .

AUÀ

ANÀ =D

Dij : r

= .

,

/ )

Plm PIÀ

:P A) Ma

PIAUÀ allora

Pfn

) ) )

che =\

+ avrò

anche

: so

PIÀ )

(A) PIA

PIÀ

=P ) 1- )

1 + → = e .

Plauto Plant

) )

PIB

(A)

3) =P )

+ -

D : A

Prima grafico

modo

ragionano in l'

'

E ^^

MMMM

disegno '

faccio -

dal unione

ovvio che se blu

delle al

tolte

probabilità due

conto petto in

devo contributo B

cui saturare

per un

Possiamo di

alla matematica

prova tale proprietà

ora :

AUCÀRIB

AUB ) disgiunti

A BAÀ

questo

= in caso sono

e

Allora

PlAUlA_nbh-_PlAI-iPlA-nBIaB- @n .i i iEiP

/ PIBNÀI

=P

/ )

BAA

B) + PIRA

PIB A)

PIBAÀ )

) *

- -

In definitiva usando avrò

* * *

in

PINA )

P PIB

/ A) )

+ - ☐

5) EPIA

(B)

T' )

E

B A →

: mà

dai diagrammi Vena

BOATI di

A- di situazione

tale

= BUIARBT

A-

è Chiaro townland

Ora Quindi

Anpi

B disgiunti

sono

e PIANI

) PIAI

=P PLB)

/

PA B)

) a.

→

+

Perche PIA PIB )

) contributo

sarebbe

' più un El .

fini

Oss della del

solidità

Ai probabilistico

modello gli

utili

verifica molto

di

pratici sono

; la fare

deve

delle probabilità

I è

poiche

I somma 1

assegnate

assiomi sicuri

siamo non

che

' e

e

negativa al

mai Zero

è minimo .

,

6- campi : Una S

classe

Def :( ) dice

di eventi

campo ruota

: si <

non conto

( complemento )

el

chiusura

1) S A-

A S ripeto

E

€ o

- ( )

AUBES chiusure

2) all'

A. Bes → rispetto unione

In base proprietà

Tali seguenti

provare anche le

possiamo

a :

ges

si r ,

Dim : l'

S ÀES

elemento

contiene almeno 5

A- contiene A

reato ma

è '

e se campo

non e

e un

,

Sappiamo $

AUÀ S a- (

dare

S )

anche

inoltre che che

appartenere

ne è

re ma propr

se

= .

→

#

Prop ☐ .

(

A.

2) A

S chiusura

-5

B ABE rispetto ' )

e → minuziosa

e

À ÀUPÒES

ÀES

A.BE 5

ÀÙB facendo

Inoltre

Se allora al

5 allora c- anche

parte

anche suo

: , .

ÀUBES Auto

(

ANBES

usando Arts

negato è avrò

parte pe =

magari

ne ,

( 6-

Un S

Def 6 di soddisfa

) oltre proprietà

esenti ' che anche

campo campo 1

alle 2

e campo

un e

:

- ,

(

[ UE '

ES

{ chiusura

/ rispetto

3) e

S An unione

An )

numerabile

e o

- .

.

,

La distinzione il

Tra significativa infinito

due possibile

solo esenti

è di questo

'

concerti

i numero e

se e

Se

ha finito

infiniti ha

lo elementi

solo di elementi

campione

accadere

può un

~

spazio si

se numero

.

(

l' ) "

N possibili

allora 6-

2 '

parti sottoinsiemi

delle sarà che

quindi e campo campo

insieme sia un

sue un

Le { ) probabilità

forma

terme P di

al di

6- concerto

R spazio

campo

, ,

Un

Oss eremi disgiunti contiene

possibile

numerabili

di

insieme è

quindi

: sono e

sempre se

. problemi

ricondursi dei

Tali eventi la

semplici risoluzione

a per .

Esistono due probabilità

tipologie discreti

sposi

di

di continui

sposi spazi

: e

Sposi Sia { finita

)

discreti cardinalità

discuto

insieme

Wz

1 ovvero

W insieme

uno

Wu

=

: a

. . ,

.

. ,

. .

Allora l'

numerabile parti

8-

infinita di

scegliere delle

possiamo campo insieme

come r

o . .

( { inclusi }

=P

S tutti ~

di

) R

i

r sottoinsiemi e

- ,

Essendo al

finito infinito eventi

descrivibile di

numerabile numerabile

~ più

è unione

esso

o come

elementari { )

wi

U { )

A- noi

iera

Dove T-ac.IN

Quindi la probabilità sufficiente la

di A probabilità

qualunque

per è

evento assegnare

assegnare un ,

fui tali

fatto

) la

degli elementari (

=P di

stando al che

{ wi C- deve

probabilità

attenti

eventi r

p somma

.

. ,

1

essere [ A

Pltwi

Plm [

)

) ) ti se

÷

= = i

i = ,

= ,

Considerando le probabilità

allora

gli eventi equiparabili modo

assegnate

essere equo

possono in

È

=

f- =

Vediamo alcune concerti

dei esposi

applicazioni

Esercizio Gelli

1.9 :

(

P B)

G. 0,3

=

PIM B) 0,4

=

/

/

P almeno

A 1131=0,1

nessuno me

PL e)

almeno ?

1 =

B ma nessuno

VeoÈÌ

I gli

Termini elementari

di eventi esenti

poiché pochi

so

,

matrice

una

possiamo usare .

÷ La

: probabilità cercata '

:|

: e

. un

g [ ⑦ "

" °

"

" "

" cc

CB

CA

C t

b

PL PIBA PLBB

PIAB )

)

e) )

almeno +

+

=

1 B ma nessuno facciamo PCG

verificare

Dobbiamo step indietro B) 0,3

eventi

3 evento

questo

uno =

quei è un

, ,

,

che eventi

è di più

unione

/ PCCB

PIBB )

( )

P ) 0,3

=P +

B) AB =

-1

G.

(

P MB PCBC

) 0,4

PIBB

=P )

)

A) =

+

+ /

/

/ ) P PCBC )

(B)

=P

P 0,1

BB +

almeno +

A ) -

nessuno 113

me

e-

Proviamo dati colorato

i

rappresentare da codice

un

a

PG PCI )

PIE )

B) PIM B) =

= - =

- -

= -

, ,

☒ A C

B

f |

"

"

" P "

" ⇐ "

"

""

"

""

" ""

" " "

" " "

"

"

° "

⑧ Allora 0,3+0,4-0,1=06

PCI ) - .

- ⑦ cc

CA

C ,

K

Esercizio 1 IO

.

{ )

I 3

2

1 12

= eventi probabili

. . equi

.

. .

, ,

,

{ il

A- ?

dispari

'

e

numero

= il

{ }

B divisibile

è per 3

n u m e ro

= il )

divisibile

{

( 4

è

n u m e ro per

= ? (B)

P ?

(A) P

P (c) PIÀB

?

= P ( ?

) ?

C)

PCA

? '

AB

= = =

=

= ,

, ,

L' % allora

probabilità

A

evento 6

' eventi elementari

da sente

composto

e • ,

%

PIA -7 %

= % %

P(

b)

B elementari

da eventi quindi

è 4 =

composto =

, ÷

72

C è (c)

da P

elementari

composto -

eventi quindi

3 = _ .

,

L' AB Che

i

Tutti divisibili Tra

dispari

evento 3 1

sarebbero 12

numeri 2

sono

per e

f-

PIAB

quindi ) -

-

L' .PH

AC

evento 4

divisibili c)

è dispari

i

tanti

da =D

composto numeri ci

ma sono

per non

,

L' ÀB (

Enti

Sarebbero

evento 6

divisibili

i )

di 12

E

poi che sono

numeri > 3

per

non ,

PIÀB %

)

quindi = ,

Esercizio 1.11

=/ )

d- 28

Da •

Da

+ |

{ •

-8

B- Da

Da + - )

lanci

{ 6

almeno

[ due 00

= nei

un

F-

la

Schematizzare matrice

attraverso

situazione una ftp.i-pr ?

8l- Ig-P(D.-Dz- 8)- g5-g

Di

-É_

De

E

HA :

|

• o

' 7 %

/ E) =

÷÷÷

I = • "

d of | a

A 1 I

|

n -

12

Esercizio 1- :

dati

Avendo vediamo ottenere quali

quale 9

3 con 20 con

somma posso e .

① Non tiene le probabili

SS attraverso

equi potrei

: somme '

sono somme

poiche quelle più

ottenere

,

elementari

eterei . ) )

)

{ (

( 34

) 2441

/

( ) 235

(

136 2261

145

10 ,

= ,

,

,

,

{(1261/1351,44414225)/(23411/333)}

9 =

Ora le elementari

risultati

Triple descritte Tutti scambiando

ottenere

poiché

non posso quella somma

sono

l' dei questi

216

ad 621

Tripla

tale

ordine elementari

anche eventi

126

esempio

numeri sono

può essere

, , )

( particolare

6 in

sono

ne .

333 invece elementare

è .

In ho ! combinazioni

generale diversi 3

numeri

3

per .

Con favorevoli la di

9

che

è

questa somma

i

osservazione ovvio rispetto

per

casi meno

sono

la 10

somma .

Esercizio 1 13 :

.

(

P (

) # =/

/

* )

× proporzionalità

poiché parlato

= 1.43.4.56

abbiamo di ✗

Va Ti

Plpai )

Possiamo

di

il tale -

tosato veloce _

costante .

dove la

÷ finti

'

K

che di

ragionevolmente 21 i

somma

= e ×

numeri

pensare

Possiamo anche nel modo

ragionare seguente

[ l' normalizzazione

K 1 di

✗ = per assioma .

✗ =L 6- [ 6-1%11-1

(

Studiano 2k

Tale se µ

× →

×

serie =

. ✗ = , ✗ -

=/ 6

dei primi numeri

Somma .

K

te 21--2 → Sisto

= prima

come

. .

12

PIPAR +4%+6=1

[

:| ÷

= =

= .

Esercito 1.16 : Volendo

} le

112,314,5

{ Ci

ealentifieaae Cs

cifre

I avremo che

= con e

( la cifra

C

Caer

[ scegliere )

di stessa

nuoto

e

en - non posso

,

a .

È

( / )

P PCC

?

dispari dispari

Cs =

= ,

)

( ?

P Cz dispari =

PCC ) ?

ecz dispari =

, "

risultati " bruciata

I cifra

possibili 20 '

la

poiché

sono Totale prima e

in .

Nel cifra

escluso Combinazioni

carassi avuto 25

avrei

quella

Non

coro .

* 5

2 "

3

a [ ¥0

0 =3

PK

ix ) _

dispari -

, - i

✗ 0

0

O

2 Ò ( # %

× ①

o )

dispari

⇐

↳

s =

e =

0

X

0

4 O

s

Esercito divise

In fiori

francesi

1.17 di corte

52 quadri

: corte in cuori

sono picche

ci

mazzo e

un ,

. , .

( ?

A)

P A. =

questo Tutti

In valori molti

poiche

possibili '

contiene i

caso sono

non enumerare

Contiene astratto

ragionare in .

ÒSS la

significa

Estraggo simultaneamente Corte

che identico

prima prima

Ciò

: alla

può essere

non .

.

Questo risultati

che 51.52

abbiamo sperimentali

indica .

I favorevoli Prendendone

abbiamo Tipi di di

rimarranno

4 3-T.fi

4-

sono 3 ' . ne

uno

.eu

po assi .

definitiva

In . %

PCA.n-t.fi?s---- ,

Esercitino 1.19 :

P / ?

la )

Cz

> =

In (

esenti

questo elementari problema

) questo

individuare

possiamo 3 non

caso en .

&

Potrebbero Serifieaioi eventualità

seguenti - i

{

)

{

E Ec )

Calce E

Ce {

( 4=41

> =

= =

, >

a

Ed inoltre -

ora

Plea PIE

) 1=1

) PIE

+

+ , .

>

La ' situazione

nella

condizione poiché

simmetrica

troviamo

quale non

ci ho

una

e ,

PCC

enfaeneasionei simultanea

sulle =P

(

(a)

tale )

ora

corte estate >

in cicci

.

caso

in , .

;

Allora =P (

chiamata ( G)

=P Cicr )

avremo >

Cs

una equazione ✗

,

( ) fare /

Perché

2x

+

× di

deve &

+

× 1 normalizzazione

assioma )

- . | :

Causi : → ÷

"

:[ "

÷ "

( "

1-§_ .

allora

-

deviano (

rimarrebbero

1

)

P ✗ 3

essere per

uni

2 2

=

Cz 3

C f- ×

= = semi ) to t a l e 51

di

su

rimanenti carte

un