Appunti di Principi di ingegneria elettrica

PRINCIPI DI INGEGNERIA ELETTRICA – Prof. Mauri Marco – A.A.2012-13

APPUNTI DEL CORSO

PROF. MARCO MAURI

Per Ingegneria meccanica – A.A. 2012-13

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PRINCIPI DI INGEGNERIA ELETTRICA – Prof. Mauri Marco – A.A.2012-13

INDICE

C1 – Introduzione alle reti elettriche C4 – Sistemi trifase 48

02/10 1.0 Leggi dell’elettrotecnica. 3 30/10 4.0 Funzionamento delle reti

Leggi di Maxwell. trifase. 49

1.1 Sistema stazionario. 3 4.1 Collegamento delle

1. Generatori. 4 impedenze.

11 50

1. Utilizzatori. 5 4. Sistemi semplici.

12 12 50

09/10 1.2 Circuiti e reti semplici. 6 4. Sistemi complessi.

13 52

1.3 Leggi di Kirchhoff. 6 28/11 Esc Reti trifase.

1.4 Modalità serie e parallelo. 8 C5 – Transitori elettrici

10/10 Esc Reti semplici. Leggi di 10 56

06/11 5.0 Transitori elettrici.

Kirchhoff e collegamenti. 57

08/11 5.1 Soluzione del transitorio:

integrale generale.

C2 – Modalità di risoluzione delle reti 60

5.2 Riepilogo.

11/10 2.0 Teorema di Thevenin . 14 62

06/12 Esc Reti con il transitorio.

2.1 Teorema di Norton. 15 C6 – Circuiti Magnetici e trasformatori

2.2 Formula di Millman. 16

17/10 Esc Applicazione di Thevenin e 18 13/11 6.0 Bobine e magnetismo. 69

Norton. 15/11 6.1 Induttanza. 73

6.2 Energia magnetica. 74

6. Forza magnetica. 76

21

C3 – Sistemi in alternato sinusoidale e 6. Pressione magnetica. 76

22

potenze elettriche 27/11 6.3 Trasformatori ideali. 77

29/11 6.4 Trasformatori reali. 78

18/10 3.0 Grandezze in alternata. 27 6. Modello elettrico. 79

41

3.1 Risultati della trasformata di 28 04/12 6. Prove sul trasformatore e 81

42

Fuourier e Laplace. dati di targa.

3.2 Potenza in alternato 29 06/12 6.5 Trasformatore trifase. 82

sinusoidale. 12/12 Esc Circuiti magnetici. 85

3.3 Teorema di Tellegen e 30 13/12 Trasformatori. 89

corollario di Boucherot.

25/10 3.4 Rifasamento. 30 C7 – ESAMI

24/10 Esc Potenze e fasori. 32 91

15/01 Simulazione Esame 2013.

31/10 Reti con i fasori. 39 95

06/01 Esame 2012-2013.

07/11 Reti con Boucherot. 42

INFORMAZIONI

E-Mail prof: marco.mauri@polimi.it

Sito web: http://people.mecc.polimi.it/mauri/laboratorio/index.html

Libri di testo: Principi di Chimica – Peter Atkins, Loretta Jones

Chimica – Kotz, Treichel, Townsend

Modalità Prove in itinere: non previste

d’esame: Appelli: 3 (2 Febbraio – 2Settembre)

Orale facoltativo 1

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ACCORGIMENTI ATTENZIONE:

I presenti appunti non sono controllati da docenti o esercitatori e pertanto potrebbero

contenere errori di tipo concettuale o numerico. Lo scopo di questi appunti è semplicemente

di aiutare lo studente a capire metodi di risoluzione e di comprensione della materia nella

maniera più semplice e sintetica possibile. Si invita quindi, chiunque debba superare l’esame

della materia, ad integrare questi appunti con il libro di testo e di svolgere comunque uno

studio autonomo.

Le PROVE d’esame (NON le simulazioni) svolte dal sottoscritto sono corrette e comprensive

di punteggi.

I METODI DI RISOLUZIONE degli esercizi sono ideati personalmente.

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C.1 – INTRODUZIONE ALLE RETI

1.0 - INTRODUZIONE AI SISTEMI ELETTRICI

I sistemi elettrici così come quelli meccanici vengono progettati secondo criteri che tengono conto di

tutte le eventuali grandezze fisiche che possono in qualche modo ostacolare il funzionamento del

sistema stesso. Sono quindi indispensabili delle relazioni che ci portano a legare tutti i fenomeni senza

tralasciare alcun dettaglio.

Dal passato ciò che permette, per i sistemi elettrici, di relazionare il tutto sono le equazioni di Maxwell:

Legge di Gauss

Legge di Faraday

Legge di Gauss

Legge di Ampere

Tuttavia, pur dovendo considerare tutte le possibili grandezze in gioco, non sempre si possono

risolvere rotori e divergenze con grande facilità e per questo si parte da sistemi semplici, che

trascurano queste grandezze per poter risolvere a grandi linee il problema posto.

Per riallacciare il discorso alla fisica possiamo dire che lo stesso discorso si potrebbe fare tra

cinematica o dinamica e statica. Così in elettronica si definisce il Regime quasi stazionario.

Un regime quindi è quasi stazionario se le grandezze elettriche sono costanti nel tempo.

1.1 - SISTEMA STAZIONARIO

Come in cinematica, una grandezza che potrebbe rimanere costante nel tempo è senz’altro la velocità.

In elettrostatica è la grandezza che ci serve per definire un sistema stazionario.

La velocità di propagazione di un’onda elettromagnetica si può esprimere come:

1

= ∙

√

è la permeabilità magnetica e nel vuoto vale 4π*10 H/m e è la costante

-7

dove

dielettrica (o permettività) che nel vuoto è pari a 8,85*10 F/m.

-12

Da questa relazione ricaviamo che nel vuoto la velocità di propagazione della luce è 300.000

km/s (velocità della luce).

Si definisce lunghezza d’onda λ il rapporto tra la velocità e la frequenza.

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λ

Detto questo possiamo definire un sistema stazionario come un sistema le cui dimensioni

sono trascurabili rispetto alla lunghezza d’onda che la investe.

La lunghezza d’onda che investe le nostre case, le città e le nazioni in determinati punti del

pianeta è: à . . ∙

λ = = = = 6.000

poiché la lunghezza d’onda è molto più grande di tutti i sistemi possiamo considerare i sistemi

stessi come dei punti materiali. Inoltre se siamo in un regime stazionario possiamo trattare gli

elementi come bipoli.

L’insieme due o più bipoli costituisce un circuito. Rappresentazione

Più in generale si parla di reti elettriche. di un bipolo

In generale i sistemi di bipoli si rappresentano tramite un gruppo di generatori e un gruppo

di utilizzatori.

G U

1.11 - GENERATORI Tensione: Lavoro elementare per spostare una

Generatore di tensione Generatore di corrente =

carica elementare: [Volt]

Corrente: Variazione di carica nel tempo:

= [ ]

Dalle relazioni precedenti otteniamo la potenza:

= ∗ = ∗ = [ ]

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. −

Resistenza: R [Ω -Ohm] Induttore L [H-Henry] Condensatore – C [Farad – F]

CONVENZIONI DI MISURA E LEGGI DI OHM

Le convenzioni di misura che poniamo all’inizio di ogni problema in questo caso sono 2:

- Convenzione di misura generatori: l’utilizzatore cede potenza al sistema;

- Convenzione di misura utilizzatori: l’utilizzatore assorbe potenza dal sistema.

Nel calcolo delle reti elettriche, cioè sistemi complessi di circuiti elettrici avremo a che fare con le leggi

di Ohm:

( )= ( )

1) ∗ ( )

( )= ( )

2) ∗ ( )

In relazione con le convenzioni di misura abbiamo che nel caso di convenzione per utilizzatori:

= ∗ , mentre nel caso di convenzione generatori ritroviamo la stessa relazione con segno opposto:

= − ∗ .

TIPI DI CIRCUITI

I circuiti elettrici possono essere sostanzialmente di due tipi: circuito aperto o circuito chiuso (o

corto circuito). Nel primo abbiamo che con una tensione V qualsiasi la corrente che passa nel sistema

è nulla:

- Pur essendoci una tensione v diversa da zero, la corrente non

circola all’interno del filo conduttore. ≠ 0 =0

Un esempio di circuito aperto si ha con un interruttore non

commutato.

- Nel corto circuito non vi sono opposizioni o spinte all’interno ≠ 0 , =0

del circuito e pertanto la corrente i è libera di scorrere a

intensità variabile. 5

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1.2 - CIRCUITI SEMPLICI E RETI ELETTRICHE

Risolvere un problema elettrotecnico significa trovare tutte le grandezze che ci sono all’interno di un

circuito elettrico. Nel caso di un circuito elettrico semplice (rappresentato qui di seguito) ciò che ci

interessa è calcolare il valore di tensione v, corrente i e resistenza R.

La stessa cosa si può dire di reti elettriche, ovvero insiemi di circuiti (rappresentato qui di seguito):

1.3 - LEGGI DI KIRCKOFF E RETI ELETTRICHE

LEGGE DI KIRKHHOFF DELLE TENSIONI

Dato un certo circuito elettrico, si ha che la somma delle tensioni del circuito è uguale a zero.

V V

1 2 ∑ =0

V

3

LEGGE DI KIRKHHOFF DELLE CORRENTI

Dato una certa superficie chiusa, si ha che la somma delle correnti del circuito è uguale a zero.

∑ =0

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RETI ELETTRICHE

Riprendendo in esame l’immagine di prima riguardo le reti elettriche definiamo alcune parti

importanti di una rete elettrica. RAMI:

parti che collegano i

nodi e sulle quali vi

sono generatori e

NODI: utilizzatori.

punti che collegano

due o più rami. MAGLIE:

Zone della superficie

circondate da lati e

non attraversate da

altri lati.

Risolvere una rete di questo tipo significa per noi trovare tutte le correnti i e tutte le tensioni v che

caratterizzano la rete. Ciò significa che se l sono le correnti e l sono le tensioni, avremo bisogno di 2 l

valori per risolvere il sistema.

Se consideriamo i nodi della rete rappresentata

di fianco (3 nodi) e scriviamo 3 equazioni

della corrente, otteniamo 3 equazioni

linearemente dipendenti, cioè una di loro

dipende dalle altre due:

− =0

− − =0

+ − =0

Dalle tre equazioni precedenti otteniamo un’identità e ciò vuol dire che una delle 3 è dipendente dalle

altre due. Decidiamo quindi di cancellarne una per avere 2 equazioni linearmente indipendenti. Se

sono quindi le incognite del problema, saranno − 1 le equazioni indipendenti e lo stesso discorso

vale per le tensioni.

Possiamo quindi dire che le equazioni che servono al nostro caso, qualsiasi esso sia sono:

= − +1

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TEOREMA FONDAMENTALE DELLE RETI ELETTRICHE

Il teorema fondamentale delle reti elettriche afferma che una rete elettrica di rami ha 2 risoluzioni le

quali si possono riscontrare tramite le leggi di Kirckoff delle tensioni (LKT), le leggi di Kirckoff

delle correnti (LKC) e dai legami costitutivi (LC). Questi ultimi sono formati da relazioni che

collegano la tensione con la corrente , ovvero, le leggi di Ohm.

Tuttavia scrivere 2 equazioni con un sistema complesso di molteplici rami, nodi ed anelli è molto

scomodo poiché significherebbe calcolare corrente, tensione e utilizzatore per ogni singolo ramo o

nodo. Allora non si fa altro che rendere più semplice la rete applicando teoremi e principi che vedremo

più avanti.

Ricordando che noi ci limiteremo in questa sezione a trattare le reti elettriche con un regime

stazionario, cioè quando tensione e corrente non variano d’ora in poi rappresenteremo la corrente e la

tensione con le lettere maiuscole:

1.4 - COLLEGAMENTO IN SERIE E PARALLELO

Abbiamo visto degli esempi di reti elettriche semplici con un solo utilizzatore, un solo generatore, ecc.

Quelli che trattiamo adesso sono i diversi posizionamenti che possono avere degli stessi utilizzatori in

un sistema più complesso.

Ad esempio proviamo a pensare ai fari della nostra auto; abbiamo una batteria da 12 V che genera una

corrente nel sistema elettrico della macchina e deve accendere quattro fari, due avanti e due dietro.

Successivamente proviamo a rompere uno dei quattro fari e notiamo che quello che abbiamo

danneggiato si spegne, mentre gli altri rimangono accesi. Due possibilità che ci si presentano nel

disegnare la rete elettrica della macchina la possiamo schematizzare così:

1) 2)

La corrente passa, in entrambi i casi, su tutti i bipoli resistori dando luce ai fanali. Vediamo cosa succede se

rompiamo il fanale sostituendolo con un circuito aperto:

Nel primo caso la corrente continua a passare dagli altri fanali, mentre nel secondo caso la corrente

non passa per il conduttore e gli altri rimangono spenti.

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Questi due casi in elettrotecnica si definiscono rispettivamente: collegamento in parallelo e

collegamento in serie. Nel primo, come abbiamo visto, gli utilizzatori sono indipendenti e dipendono

solo dalla corrente; nel secondo un utilizzatore dipende sempre da un altro utilizzatore prima di esso.

COLLEGAMENTO IN SERIE

Semplificare il sistema significa ridurre il circuito allo stato semplice, sostituendo gli utilizzatori con un

utilizzatore che faccia risentire al sistema gli stessi medesimi effetti. Per questo vi è il calcolo della

resistenza equivalente.

Un circuito collegato in serie ha la medesima corrente ma ogni bipolo ha un suo potenziale.

Dato un circuito di questo tipo:

La resistenza equivalente della rete elettrica per un

collegamento in serie è la sommatoria di tutte le

resistenze collegate in serie:

=

COLLEGAMENTO IN PARALLELO

Un sistema collegato in parallelo ha lo stesso potenziale in tutto il circuito ma ogni bipolo è attraversato

da una corrente diversa.

Dato un circuito collegato in parallelo e, definita una

grandezza detta conduttanza come il reciproco

della resistenza , la resistenza o conduttanza

equivalente è rispettivamente la sommatoria dei

reciproci delle resistenze, la somma delle conduttanze.

1 1

= = = 1/

PRINCIPIO DI DUALITA’

Il principio di dualità è un principio che serve nell’introduzione di alcuni teoremi dell’elettrotecnica e

che permettono l’esenzione dal dimostrarli.

Per i teoremi che al momento tratteremo le parole duali da utilizzare saranno:

Tensione Corrente;



Serie Parallelo;



Resistenza Conduttanza;



Corto circuito Circuito aperto;



Corto circuito Circuito aperto.



Il principio di dualità ci servirà soprattutto per i due teoremi che seguono. Essendo infatti l’uno duale

rispetto all’altro e viceversa la dimostrazione del primo vale anche per il secondo.

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ESERCITAZIONE: 10/10/2012

1) Dato il seguente circuito, calcolare i valori delle resistenze , ,

DATI

20 W

32 W

24 W

2 A

METODO DI RISOLUZIONE:

- Quello rappresentato è un collegamento in serie. Teniamo a mente le

leggi di Ohm: = ; = = ; e applichiamole, ricavando

dalla seconda o terza formula il valore della resistenza o della tensione.

In ogni caso calcoleremmo il dato mancante con la prima legge.

RISOLUZIONE:

La corrente che scorre all’interno del circuito è uguale per tutte le

resistenze che ci sono. Pertanto basterà calcolare, tramite le ultime due

relazioni, o la tensione o la resistenza e successivamente calcolare con la

prima legge l’altro dato mancante. Per esempio utilizziamo la seconda

relazione per calcolare la tensione nei 3 bipoli:

20

= = = 10V

2

32

= = = 16V

2

24

= = = 12V

2

Ed ora utilizziamo la legge = per ricavarci il valore delle resistenze:

10

= = =5

2

16

= = =8

2

12

= = =6

2 10

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2) Dato il presente circuito elettrico, calcolare i valori di tutte le correnti e di tutte le resistenze.

DATI

50 W

25 W

20 W

5 A

METODO DI RISOLUZIONE:

- Ciò che cambia rispetto al primo esercizio è il tipo di collegamento

del circuito. Il primo era un collegamento in serie, pertanto si sa che

la corrente che passa per lo stesso conduttore è unica ma ci sono tante tensioni quanti sono i bipoli

resistori. Questo esercizio è un collegamento in parallelo e pertanto richiama le sue proprietà: la

tensione applicata ai capi del circuito come in figura è la stessa per tutti i bipoli collegati in parallelo. Ci

saranno tuttavia tante correnti quanti sono i resistori. Per il resto l’esercizio 2) è uguale al 1).

RISOLUZIONE:

Calcoliamo dal ramo 1 la tensione:

50

= = = 10

5

La tensione appena calcolata è la stessa su tutti i rami del circuito e pertanto possiamo calcolare le

correnti sugli altri due rami con la legge di Ohm:

25

= = = 2,5

10

20

= = =2

10

La corrente totale non è altro che la somma di tutte le correnti appena trovate: 9,5 A.

Calcoliamo ora le resistenze sui 3 rami:

10

= = =2

5

10

= = =4

2,5

10

= = =5

2 11

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3) Data la seguente rete elettrica calcolare tutte le correnti del circuito.

DATI

10 Ω

20 Ω

25 Ω

100 V

METODO DI RISOLUZIONE:

- L’esercizio va risolto usando le leggi di Kirckoff. La sommatoria

delle correnti all’interno del circuito deve essere 0. Ciò significa che, non avendo le correnti distribuite

sui loro rispettivi rami come nell’esercizio precedente, la quantità di corrente che entra in un nodo di

un bipolo è esattamente uguale a quella che esce. Per il calcolo analitico si usano le leggi di Ohm.

RISOLUZIONE:

Cerchiamo di ottenere uno schema più funzionale per capire cosa si

può fare per semplificare il problema ed arrivare alla soluzione:

Come si nota, le frecce azzurre dello schema qui di fianco riportano il

verso delle correnti all’interno del circuito. Possiamo quindi fare dei

normalissimi bilanciamenti all’interno del circuito, scrivendo almeno

per i nodi principali le equazioni di equilibrio: