Appunti di opere geotecniche

Richiami ed integrazioni di meccanica delle terre

Un elemento di terreno può essere considerato un sistema multifase, costituito da uno scheletro di particelle solide il quale comprende dei vuoti riempiti di liquido (di solito acqua) e di gas. Le dimensioni delle particelle possono avere diversi ordini di grandezza (le dimensioni dei grani sono espresse in mm): Nonostante i terreni siano costituiti da particelle, l’approccio comunemente usato nella meccanica delle terre assimila i terreni a un mezzo continuo (se il mezzo è costituito da una sola fase) o più continui sovrapposti (nel caso di un mezzo multifase).

Sulla base di tale assunzione è possibile applicare ai terreni i concetti di tensione e di deformazione, nonché le leggi della meccanica del continuo. In ciascun punto è possibile definire uno stato tensionale e uno stato di deformazione.

Stato tensionale e tensore di sforzo di Cauchy

Lo stato tensionale in un punto è espresso dal tensore di sforzo di Cauchy:

Il tensore può essere scomposto in una parte isotropa e una parte deviatorica:

• σ_ij = δ_ijσ_m + σ'_ij
• σ_m = (σ₁₁ + σ₂₂ + σ₃₃) / 3
• δ_ij = delta di Kronecker

Stato deformativo e tensore delle deformazioni

Lo stato deformativo in un punto è espresso dal tensore delle deformazioni:

Anche in questo caso il tensore può essere scomposto in una parte isotropa e una deviatorica:

• ε_ij = δ_ijε_v + ε'_ij
• ε_v = somma componenti sulla diagonale (deformazione volumetrica)
• ε'_ij = deviatore della deformazione (variazione di forma dell'elemento)

Principio degli sforzi efficaci

Anche il fluido interstiziale viene considerato un continuo in cui è possibile definire in ogni punto la pressione u. Il terreno viene idealizzato come un mezzo formato da due continui sovrapposti, uno solido ed uno fluido. La legge di interazione tra le varie fasi si chiama principio degli sforzi efficaci e fu proposta da Terzaghi nel 1923.

σ' = σ - u dove:

• σ = tensione totale: sistema di tensioni applicato dall'esterno
• u = pressione neutra: pressione del fluido che riempie i pori
• σ' = tensione efficace: quella parte di sforzo che i granelli si scambiano attraverso i reciproci contatti

La non linearità del legame costitutivo dei terreni impone di mettere in conto lo stato tensionale dovuto al peso del terreno:

• σ_v = γ·z
• σ_v' = σ_v - u
• σ_h' = K₀σ_v' (tensione orizzontale a riposo)

La tensione orizzontale a riposo dipende dalla storia tensionale. Il punto B è normalconsolidato: finché i punti rappresentativi del deposito si collocano sulla linea di deposizione (livelli tensionali efficaci crescenti mai sperimentati nella sua storia tensionale). Il punto D è sovraconsolidato.

Depositi normalconsolidati e sovraconsolidati

Deposito normalconsolidato (NC): La massima tensione verticale efficace alla quale è stato sottoposto ogni suo elemento coincide con la tensione verticale efficace attuale.

Deposito sovraconsolidato (OC): Attualmente ad esso compete una tensione verticale efficace inferiore a quella raggiunta nel corso della sua storia tensionale.

Tensione di preconsolidazione: La massima tensione verticale efficace cui è stato sottoposto il terreno nella sua storia tensionale.

Effetto della storia tensionale sulla tensione orizzontale a riposo

Il coefficiente di spinta a riposo K₀ segue la formulazione analitica di Jaky:

• Per terreni NC: K₀ = 1 - sinφ'
• Per terreni OC: K₀ = (1 - sinφ') / OCR

OCR è il grado di sovraconsolidazione definito come:

• OCR = σ'_p / σ'_v = 1; OCR > 1
• Per terreni NC e OC

Il coefficiente si assume di solito pari a 0.5. Esiste un limite superiore alla tensione orizzontale, rappresentato dalla spinta passiva.

Nella fase di successiva deposizione il terreno ha un comportamento reversibile: la curva di ricarico è di nuovo E, D, C. Ci si aspetta lo stesso per K₀, ma in realtà la relazione tra σ_h' e σ_v' segue la linea gialla tracciata in figura.

Preconsolidazione dovuta ad aging: preconsolidazione associata ad invecchiamento del terreno. Da B a B’: si arresta il fenomeno di deposizione, rimane costante σ_v ma l’indice dei vuoti diminuisce (cedimento). È associato ad un fenomeno di deformazione viscosa. Da B’ a C: ricomincia il processo di deposizione. A rigore, il terreno dovrebbe comportarsi come fosse NC, invece il materiale si comporta come fosse OC sul ramo di ricarico. La tensione è detta tensione di quasi – sovraconsolidazione. Da C in poi: il terreno torna a comportarsi come fosse NC.

Filtrazione

I vuoti interstiziali sono tutti interconnessi: l’acqua è libera di fluire all’interno del terreno. I moti di filtrazione in un mezzo poroso sono quelli collegati quindi all’acqua libera, cioè quella che circola libera nei vuoti interstiziali interconnessi. L’acqua filtra da un punto di carico piezometrico più alto ad uno a carico piezometrico più basso (non di pressione!).

La filtrazione dell’acqua attraverso il terreno è governata dalla legge di Darcy:

• v = -k·(Δh / L)

Il rapporto tra la perdita di carico piezometrico ed il tratto L in cui tale perdita si verifica si chiama gradiente idraulico:

• i = Δh / L

L’equazione di Darcy ha il significato di una rappresentazione statistica delle condizioni di flusso nel terreno: la velocità che troviamo nella formula non è quella dei filetti fluidi, ma la velocità media del moto. k è il coefficiente di permeabilità: varia a seconda del materiale.

(*) Altera la permeabilità intrinseca del materiale. In condizioni 2D, la filtrazione dell’acqua attraverso il terreno è descritta dall’equazione di Laplace:

• ∂²h/∂x² + ∂²h/∂y² = 0

La rappresentazione grafica della soluzione di tale equazione viene fatta con reticoli di flusso fatti di linee di flusso e linee equipotenziali.

Moti di filtrazione in regime transitorio

L’applicazione di un carico su un terreno comporta l’insorgere di sovrappressioni dell’acqua interstiziale. Il profilo triangolare è quello in regime idrostatico. Δu è la sovrappressione interstiziale: si genera in un bulbo di terreno in cui avviene la diffusione del carico applicato in superficie; è variabile da punto a punto. Esiste un gradiente idraulico tra il bulbo e il terreno sottostante.

L’acqua fluisce verso l’esterno fino alla dissipazione delle sovrappressioni. A seguito dell’espulsione dell’acqua dalla zona interessata dal carico si ha una riduzione dell’indice dei vuoti. Il processo è indicato come consolidazione. Gli assestamenti dell’opera, legati al lento moto di filtrazione e alla contestuale variazione delle tensioni efficaci, NON RISULTANO dunque contemporanei all’applicazione del carico ma sono differiti nel tempo. L’analisi del processo di consolidazione ha lo scopo di prevedere il decorso nel tempo del cedimento e della sovrappressione interstiziale.

Consolidazione monodimensionale con carico infinitamente esteso

In questa particolare situazione la sovrappressione è la stessa in tutti i punti. La consolidazione si studia nello strato di argilla, poiché avviene in modo lento. Nei terreni granulari si ha una filtrazione rapida, che può essere considerata praticamente istantanea. Il cedimento che si verifica in conseguenza dell’applicazione di un carico è uguale al volume dell’acqua che riempie i pori e che viene espulsa. Il cedimento dipende da variazioni delle tensioni efficaci, cui si accompagnano processi di diffusione dell’acqua interstiziale.

Prova edometrica

Modalità sperimentale per studiare il meccanismo di cedimento: prova edometrica (deformazione laterale impedita).

• Δσ' = Δσ - Δu a t = 0
• Δσ' + Δu = Δσ al generico tempo t
• Andamento dei cedimenti nel tempo per un assegnato carico:

Consolidazione primaria: Il processo deformativo è governato da variazioni delle tensioni efficaci cui si associano processi di diffusione dell’acqua interstiziale.

Consolidazione secondaria: Il processo deformativo è governato da variazioni delle tensioni efficaci cui si associano processi di diffusione dell’acqua interstiziale.

Parametri ricavabili dalla prova edometrica:

• Consolidazione monodimensionale per abbassamento della falda
• Parametri che governano la compressibilità, che danno la possibilità di calcolare l’entità del cedimento per consolidazione primaria
• Coefficiente c_v di consolidazione primaria: ha a che fare con i cedimenti dovuti a moti di filtrazione in regime transitorio, però dice in quanto tempo si realizza un dato cedimento di consolidazione primaria. Intervengono permeabilità k e la compressibilità del terreno stesso c_v

Metodo grafico per ricavare c_v a partire da una prova edometrica:

• c_v = T_v × H² / t₅₀

La teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi costituisce la base per l’interpretazione delle prove edometriche e per un’analisi dell’andamento dei cedimenti.

• ∂²u/∂z² = (1/c_v) ∂u/∂t

Si parla di caso molto semplice di consolidazione monodimensionale, quindi il cedimento è nella sola direzione verticale. Nell’equazione si mette in relazione la dipendenza della pressione neutra con la geometria (z) e con il tempo t (moto di filtrazione in regime transitorio). Approccio che permette molta autonomia per affrontare problemi pratici.

La soluzione dell’equazione dipende da:

• Condizioni di drenaggio, cioè le condizioni al contorno
• Distribuzione iniziale delle sovrappressioni interstiziali (u₀), cioè le condizioni iniziali

Soluzione associata all’equazione di Terzaghi

In forma grafica si utilizzano come variabili il grado in consolidazione puntuale U e lo spessore dello strato z normalizzato rispetto all’altezza di drenaggio H (=massima lunghezza di filtrazione che può percorrere una certa particella di acqua):

• [U(z,t) = (u(z,0) - u(z,t)) / (u(z,0))]

U(z,t) tende a zero man mano che la sovrappressione si dissipa. Sono rappresentate delle isocrone: curve che descrivono il processo di consolidazione per tempi diversi. Per tempi bassi il processo di consolidazione è lontano dall’essersi esaurito nella maggior parte dello spessore dello strato. Per T che aumenta le sovrappressioni neutre si dissipano.

Le curve isocrone fanno riferimento a tempi diversi. Su ogni curva troviamo un tempo adimensionale. L’obiettivo della rappresentazione è quello di fornire la soluzione dell’equazione in forma adimensionale, in modo che la soluzione sia sempre spendibile per ogni problema.

Altro metodo più speditivo per utilizzare la soluzione di Terzaghi è quella di ricorrere ad un altro tipo di rappresentazione, in cui si rinuncia ad una rappresentazione del processo di consolidazione in ogni punto dello strato, ma guardando cosa succede mediamente.

• [S(t) = generico cedimento all’istante t]
• [S_finale = cedimento alla fine del processo]

La teoria di Terzaghi si usa per interpretare le prove edometriche, ma ci sono differenze sostanziali tra la previsione di Terzaghi e il reale comportamento delle terre. Nel piano U – Log (T_v), la curva ha un asintoto orizzontale, cioè il processo non termina mai. I dati sperimentali descrivono una curva che nel suo ultimo tratto ha un andamento approssimativamente rettilineo.

La teoria di Terzaghi non è in grado di dar ragione della consolidazione di tipo secondario. La previsione teorica e la curva sperimentale sono in ottimo accordo fino al 60% del processo, poi le curve si separano. (La curva rossa coincide con la curva nera tratteggiata).

La teoria di Terzaghi esclude il comportamento viscoso delle terre, quindi non mette in evidenza la consolidazione secondaria.

La resistenza al taglio

La resistenza al taglio di un terreno, sia che si tratti di sabbia, limo o argilla, proviene principalmente dall’attrito fra le particelle.

• τ = σ'_n tanφ' + c' (criterio di Mohr – Coulomb)

È il criterio tradizionalmente adottato per descrivere il comportamento delle terre. τ è la tensione tangenziale a rottura (failure) sul piano di rottura: è una funzione della tensione normale efficace a rottura sul piano di rottura σ'_n tanφ' secondo più una parte costante.

Rappresentazione grafica del criterio di Mohr-Coulomb:

• 1/2[(σ'₁ - σ'₃)sinφ' = τ = σ'_n + 1/2[(σ'₁ + σ'₃)tanφ' + c']

Si impone che il circolo di Mohr a rottura sia tangente alla retta limite. In realtà la rappresentazione del criterio di Mohr – Coulomb in questo modo è parziale. Nello spazio generale delle tensioni, il criterio in realtà individua una piramide a base esagonale descritta da questa equazione:

|σ'_i - σ'_j| = 2c'cosφ' - 2σ'_nsinφ' (i, j = 1, 2, 3)

Nell’ipotesi che σ'₁ = 1, σ'₃ = 3, si riottiene l’equazione semplice.

Prova triassiale

Prova triassiale: prova per eccellenza con cui si studia il comportamento tenso – deformativo delle terre. Nella prova triassiale un provino cilindrico viene sollecitato in condizioni di simmetria assiale tramite un fluido in pressione ed un pistone che agisce in direzione assiale.

Si ha un provino cilindrico in condizione di sollecitazione in assiale simmetria tramite un fluido in pressione, che occupa la camera intorno al provino, e un pistone, che provoca un carico assiale. Il provino è isolato con una membrana impermeabile. Il provino saturo può scambiare acqua con l’esterno solo con le due pietre porose superiore ed inferiore, collegate con un drenaggio che permette lo scambio d’acqua tra provino ed esterno. Si può misurare la pressione neutra nei pori.

• Consolidata drenata TXCD
  • Fase di consolidazione
  • Rottura drenata (applicando una tensione deviatorica σ₁ - σ₃; σ₃ = p, σ₁ = p + q)
• Consolidata non drenata TXCU
  • Fase di consolidazione
  • Rottura non drenata (i drenaggi sono chiusi)
• Non consolidata non drenata TXUU: l’acqua non abbandona il provino in nessuna fase della prova.
  • Fase di compressione
  • Rottura non drenata