Appunti di Misure meccaniche e termiche

CAPITOLO 2

BASIC CONCEPTS OF MEASUREMENT METHODS

Replicazioni e ripetizioni:

Generalmente, il valore stimato di una variabile misurata migliora con il numero delle misurazioni.

• Ripetizione: consente di quantificare come avviene la variazione di una variabile misurata durante una singola prova o un lotto di prove effettuate nelle medesime condizioni operative.
• Tuttavia, le ripetizioni non consentono di valutare esattamente come fissare le condizioni operative.
• Replicazione: duplicazione indipendente di un set di misurazioni con condizioni di funzionamento simili; consente di quantificare come avviene la variazione di una variabile misurata attraverso diversi test, aventi gli stessi valori nominali di condizioni operative.
• La replicazione permette l’impostazione e il controllo delle condizioni operative, ovvero, la possibilità di ripristinare le condizioni a un certo valore desiderato.
• In definitiva, la replicazione valuta il nostro controllo sulla procedura utilizzata

Calibrazione:

La calibrazione è l’operazione in cui uno strumento di misura viene regolato in modo da migliorarne l’accuratezza. L’operazione richiede il confronto con delle misure di riferimento prodotte utilizzando uno strumento campione. La calibrazione consiste nell’applicare un valore noto come input di un sistema di misura con lo scopo di valutare il segnale in uscita (output).

Il valore noto usato per la calibrazione prende il nome di “grandezza campione”

• Calibrazione statica: confronto tra il valore noto della grandezza campione in ingresso allo strumento e quello misurato dallo strumento stesso.
• Il termine “statica” si riferisce a una procedura di calibrazione in cui il valore delle variabili coinvolte rimane costante, cioè non varia con il tempo (tempoinvariante).
• Nella calibrazione statica sono importanti solo le magnitudo dell’input noto e dell’output misurato. Dall’applicazione di un range di valori noti in ingresso e dall’osservazione dell’uscita del sistema, può essere sviluppata una curva di calibrazione diretta per il sistema di misura.
• Possiamo disporre lungo le ascisse i valori in ingresso e lungo le ordinate quelli di output, ottenendo così una curva di calibrazione. In una calibrazione il valore di input potrebbe fungere da variabile indipendente controllata, poiché il valore misurato in uscita diventa la variabile dipendente della calibrazione.
• La curva di calibrazione statica descrive la relazione statica tra input-output per un sistema di misura e rappresenta la logica con cui l’output indicato può essere interpretato durante l’effettiva misurazione.
• Per esempio, la curva di calibrazione è la base per definire la scala del display di uscita di un sistema di misura.
• In alternativa una curva di calibrazione può essere usata per lo sviluppo di una relazione funzionale, equazione nota come correlazione di forma y=f(x), tra input e output.
• La correlazione può essere allora utilizzata in misurazioni successive per stabilire il valore sconosciuto di input basandosi sul valore di output indicato dal sistema di misura.

• Calibrazione dinamica: si utilizza quando le variabili di interesse sono temporavarianti e quando è richiesta una informazione dipendente dal tempo. Le informazioni tempo-variabili sono ampiezza e frequenza. La calibrazione dinamica determina la relazione tra un ingresso di un comportamento dinamico conosciuto e l'uscita di un sistema di misura. Solitamente, tali calibrazioni coinvolgono un segnale sinusoidale o uno a gradino come segnale in ingresso conosciuto.

Sensibilità statica:

La pendenza di una curva di calibrazione statica è detta sensibilità statica

La sensibilità statica, in corrispondenza di un determinato valore in ingresso _(xi) è calcolata come

SENSIBILITÀ STATICA

La sensibilità statica è una misura legata al cambio del segnale in uscita associato a un cambio assegnato a un segnale statico in ingresso. Dal momento che le curve di calibrazione possono essere lineari o non lineari in relazione al sistema di misura e alla variabile che è stata misurata, K potrebbe o meno essere costante in un range di valori in ingresso.

Range:

La procedura adatta per la calibrazione è quella di applicare valori conosciuti in ingresso, che varino dai minimi ai massimi valori per i quali il sistema di misura deve essere utilizzato.

Possiamo quindi considerare l'intervallo operativo del sistema espresso come

INTERVALLO OPERATIVO DEL SISTEMA

In modo analogo possiamo definire un range di valori in uscita; la larghezza dell'uscita o range operativo è espresso da

LARGHEZZA DELL'USCITA

È molto importante rispettare i valori del range di calibrazione conosciuto durante le misurazioni.

Accuratezza:

L'accuratezza di un sistema può essere stimata durante la calibrazione. Se il valore in ingresso della calibrazione è conosciuto con certezza, allora può essere chiamato valore vero. L'accuratezza di un sistema di misura si riferisce alla sua abilità di indicare il valore vero.

L'accuratezza è legata all'errore assoluto.

L'errore assoluto è è definito come la differenza tra il valore vero applicato a un sistema di misura e il valore indicato dal sistema:

ERRORE ASSOLUTO

Da cui si ricava la percentuale di accuratezza

PERCENTUALE DI ACCURATEZZA

Dalla definizione l'accuratezza può essere determinata solo quando il valore vero è noto, come durante una calibrazione.

Applichiamo come input ad un sistema di primo grado una funzione a gradino:

ponendo F(t) = AU(t) otteniamo

Con una condizione iniziale arbitraria y(0) = y₀.

La soluzione dell’equazione differenziale precedente si ottiene per t ≥0

y(t) = KA + (y₀ - KA)e

TEMPO DI RISPOSTA (risposta del sistema):

• descrive il comportamento del sistema ad un input a gradino,
• y(t) è l’output indicato dal display del sistema

RISPOSTA STABILE

• (integrale generale dell’equazione, permane anche dopo che la risposta transitoria è arrivata a zero, quindi per t→∞ y(t) si avvicina al valore stabile)

RISPOSTA TRANSITORIA

• (integrale particolare, tende ad annullarsi quando t→∞)

Sistemi del secondo ordine

Per strumenti di secondo ordine si intende uno strumento che dal punto di vista dinamico possa essere descritto dalla seguente equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del secondo ordine:

a₂ * ü + a₁ * ṙ + a₀ * y = F(t)

dove

• _a₂^a₀ * ü + _a₁^a₀ * ṙ + y = F(t)

Parametri fisici usati per descrivere il sistema

• _{a₀, a₁, a₂}^d²y/dt²

Che può essere riscritta dividendo entrambi i membri per a₀ come:

• ₁^ωₙ² ü + _2ξ^ωₙ ṙ + y = KF(t)

Dove

• K = ₁^a₀ Sensibilità statica
• ωₙ = _a₀^a₂ Frequenza naturale del sistema
• ξ = _a₁^{2√a₀ * a₂} Rapporto di smorzamento del sistema

Consideriamo l’equazione omogenea associata

₁^ωₙ² λ² + _2ξ^ωₙ λ + 1 = 0

L’equazione precedente ha due radici

• λ₁,₂ = -ξ * ωₙ ± ωₙ√ξ² - 1

Sono possibili 3 soluzioni omogenee(*), dipendenti da ξ

1. 0 < ξ < 1 (sistema sotto smorzato)

2. y_h(t) = C * e^-ωₙξt * sin(ωₙt√1 - ξ² + θ)

3. ξ = 1 (smorzamento critico)

4. y_h(t) = C₁ * e^-ωₙt + C₂ * t * e^-ωₙt

5. ξ > 1 (sistema sovra smorzato)

6. y_h(t) = C₁ * e^λ₁t + C₂ * e^λ₂t

La soluzione omogenea determina la RISPOSTA TRANSITORIA del sistema.