Appunti di meccanica razionale

Teoria dei Momenti

Vettore Applicato: Un vettore applicato è un coppia (A, v), dove A è un punto nello spazio e v un vettore.

Momento di un Vettore Applicato: Si dice momento del vettore applicato (A, v) rispetto al polo O il vettore libero:

m_O = OA x v = (A-O) x v

Sia O' un altro polo di applicazione, vale la formula del trasporto:

m_O' = m_O + O'O x v

La retta passante per A e parallela a v si chiama retta di applicazione di v e risulta che spostando v lungo la sua retta di applicazione, il suo momento rispetto ad un polo O è invariato.

Momento Assiale

Sia r una retta orientata di versore e_r, sia (A,v) un vettore applicato, sia O ∉ r allora

m_O • e_r = m_O' • e_r

Ossia la proiezione del momento di v traslato lungo la retta nella direzione e_r è indipendente dai poli. Tale proiezione è detta momento assiale rispetto ad r:

m_r := m₀ • e_r

Sistemi di Vettori Applicati

Un sistema di vettori applicati è un insieme:

S := {(A_i,v_i), i=1,2,...,n}

Risultante: Sia S un sistema di vettori applicati, si dice risultante del sistema il vettore libero:

R = Σv_i

Momento Risultante: Si dice momento risultante del sistema rispetto ad un polo O il vettore libero:

m_O = Σm_Oi = ΣOA_i x v_i

Vale la formula del trasporto:

M₀:= M₀ + O'O x R (se R ≠ 0 il momento è quindi indipendente dal polo scelto)

E similmente si può calcolare il risultante dei momenti assiali di ciascun vettore rispetto a una retta r.

TEOREMA DI VARIGNON

Sia un sistema di vettori applicati, se tali vettori sono concorrenti in un punto A, allora:

M_o = OA × R

ossia il momento risultante rispetto a un polo O coincide con il momento del risultante R applicato in A.

Coppia di Vettori

Una coppia di vettori è un sistema costituito da 2 vettori di ugual modulo e direzione ma verso opposto, risulta:

• R = 0 e il risultante è nullo
• W = M per qualsiasi polo O, essendo |W| = d ||M||
• d il braccio della coppia

Dalla regola della mano destra, se d o la coppia si dice a braccio nullo e M = 0.

Invariante Scalare

Considerando la formula del trasporto del momento risultante e moltiplicando entrambi i membri scalamento per R, si ottiene:

M_o · R = M_A · R

ossia la proiezione del momento M_o su R non dipende da O e quindi è detto invariante scalare o teorema invariante scalare.

Invariante Vettoriale

L'invariante vettoriale è lo spostamento di M_o proiettato su R e vale:

μ = (M_o · R) R

è indipendente da O.

Asse Centrale

Sia un sistema di vettori il risultante non nullo e sia M_o il momento risultante rispetto a un polo O (supposto per ora non applicato a R), M_o si può scomporre in una direzione parallela e ortogonale a R:

M_o = μ + N_o

essendo μ l'invariante vettoriale e N_o la componente ortogonale.

Considerata una retta passante per O e ortogonale a μ = N_o, si prende su di essa un punto A tale che N_o = OA × R, considerato quindi un punto passato per A:

M_o = μ + OA × R = μ

ossia l'invariante vettoriale, mentre N_o è proprio il momento rispetto ad un asse centrale.

Equazione degli Assi Centrali

Per trovare una equazione basta trovare il punto A di sopra, tale che IOAII = IRR o:

OA · R = x M_o / |R|

e quindi

P - A = λ R ⇒

si chiamano assi centrali.

I moduli dei vettori che risultano applicati sui singoli lati del poligono funicolare si dicono tensioni e inoltre ciascun lato intermedio si dice teso o compresso a seconda della disposizione della coppia di bracci nulla che esso esercita sui quei lati.

I caso: R = 0, M ≠ 0

In questo caso il poligono dei vettori è chiuso e il poligono funicolare avrà il primo e l’ultimo lato paralleli (coa//cof) tra loro. La cassa è il sistema è equivalente a una coppia costituita dai vettori (p1 e coa) e (c01 e pt) applicati nel primo e ultimo lato del poligono funicolare.

II caso: R ≠ 0, M = 0

Il sistema è equivalente a zero, R ≠ 0 implica che il poligono dei vettori è chiuso, M = 0 implica che il primo e ultimo lato del poligono funicolare sono coincidenti (poligono funicolare chiuso).

• Dato l’arbitrato del punto P e del primo lato del poligono, il poligono funicolare può essere costruito in ∞∞ modi.

Teorema di Culmann: dati due poligoni funicolari di poli P e P1, i loro lati omologhi si intersecano su una retta detta asse di Culmann.

SISTEMI RIGIDI

Un sistema di punti p₁, p₂...p_n si dice rigido se a ogni coppia di punti (p_i, p_j) del sistema è imposto un vincolo di rigidità:

| p_i - p_j | = r_ij > 0     1 ≤ i ≤ j ≤ n

Si vengono a formare così un sistema di (n(n-1))/2 equazioni non lineari in generale non indipendenti tra loro, e risulta:

1. Ogni sistema rigido contenente 3 punti non allineati ha 6 gradi di libertà (si assume l'ipotesi di aver scelto una delle 2 configurazioni possibili simmetriche rispetto a piano di 3 soli punti)
2. Se tutti i punti del sistema sono allineati esso ha 5 gradi di libertà 3/2

Spazio solidale

Fissata una terna Ξ ≠ Ξ₁, Ξ₂, Ξ₃ di versori e₁, e₂ ed e₃ nello spazio, ad ogni configurazione del sistema di punti è possibile associare una terna S = (O, x, y, z) di versori i, j, k tale che le coordinate dei punti del sistema rispetto a S siano costanti e indipendenti dalla configurazione. La terna S è detta solidale al sistema rigido, e lo spazio riferito a S è detto spazio solidale ed è tutto ciò che vi appartiene è detto solidale.

Quindi, determinare la configurazione di un sistema rigido rispetto a una fissata terna Ξ equivale a determinare quella di una sia terna solidale S.

Le configurazioni di un sistema rigido rispetto a una terna fissata Ξ sono in corrispondenza biunivoca con le trasformazioni di coordinate tra Ξ e S.

Sistema rigido piano

Nel caso in cui lo spazio ambiente sia il piano, si parla di sistemi rigidi piani, e risulta:

Ogni sistema rigido piano possiede 3 gradi di libertà, l'insieme di coppie di assi solidali al piano e di piani solidali sono analoghi al caso nello spazio.

Rigate in un moto rigido

Assegnati i vettori caratteristici u(c) e w(o) di un moto rigido, l'asse di moto è individuato, in ogni istante t, dalla seguente equazione vettoriale parametrica:

r(λ,t) = o = ^w/_λ(_w×u(o)) + λu, λ∈R

Se u e w vengono pensati come campi parametricamente parametrizzati allora l'equazione precedente rappresenta una superficie G₂ nel riferimento Σ e una superficie G₃ nel riferimento Σ'. Esse sono sono le superfici rigate e che determinano il luogo geometrico nello spazio fisso e solido che rispettivamente assumono il ruolo di assi istantanei di moto, dette rispettivamente rigata fissa e rigata mobile.

• La rigata fissa e la rigata mobile sono tangenti in ogni istante lungo la generatrice comune (asse di moto).
• La rigata mobile rotola sulla rigata fissa durante il moto rigido. È evidente che tale rotolamento è accompagnato da uno strisciamento relativo lungo la generatrice di contatto se l'invariante scalare non è nullo.
• Se l'invariante scalare è nullo allora il rotolamento relativo è senza strisciamento.

Si verifica che:

1. Nei moti in cui w ha direzione costante, le rigate sono superfici cilindriche.
2. Nelle precessioni le rigate sono coni con il vertice nel polo della precessione detti coni di Poinsot, i quali, nel caso delle rotazioni, degenerano in una retta, mentre nelle precessioni regolari tali coni sono rotondi.