Appunti di Fisica 1 (meccanica e termodinamica)

FISICA

- La fisica è una scienza sperimentale, ossia basata sugli esperimenti, che studia i costituenti della materia e le loro interazioni per spiegare in termini quantitativi i diversi fenomeni naturali e le proprietà della materia.

- La fisica è basata sul metodo scientifico e si propone di creare una teoria capace di spiegare e predire un fenomeno o una certa classe di fenomeni.

GRANDEZZE FISICHE

- Le grandezze fisiche sono i fini di un esperimento, ossia la misura di quantità ben definite, definite in modo operativo, ossia con una serie di operazioni da compiere per misurare la grandezza in questione. Le grandezze fisiche possono essere ottenute per misure dirette o indirette.

- Le misure dirette si ottengono per confronto con un campione e determinano le grandezze fisiche fondamentali.

- Le misure indirette si ottengono per operazioni algebriche sulle grandezze fondamentali e determinano le grandezze fisiche derivate.

ERRORI DI MISURA

- Ogni misura è inevitabilmente affetta da incertezze che possono essere sistematiche o casuali. Le prime sono dovute alla incertezza di strumenti e procedure in un esperimento, le seconde sono dovute a inevitabili variazioni statistiche del sistema o dell'apparato di misura. Gli errori casuali possono essere studiati dalla funzione a campana di Gauss:

\[\frac{1}{\sqrt{2\pi g}} \cdot e^{-\frac{(x-x_0)^2}{2g^2}} \cdot f(x) \rightarrow x_0 = \text{valore medio} \, g = \text{deviazione standard}\]

Cinematica

• La cinematica è la branca della fisica che studia i moti dei corpi senza indagare sulle cause che lo producono.

Grandezze Cinematiche

v = ^ds/_dt

a = ^dv/_dt = ^d2s/_dt²

S = ascissa curvilinea

Queste sono le definizioni di velocità scalare e accelerazione scalare in relazione all'ascissa curvilinea.

• Passando invece a quantità vettoriali, quindi moltiplicando la velocità scalare per un vettore T^ tangente alla traiettoria:

v = ^dr/_dt = ds/_dt T = v T

a = ^d(vT)/_dt = d(vT)/_dt = ^dv/_dt T + v ^dT/_dt = ^dv/_dt T + v²/_R N

L'accelerazione in un certo punto di una traiettoria ha un componente radiale e uno tangenziale, il primo determinando un cambiamento della direzione di v, il secondo determinando una variazione del modulo di v.

Moto rotatorio vario

Se un punto si trova ad una distanza R da un asse e il corpo che ruota a velocità angolare ω, la sua velocità è:

v = ω × R

e v risulta sempre ortogonale a R.

Coordinate polari

Si tratta di un sistema di coordinate individuato da un angolo θ e una distanza r:

Fissato un sistema di coordinate intrinseco (ρ̂, n̂) risulta:

v = v_r + v_θ

v_r = ṙ ρ̂

v_θ = rθ̇n̂ = rωn̂

Derivando v si ottiene a:

a = a_θ + a_r

a_r = (d²r/dt² - ω²r) ρ̂ = a_r ρ̂

a_θ = (r dω/dt + 2ωdr/dt) n̂ = a_θ n̂

Moti relativi

Sia A un SDR assoluto fisso e Ω un SDR in moto, sia R il raggio vettore rispetto a Ω e sia ω

v_A = v_R + v_Ω

a_A = a_R + a_e + ω̇ × (ω × R) + dω/dt × R + 2ω × v_R

Lavoro-Energia

Il lavoro L di una forza F lungo una curva tra 2 punti P₁, P₂ è:

∫_P1^P₂ F⃗ · dr⃗ = integrale calcolato sulla curva γ tra P₁ e P₂

• Si tratta di una quantità scalare.

Teorema dell'energia cinetica

• Si consideri una forza F che agisce su un corpo lungo una curva, il suo lavoro è:

Lγ = ∫P1P2 F⃗ · dr⃗ = ∫t1t2 m d2x/dt2 · dr⃗ = ∫u1u2 m u̇ · du̇ = [u2/2 m ẋ2]t2t1

• Si ponga quindi 1/2 m ẋ² = K e la si definisca:
• Energia cinetica, ossia il lavoro che deve essere fatto sul corpo di massa m per farlo passare da ẋ₁ = 0 a ẋ₂ = ẋ

L_tot = ΔK ⇒ ossia "Il lavoro totale svolto dalla forza agente su un corpo equivale alla variazione della sua energia cinetica."

Campo di Forze

• Un campo di forza è uno spazio vettoriale in cui in ogni punto dello spazio è associato un vettore forza dotato di una propria direzione, modulo e verso.
• Un campo di forza può essere conservativo o no.

DINAMICA DEI SISTEMI MATERIALI

• La risultante delle forze interne in un sistema è nulla.
• Il momento risultante delle forze interne in un sistema è nullo rispetto a qualunque polo.

1^a Equazione Cardinale

F_(e) = d(Ā) / dt, ossia la risultante di tutte le forze esterne è uguale al derivato della quantità totale di moto Ā del sistema.

Si generalizza così anche il teorema dell'impulso. ⇒ Se F_(e) = 0 la quantità di moto totale del sistema si conserva ⇒ Principio di conservazione della quantità di moto. (Valido anche se F_(e) = 0 in un'opportuna direzione dello spazio).

2^a Equazione Cardinale

M_(e)⁰ = dL⁰ / dt, ossia la risultante dei momenti rispetto a un polo fisso è la derivata dei momenti angolari totali rispetto allo stesso polo.

Se Oⁱ è mobile, allora: M_(e)^O1 = dL^O1 / dt + V₀ x Ā attorno.

Analoga la formula per il punto material O. ⇒ Si può definire quindi analogamente il Teorema dell'impulso del momento di una forza.

Se il momento M_(e)⁰ è nullo, L⁰ si conserva nel tempo.

Principio di Conservazione

In un sistema isolato, ossia tale che F_(e) = 0 e M_(e)⁰ = 0:La quantità di moto e il momento angolare del sistema sono costanti.

Dinamica del corpo rigido

• Un corpo rigido è un insieme di particelle soggetto a forze tali da mantenere costanti nel tempo le loro distanze relative
• Un corpo rigido ha 6 gradi di libertà, ossia sono sufficienti 6 variabili indipendenti necessarie ad individuare la sua posizione nello spazio, che corrispondono ai rispettivi moti possibili nello spazio: 3 traslazioni + 3 rotazioni
• Un corpo rigido può traslare, ruotare, oppure roto-traslare. I moti rotatori e traslatori sono governati rispettivamente dal momento delle forze esterne e dalla risultante delle forze esterne.

Moto rotatorio rispetto a un asse fisso

• Il moto di un corpo è di questo tipo se ogni punto del corpo si muove lungo una circonferenza il cui centro giace nell'asse di rotazione

Si consideri ora come asse Z l'asse di rotazione del corpo, scelgo un punto O come origine di un sistema XYZ, detta ω la velocità angolare del corpo rigido, la velocità di un punto vale: v̲ = ω̲ × r̲ se invece il corpo oltre a ruotare trasla, la velocità assoluta di un punto sarà: V̲ = V̲₀ + ω̲ × r̲ dove Vo è la velocità del centro ..massa del corpo r̲ e R̲ è il raggio vettore tra O e la posizione P del corpov̲ formula fondamentale dei moti rigidi