Appunti di Meccanica delle vibrazioni

Meccanica delle vibrazioni

Vibrazione meccanica è una piccola oscillazione, nel senso che l’entità della vibrazione, piccola in quantità di spostamento, è piccola rispetto alle dimensioni del corpo che sta vibrando, anche di diversi ordini di grandezza di differenza.

In realtà, le vibrazioni possono anche essere grandi, ma in tal caso il pezzo va subito a rottura, quindi non è un caso d’interesse pratico.

Oscillazione è la ripetizione della variazione di una grandezza meccanica, spostamento, velocità, accelerazione, …, che può essere più o meno regolare nel tempo.

Segnale = somma di infinite componenti armoniche.

In genere un fenomeno oscillatorio è costituito da una somma di armoniche di numero più o meno finito.

A A t t
Unica armonica (es. diapason)
Sovrapposizione di due armoniche (es. motori a c.i.)
A A t f
Fenomeno più complesso: in genere si porta il contenuto armonico dal dominio del tempo a quello delle frequenze.

Sommario

• Oscillatore semplice ................................................................................................................................... 4
• Risposta libera oscillatore semplice non smorzato ........................................................................... 5
• Risposta libera oscillatore semplice smorzato ................................................................................... 6
• Stabilità di un sistema ........................................................................................................................... 9
• Vibrazioni “autoeccitate” ...................................................................................................................... 9
• Forzante costante: gravità ............................................................................................................... 11
• Metodo del decremento logaritmico .............................................................................................. 12
• Risposta forzata oscillatore semplice smorzato ............................................................................. 14
• Forzanti armoniche .............................................................................................................................. 15
• Risposta in frequenza dell’oscillatore semplice in cui si ha ingresso forza uscita spostamento ........................................................................................................................................... 18
• Banda passante ...................................................................................................................................... 20
• Rappresentazione fasoriale ................................................................................................................ 21
• Sbilanciamento statico ........................................................................................................................ 23
• Risposta in frequenza ingresso forza uscita forza ...................................................................... 25
• Molle in serie e in parallelo ................................................................................................................ 27
• Isolamento delle vibrazioni provenienti dall’esterno ................................................................ 29
• Modello del quarto di veicolo .......................................................................................................... 30
• Forzanti periodiche ............................................................................................................................... 32
• Forzanti generiche ............................................................................................................................... 33
• Risposta impulsiva di un sistema .................................................................................................... 34
• Trasformata e antitrasformata di Fourier .................................................................................... 36
• Teorema di convoluzione ................................................................................................................ 39
• Misure ........................................................................................................................................................... 42
• Catena di misura .................................................................................................................................... 47
• Conversione analogico digitale ........................................................................................................ 49
• Modelli meccanici riconducibili al modello dell’oscillatore semplice ....................................... 54
• Oscillatore semplice con molla di massa non trascurabile ........................................................... 65
• Fenomeni vibratori indotti nei manovellismi di spinta dal moto delle masse ........................... 69
• Monocilindro ......................................................................................................................................... 69
• Rappresentazione attraverso masse di sostituzione ................................................................ 71
• 4 cilindri in linea .................................................................................................................................... 79
• 6 cilindri in linea .................................................................................................................................... 80
• 3 cilindri in linea .................................................................................................................................... 82
• Sistemi a più gradi di libertà ................................................................................................................ 83
• Matrice di rigidezza ............................................................................................................................... 86
• Problema agli autovalori ................................................................................................................... 87
• Matrice di massa .................................................................................................................................... 90
• Analisi modale ........................................................................................................................................ 90
• Modello di metà veicolo ..................................................................................................................... 99
• Battimenti ............................................................................................................................................. 103
• Sistemi dissipativi a più gradi di libertà ............................................................................................ 110
• Carico modale: risposta forzata di un sistema a più GDL .......................................................... 112
• Impulso ............................................................................................................................................... 114
• Forzanti armoniche ........................................................................................................................ 115
• Smorzatore di Frahm o assorbitore dinamico attivo (ADV) ...................................................... 124
• Esempi di assorbitori dinamici delle vibrazioni ........................................................................ 124
• Pendolo centrifugo ........................................................................................................................ 128
• Esempi sistemi a 2 gradi di libertà: volani ..................................................................................... 130
• Sistema a 3 GDL, con un grado di libertà di moto rigido ............................................................ 133
• Sistemi continui ....................................................................................................................................... 136

Oscillatore semplice

Massa concentrata, vincolata a telaio tramite un elemento rigido.

F_x M x N_k m k F_el (molla con una certa costante elastica, k).

F = −kx, il meno è giustificato dal riferimento uguale tra spostamento e forza di reazione.

Figura 1

Il modello è considerato a un unico grado di libertà: si considera lo spostamento possibile solo lungo la direzione verticale, mentre nelle altre direzioni si fa l’ipotesi di elemento infinitamente rigido.

In figura 1 è rappresentata solo una massa, che accumula e restituisce energia, e una molla, che accumula e restituisce energia; quindi, non è un modello dissipativo, è un modello non smorzato.

Tale modello non rappresenta un fenomeno reale. Per poter meglio rappresentare la realtà si inserisce un fenomeno dissipativo. Si introduce un fenomeno dissipativo lineare, l’attrito viscoso, lineare perché proporzionale alla velocità.

Figura 2.

F x N_s M c m F_v k c F = −cẋ.

La maniera di dissipare energia da parte dello smorzatore viscoso è generalmente tramite effetto Joule, ossia si riscalda.

Solo in casi più complicati e particolari si abbandona l’attrito viscoso e si introduce un modello dissipativo diverso, es. per le pale degli elicotteri serve introdurre un modello dissipativo d’attrito radente.

Risposta libera oscillatore semplice non smorzato

F + F_el = Mẍ.

Generalmente la massa non la si vuole tempo-variante; la dipendenza dal tempo della forzante, F, non la si può stabilire a priori; la forza elastica, F_el, dipende dal tempo perché dipende dallo spostamento che a sua volta varia con il tempo:

F_el(t) + F(t) = Mẍ(t), sostituendo nell’equazione precedente si ricava l’equazione del moto.

La forza elastica è data da F_el = −kx dell’oscillatore semplice non smorzato:

EQ. DEL MOTO Mẍ(t) + kx = F(t).

È un’equazione differenziale lineare, ordinaria, non alle derivate parziali, considero la x unicamente variabile rispetto alla variabile t, a parametri concentrati e coefficienti costanti.

La soluzione dell’equazione sarà del tipo x(t) = x₁(t) + x₂(t) generale, soluzione dell’equazione omogenea associata all’equazione differenziale.

Con: x₁(t) integrale Mẍ(t) + kx = 0; x₂(t) integrale particolare, dipendente dal tipo di forzante.

Ipotizzo che la soluzione sia nella forma e^λt, con λ radice dell’equazione caratteristica, ossia dell’equazione algebrica ottenuta dalla differenziale di partenza sostituendo i termini di ordine 2 con termini di grado 2 e i termini di ordine 0 con termini di grado 0.

2Mλ + k = 0 EQ. CARATTERISTICA.

λ_1,2 = ±i √(k/M) = ±iω_n; pulsazione naturale di un sistema: ω_n = √(k/M).

λ_1,2 numeri complessi coniugati.

Quindi l’integrale generale x(t) è la combinazione lineare delle soluzioni e^λ₁t e e^λ₂t:

x(t) = A₁e^λ₁t + A₂e^λ₂t = A₁e^−iω_nt + A₂e^iω_nt.

Dalla formula di Eulero e^iφ = cosφ + senφ.

x₁(t) = B₁ cosω_nt + B₂ senω_nt.

Otteniamo una combinazione lineare di due armoniche con medesima pulsazione, che può, quindi, essere considerata come un’unica armonica:

x₁(t) = C cos(ω_nt + φ).

T = 2π/ω = 1/f; ω = 2πf = 2πf; ω = √(k/M).

Aumentando la rigidezza, k, aumenta la frequenza delle oscillazioni; aumentando la massa, M, si abbassa la frequenza di oscillazione. Nel primo caso, ad es., si hanno sospensioni più sportive.

Il comportamento oscillatorio prosegue all’infinito, perché il sistema non è smorzato: si ha un continuo passaggio di energia cinetica in energia elastica e viceversa.

B₁, B₂ dipendono dalle condizioni iniziali in cui si trova il sistema:

x(t = 0) = x₀ = B₁.

v(t = 0) = v₀ = B₁ω_n senω_nt + B₂ω_n cosω_nt.

La partenza con velocità diversa da zero implica che ci sia stato un urto prima della partenza; ciò è ricavabile dal teorema dell’impulso:

I = ∫_t0^t₁ Fdt = ∫_t0^t₁ m dv/dt dt = ∫_p0^p₁ dp = Δp; p = mv = quantità di moto.

Risposta libera oscillatore semplice smorzato

F + F_el + F_v = Mẍ.

Mẍ(t) + cẋ(t) + kx(t) = F(t).

x(t) = x₁(t) + x₂(t).

Dall’equazione omogenea del sistema, l’equazione Mẍ(t) + cẋ(t) + kx(t) = 0, ricavo l’algebrica caratteristica:

Mλ² + cλ + k = 0.

L’equazione caratteristica si scrive solitamente in una forma che deriva dalla forma canonica dell’equazione differenziale omogenea:

x″(t) + 2ξω_nx′(t) + ω_n²x(t) = 0, si ottiene dividendo i termini dell’equazione differenziale omogenea per M.

ω_n = √(k/M); 2ξω_n = c/M; ξ = c/(2√kM) = fattore di smorzamento.

Pulsazione naturale e fattore di smorzamento regolano il comportamento del sistema. Le radici dell’equazione caratteristica si chiamano autovalori e descrivono la risposta del sistema.

λ² + 2ξω_nλ + ω_n²k = 0. Eq. caratteristica.

λ_1,2 = −ξω_n ± √(ξ²ω_n² − ω_n²) = −ξω_n ± ω_n√(ξ² − 1).

Come si vede dall’espressione precedente il valore degli autovalori varia con ξ:

• ξ < 0: non ha senso fisico perché implicherebbe c negativo e quindi un apporto energetico continuo nel sistema, impossibile in mancanza di un attuatore che è alimentato dall’esterno.
• ξ > 1: λ_1,2 = −ξω_n ± ω_n√(ξ² − 1) → λ_1,2 ∈ ℝ.

x(t) = A₁e^λ₁t + A₂e^λ₂t.

λ_1,2 sono negativi, quindi le funzioni e^λ₁t e e^λ₂t sono esponenziali decrescenti: il sistema è così tanto smorzato da non vibrare, si dice infatti che il sistema è sovrasmorzato, dissipa troppa energia.

I corpi ripristinano le condizioni di equilibrio in modo esponenziale. I due andamenti rappresentati in figura dipendono dalle condizioni iniziali:

A: x₀ ≠ 0; v₀ = 0.
B: x₀ ≠ 0; v₀ ≠ 0.

Più è elevato ξ più è lenta la risposta del sistema. All’aumentare di ξ i due autovalori sono sempre reali, in particolare uno tende a zero, l’altro a −∞, per cui sono numeri reali sempre negativi che possono essere visti come caso particolare di numero complesso con Im = 0.

• ξ = 1: il sistema si riporta nel modo più veloce possibile alla condizione di equilibrio prima però del raggiungimento dei fenomeni oscillatori, è ξ < 1 l’esponenziale più bassa possibile, per ξ < 1 iniziano i fenomeni oscillatori.

Il sistema si dice criticamente smorzato, tale comportamento è ricercato per le sospensioni automobilistiche.

λ₁ = λ₂ = −ω_n → x(t) = (A₁ + tA₂)e^−ω_nt.

La seconda soluzione ha la forma te^λt, mentre la soluzione del polinomio caratteristico è unica.

• 0 < ξ < 1: λ_1,2 = −ξω_n ± iω_n√(1 − ξ²) ∈ ℂ, complesse coniugate.

x₁(t) = e^−ξω_nt[B₁ cosω_dt + B₂ sinω_dt] = e^−ξω_ntC sin(ω_dt + φ).

ω_d = ω_n√(1 − ξ²) = pulsazione naturale smorzata.

C = √(B₁² + B₂²) e tgφ = B₁/B₂.

L’esponenziale determina l’andamento dell’ampiezza dell’oscillazione al variare del tempo; φ decide la posizione di partenza, C l’ampiezza.

Tale sistema si dice sottosmorzato. Nella taratura di sistemi meccanici si arriva ad avere un leggero sottosmorzamento, perché così il sistema arriva più rapidamente alla posizione di riposo e la sovraelongazione è “assorbita” da altri fenomeni di attrito.

Per poter fare queste tarature è necessario conoscere le caratteristiche del sistema, ma non sempre i produttori forniscono tutti i dati.

Es: Date le condizioni iniziali x₀ = 0 e ẋ₀ = v₀, quanto valgono B₁ e B₂?

1 · B₁ + 0 · B₂ = 0 → B₁ = 0.

ẋ(t) = −ξω_ne^−ξω_nt[B₁ cosω_dt + B₂ sinω_dt] + e^−ξω_nt[−B₁ω_d sinω_dt + B₂ω_d cosω_dt].

ẋ(0) = B₂ω_d = v₀ → B₂ = v₀/ω_d.

Quindi x(t) = e^−ξω_nt sinω_dt · v₀/ω_d.

Autovalori nel piano di Gauss

Come si collocano gli autovalori nel piano di Gauss?

Im
0 < ξ < 1 ω_n
−ξω_n + iω_d ξ = 0
Instabilità
ω ξ = 1 d
−ω_n ω_n
0 −∞ −ξω_n 0 Re
ξ > 1
−ξω_n − iω_d
−ω_n

Gli autovalori si muovono al variare di ξ lungo una circonferenza di raggio ω_n.

Stabilità di un sistema

Caratteristica del sistema: come risponde il sistema ad un disturbo che interviene ad alterare le condizioni di quiete, equilibrio:

• Risposta caratterizzata da ampiezza di oscillazione limitata e costante nel tempo → sistema stabile.
• Risposta che si attenua nel tempo ripristinando a regime le condizioni iniziali → sistema asintoticamente stabile.
• Risposta la cui ampiezza aumenta nel tempo, non è più garantito un comportamento lineare → sistema instabile.

Il segno della parte reale degli autovalori, λ, mi dice se il sistema è o meno stabile:

Re(λ) < 0 → sistema asintoticamente stabile.

Re(λ) = 0 → sistema stabile.

Re(λ) > 0 →