Appunti di Meccanica delle vibrazioni

MECCANICA DELLE VIBRAZIONI

Vibrazione Meccanica è una piccola oscillazione.

nel senso che l‟entità della vibrazione

Piccola in quantità di spostamento è piccola rispetto le dimen-

sioni del corpo che sta vibrando, (anche diversi ordini di grandezza di differenza). In realtà, le vibra-

zioni possono anche essere grandi, ma in tal caso il pezzo va subito a rottura, quindi, non è un caso

d‟interesse pratico.

Oscillazione è la ripetizione della variazione di una grandezza (meccanica, spostamento, velocità,

…) che può essere più o meno regolare nel tempo.

accelerazione,

Segnale = somma di infinite componenti armoniche

In genere un fenomeno oscillatorio è costituito da una somma di armoniche di numero più o meno finito.

A A t

t

Unica armonica (es. diapaso) Sovrapposizione di due armoniche (es. motori a c.i.)

A

A t f

Fenomeno più complesso in genere si porta il contenuto

armonico dal dominio del tempo a quello delle frequenze 1

Sommario

OSCILLATORE SEMPLICE ................................................................................................................................... 4

RISPOSTA LIBERA OSCILLATORE SEMPLICE NON SMORZATO ........................................................................... 5

RISPOSTA LIBERA OSCILLATORE SEMPLICE SMORZATO ................................................................................... 6

STABILITA’ DI UN SISTEMA ........................................................................................................................... 9

VIBRAZIONI “AUTOECCITATE” ...................................................................................................................... 9

FORZANTE COSTANTE: GRAVITA’ ............................................................................................................... 11

METODO DEL DECREMENTO LOGARITMICO .............................................................................................. 12

RISPOSTA FORZATA OSCILLATORE SEMPLICE SMORZATO ............................................................................. 14

FORZANTI ARMONICHE .............................................................................................................................. 15

RISPOSTA IN FREQUENZA DELL’OSCILLATORE SEMPLICE IN CUI SI HA INGRESSO FORZA USCITA

SPOSTAMENTO ........................................................................................................................................... 18

BANDA PASSANTE ...................................................................................................................................... 20

RAPPRESENTAZIONE FASORIALE ................................................................................................................ 21

SBILANCIAMENTO STATICO ........................................................................................................................ 23

RISPOSTA IN FREQUENZA INGRESSO FORZA USCITA FORZA ...................................................................... 25

MOLLE IN SERIE E IN PARALLELO ................................................................................................................ 27

ISOLAMENTO DELLE VIBRAZIONI PROVENIENTI DALL’ESTERNO ................................................................ 29

MODELLO DEL QUARTO DI VEICOLO .......................................................................................................... 30

FORZANTI PERIODICHE ............................................................................................................................... 32

FORZANTI GENERICHE ............................................................................................................................... 33

RISPOSTA IMPULSIVA DI UN SISTEMA .................................................................................................... 34

TRASFORMATA E ANTITRASFORMATA DI FOURIER ................................................................................ 36

TEOREMA DI CONVOLUZIONE ................................................................................................................ 39

MISURE ........................................................................................................................................................... 42

CATENA DI MISURA .................................................................................................................................... 47

CONVERSIONE ANALOGICO DIGITALE ........................................................................................................ 49

MODELLI MECCANICI RICONDUCIBILI AL MODELLO DELL’OSCILLATORE SEMPLICE ....................................... 54

OSCILLATORE SEMPLICE CON MOLLA DI MASSA NON TRASCURABILE........................................................... 65

FENOMENI VIBRATORI INDOTTI NEI MANOVELLISMI DI SPINTA DAL MOTO DELLE MASSE ........................... 69

MONOCILINDRO ......................................................................................................................................... 69

RAPPRESENTAZIONE ATTRAVERSO MASSE DI SOSTITUZIONE ................................................................ 71

4 CILINDRI IN LINEA .................................................................................................................................... 79

6 CILINDRI IN LINEA .................................................................................................................................... 80

3 CILINDRI IN LINEA .................................................................................................................................... 82

SISTEMI A PIU’ GRADI DI LIBETRTA’ ................................................................................................................ 83

MATRICE DI RIGIDEZZA ............................................................................................................................... 86

2

PROBLEMA AGLI AUTOVALORI ................................................................................................................... 87

MATRICE DI MASSA .................................................................................................................................... 90

ANALISI MODALE ........................................................................................................................................ 90

MODELLO DI META’ VEICOLO ..................................................................................................................... 99

BATTIMENTI ............................................................................................................................................. 103

SISTEMI DISSIPATIVI A PIU’ GRADI DI LIBERTA’ ............................................................................................ 110

CARICO MODALE: RISPOSTA FORZATA DI UN SISTEMA A PIU’ GDL .......................................................... 112

IMPULSO............................................................................................................................................... 114

FORZANTI ARMONICHE ........................................................................................................................ 115

SMORZATORE DI FRAHM o ASSORBITORE DINAMICO ATTIVO (ADV) ...................................................... 124

ESEMPI DI ASSORBITORI DINAMICI DELLE VIBRAZIONI ........................................................................ 124

PENDOLO CENTRIFUGO ........................................................................................................................ 128

ESEMPI SISTEMI A 2 GRADI DI LIBERTA’: VOLANI ..................................................................................... 130

SISTEMA A 3 GDL, CON UN GRADO DI LIBERTÀ DI MOTO RIGIDO ............................................................ 133

SISTEMI CONTINUI ....................................................................................................................................... 136

3

OSCILLATORE SEMPLICE Massa concentrata, vincolata a telaio tramite un elemento rigido

F

x M x N

k m

k F

el

(molla con una certa costante elastica, k).

F = −kx, il meno è giustificato dal riferimento uguale tra sposta-

el

Figura 1 mento e forza di reazione.

Il modello è considerato a un unico grado di libertà: si considera lo spostamento possibile solo lungo la dire-

zione verticale, mentre nelle altre direzioni si fa l‟ipotesi di elemento infinitamente rigido. In figura 1 è rappre-

sentata solo una massa (che accumula e restituisce energia) e una molla (che accumula e restituisce ener-

gia), quindi, non è un modello dissipativo, è un modello non smorzato. Tale modello non rappresenta un fe-

nomeno reale. Per poter meglio rappresentare la realtà si inserisce un fenomeno dissipativo. Si introduce un

dissipativo lineare, l‟attrito viscoso (lineare perché proporzionale alla velocità).

fenomeno (figura 2).

F

x Ns

M c m

F

v

k c F = −cx

v

La maniera di dissipare energia da parte dello smorzatore viscoso

è generalmente tramite effetto Joule, ossia si riscalda.

Figura 2

Solo in casi più complicati e particolari si abbandona l‟attrito viscoso e si introduce un modello dissipativo di-

verso (es. per la pale degli elicotteri serve introdurre un modello dissipativo d‟attrito radente). 4

RISPOSTA LIBERA OSCILLATORE SEMPLICE NON SMORZATO

F + F = Mx

el

Generalmente la massa non la si vuole tempo-variante; la dipendenza dal

tempo della forzante, F, non la si può stabilire a priori; la forza elastica, F ,

el

dipende dal tempo perché dipende dallo spostamento che a sua volta varia

con il tempo:

F t + F t = Mx t

el

, sostituendo nell‟equazione precedente si ricava l‟equazione del moto

F = −kx

La forza elastica è data da el

dell‟oscillatore semplice non smorzato:

EQ. DEL MOTO Mx t + kx = F t

È un‟equazione differenziale lineare, ordinaria (non alle derivate parziali), (considero la x unicamente variabi-

le rispetto alla variabile t), a parametri concentrati e coefficienti costanti .

La soluzione dell‟equazione sarà del tipo x(t) = x (t)+ x (t)

1 2

generale, (soluzione dell‟equazione omogenea associata all‟equazione differenziale

Con: x (t) integrale

1

Mx t + kx = 0;

x (t) integrale particolare, (dipendente dal tipo di forzante).

2 λt con λ radice dell‟equazione caratteristica, ossia dell‟equazione

e

Ipotizzo che la soluzione sia nella forma

algebrica ottenuta dalla differenziale di partenza sostituendo i termini di ordine 2 con termini di grado 2 e i

termini di ordine 0 con termini di grado 0.

2

Mλ + k = 0 EQ. CARATTERISTICA

k k

λ = ±i = ±iω ; Pulsazione naturale di un sistema: ω =

1,2 n n

M M

(λ numeri complessi coniugati)

1,2

Quindi l‟integrale generale x λ λ

(t) è la combinazione lineare delle soluzioni e :

1 1 2

λ t λ t −iω t iω t

x t = A e + A e = A e + A e

1 2 n n

1 1 2 1 2

2π

T= ω iφ

e = cosφ + senφ

Dalla formula di Eulero

X (t)

1 x t = B cosω t + B senω t

1 1 n 2 n

t 5

Otteniamo una combinazione lineare di due armoniche con medesima pulsazione, che può, quindi, essere

considerata come un‟unica armonica: x t = Ccos ω t + φ

1 n

2π 1 k

T= = ω = 2πf = 2πf

ω f M

(Aumentando la rigidezza, k,aumenta la frequenza delle oscillazioni, aumentando la massa, M, si abbassa la

frequenza di oscillazione. Nel primo caso ad es. si hanno sospensioni più sportive). Il comportamento

oscillatorio prosegue all‟infinito, perché il sistema non è smorzato, si ha un continuo passaggio di energia

cinetica in energia elastica e viceversa.

B1, B2 dipendono dalle condizioni iniziali in cui si trova il sistema:

x(t=0) = x = B

0 1 ω senω ω cosω

v(t=0) = v = B t + B t

0 1 n n 2 n n

La partenza con velocità diversa da zero implica che ci sia stato un urto prima della partenza , ciò è ricavabi-

le dal teorema dell‟impulso:

t t p

mdv

1 1 1

I= Fdt = dt = dp = Δp; p = mv = quantità di moto

dt

t t p

0 0 0

RISPOSTA LIBERA OSCILLATORE SEMPLICE SMORZATO

F + F + F = Mx

el v

Mx t + cx t + kx t = F t

x t = x t + x t

1 2

Dall‟equazione omogenea del sistema l‟equazione

Mx t + cx t + kx t = 0 ricavo algebrica caratteristica

2 L‟equazione caratteristica si scrive solitamente in una forma che deriva dalla forma cano-

Mλ + cλ + k = 0.

nica dell‟equazione differenziale omogenea:

2 ′

x t + 2ξω x t + ω x t = 0 (si ottiene dividendo i termini dell eq. differenziale omogenea per M)

n n

k c c

ω = ; 2ξω = ⟹ ξ = = Fattore di smorzamento

n n

M M 2 kM 6

Pulsazione naturale e fattore di smorzamento regolano il comportamento del sistema. Le radici

dell‟equazione caratteristica si chiamano autovalori, e descrivono la risposta del sistema.

2 2

λ + 2ξω λ + ω k = 0 Eq. caratteristica

n n

2 2 2

λ = − ξω ± ξω − ω = −ξω ± ω ξ − 1

1,2 n n n n n

Come si vede dall‟espressione varia con ξ:

precedente il valore degli autovalori

 ξ < 0

non ha senso fisico perché implicherebbe c negativo e quindi un apporto energetico continuo nel siste-

ma, impossibile in mancanza di un attuatore che è alimentato dall‟esterno.

 ξ > 1 2

λ = −ξω ± ω ξ − 1 ⟹ λ ∈ ℝ

1,2 n n 1,2

λ t λ t

↳ x t = A e + A e

1 2

1 2 λ t λ t

λ e e

sono negativi,quindi le funzioni e sono esponenziali decrescenti:

1 2

1,2 Il sistema è così tanto smorzato da non vibrare si

X 1 SISTEMA Ѐ SOVRASMORATO

dice infatti che il

(dissipa troppa energia). I corpi ripristinano le

X 0 condizioni di equilibrio in modo esponenziale. I

A due andamenti rappresentati in figura dipendono

B dalle condizioni iniziali:

X 0 ≠ 0; v

A: x = 0

0 0

t ≠ 0; v ≠ 0

B: x

0 0

X (t) Più è elevato ξ più è lenta la risposta del sistema.

1 di ξ

(All‟aumentare i due autovalori sono sempre

ξ reali, in particolare uno tende a zero, l‟altro a -∞,

per cui sono numeri reali sempre negativi che

t possono essere visti come caso particolare di

numero complesso con Im = 0).

 ξ = 1

Il sistema si riporta nel modo più veloce possibile X (t)

1 ξ > 1

alla condizione di equilibrio prima però del rag- ξ = 1

giungimento dei fenomeni oscillatori ( è ξ < 1

l‟esponenziale più bassa possibile, per ξ<1 inizia-

no i fenomeni oscillatori). Il sistema si dice CRI-

TICAMENTE SMORZATO, (tale comportamento

è ricercato per le sospensioni automobilistiche). t 7

−ω t

λ = λ = −ω → x t = A + tA e n

1 2 n 1 1 2 λt

te

(La seconda soluzione ha la forma , mentre la soluzione del polinomio caratteristico è unica).

 0 < ξ < 1 2

λ = −ξω ± iω 1 − ξ ∈ ℂ, complesse coniugate

1,2 n n

2

X1(t) = −ξω t

↳ x t = e B cos ω t + B sin ω t

n

1 d 2 d

−ξω t

= e Csin(ω t + φ)

n d

t 2

ω = ω 1 − ξ = PULSAZIONE NATURALE SMORZATA

Con d n B

1

12 22

C= B +B e tgφ = B 2

−ξω t

L‟esponenziale determina l‟andamento dell‟ampiezza

Ce

Tale sistema si dice SOTTOSMORZATO. n

dell‟oscillazione al variare del tempo; φ decide la posizione di partenza, C l‟ampiezza. Nella taratura di

sistemi meccanici si arriva ad avere un leggero sottosmorzamento , perché così il sistema arriva più

rapidamente alla posizione di riposo e la sovraelongazione è “assorbita” da altri fenomeni di attrito. Per

poter fare queste tarature è necessario conoscere le cararreristiche del sistema, ma non sempre i

produttori forniscono tutti i dati.

x 0 = 0 e x 0 = v

Es: Date le condizioni iniziali quanto valgono B e B ?

0 1 2

1 ∙ ⋅ 1 + ∙ 0 = 0 ⟹ = 0

1 2 1

d −ξω t −ξω t

x t = x t = −ξω e B cos ω t + B sin ω t + e −B ω sin ω t + B ω cos ω t

n n

n 1 d 2 d 1 d d 2 d d

dt v

0

x 0 = B ω = v ⟹ B =

2 d 0 2 ω d

v 0 −ξω t

Quindi x t = e sin ω t

n d

ω d

Come si collocano gli autovalori nel piano di Gauss?

Im

0 < ξ < 1 ω n

-ξω +i ω

n d ξ = 0

INSTABILITA’

ω

ξ = 1 d

-ω ω

n n

0

-∞ -ξω 0

n Re

ξ > 1 Gli autovalori si muovono al variare di ξ

-ξω -i ω lungo una circonferenza di raggio ω

n d n

-ω n 8

STABILITA’ DI UN SISTEMA

Caratteristica del sistema: come risponde il sistema ad un disturbo che interviene ad alterare le condizioni di

quiete (equilibrio): da ampiezza di oscillazione limitata e costante nel tempo → SISTEMA STABILE

1. Risposta caratterizzata

Risposta che si attenua nel tempo ripristinando a regime le condizioni iniziali → SISTEMA ASINTOTI-

2. CAMENTE STABILE un comportamento lineare) → SI-

3. Risposta la cui ampiezza aumenta nel tempo, (non è più garantito

STEMA INSTABILE

Il segno della parte reale degli autovalori, λ, mi dice se il sistema è o meno stabile:

Re(λ) < 0 → SISTEMA ASINTOTICAMENTE STABILE

Re(λ) = 0 → SISTEMA STABILE

Re(λ) > 0 →