Appunti di Meccanica delle vibrazioni

B

dell‟accoppiamento rotoidale nel pattino evita l‟insorgere di una coppia come vincolo.

y

x

R R

e sono le reazioni vincolari nel perno di banco.

O O in quanto sono interne al meccanismo, e l‟equilibrio deve

Le reazioni vincolari in A non sono state esplicitate

sussistere tra le forze esterne.

La forza peso non viene considerata sia perché il meccanismo potrebbe trovarsi sul piano orizzontale, sia

perché in confronto alle forze in gioco risulta trascurabile.

Prima di scrivere l‟equilibrio newtoniano delle varie forze agenti, risulta utile una semplificazione della biella

attraverso MASSE DI SOSTITUZIONE. Le masse di sostituzione sono masse collocate in modo opportuno

che si comportano dinamicamente come il corpo di partenza. La rappresentazione attraverso masse di sosti-

tuzione semplifica enormemente la trattazione, infatti, tale rappresentazione è spesso utilizzata per procedu-

re di equilibratura di meccanismi. 70

PRINCIPIO DI D‟ALEMBERT

Durante il moto di un sistema materiale sussiste sempre equilibrio tra forze esterne (attive e reazioni)

e forze d‟inerzia.

Essendo i il generico punto materiale di un sistema si avrà:

F + R = m a

i i i i

Tale espressione può essere scritta anche nel seguente modo:

F + R − m a = 0

i i i i

E definendo

iinerzia

F = −m a

i i

Risulta: iinerzia

F + R + F = 0

i i

IMPORTANTE: la forza d‟inerzia viene definita come l‟opposto di massa per accelerazione.

il principio di D„Alembert permette di:

Pensare l‟equilibrio di un sistema come un semplice equilibrio di forze.

-

- Applicare conseguentemente il principio dei lavori virtuali indifferentemente a forze realmente

agenti e a forze d‟inerzia.

RAPPRESENTAZIONE ATTRAVERSO MASSE DI SOSTITUZIONE

Un corpo rigido può essere sostituito da un insieme di masse dinamicamente equivalente; affinché sussista

l‟equivalenza dinamica l‟insieme di masse soggetto allo stesso sistema di forze del corpo rigido deve rispon-

dere allo stesso modo di quest‟ultimo. Devono allora valere le seguenti equazioni di equilibrio:

ix

F = mx G

i y

F = my

G

i

i jG G

F = I α

j 71

Dalle equazioni di equilibrio si ricava che, perché due sistemi siano dinamicamente equivalenti, deve essere

uguale il loro centro di massa, devono avere stessa massa equivalente e uguale momento d‟inerzia rispetto

al centro di massa. m x y

Sia m la massa del corpo rigido, da sostituire con un sistema di n masse, , di coordinate e deve vale-

i i i

re: n

1. m = m

i

i=1

n

G 2. m P − O = m G − O

i i

P − O i=1

Che equivale a:

G − O n n

2.1 m x = mx → m x = 0

i i G i i

i=1 i=1

O n n

2.2 m y = my → m y = 0

i i G i i

i=1 i=1

( se G ≡ O sistema

di coordinate baricentrico)

n 2 2 G

3. x + y m = I (se il sistema di riferimento è baricentrico)

i i i

i=1

Le equazioni da soddisfare sono quattro (1, 2.1, 2.2, 3), per cui si hanno quattro incognite, ciò significa che

qualsiasi corpo rigido può essere sostituito da quattro masse dinamicamente equivalenti (se messe in modo

intelligente se ne possono usare anche meno).

tutte allineate sull‟asse x passante

Se le masse sono b

a

per il centro di massa allora, l‟equazione

n G

m y = 0

i i

i=1

è automaticamente soddisfatta, per cui sono sufficienti m

m m t

r G massa

massa massa

tre masse. traslante

rotante baricentrica

m + m + m = m

r G t b

−m a + m b = 0

r t

2 2 G,b

m a + m b = I

r t 72

m

Per semplificare ancora, dato che non semplifica i calcoli essendo soggetta sia a rotazione che a trasla-

G

m e m

zione, a differenza di , si introduce il concetto matematico, e non fisico, di INERZIA DI SOSTITU-

r t

ZIONE, ossia si aggiunge nel sistema un‟inerzia baricentrica in più.

m + m = m

r t b L

−m a + m b = 0

r t I

b

2 2 G,b

m a + m b + I = I

r t b G

b b m

m

=

m m = m t

r

r t b

a L

a a

=

m m = m

t b b

a+b L

G,b 2 2

I = I − m a − m b

b r t

Il meccanismo biella manovella così semplificato è il seguente: x

R O

y

R O

F R

G B

m t

B − m + m a

p t p

−I α

b b

G,m

−I′ α m

y

p

m r

A

y O

M

x C

L‟ effetto che si manifesta in corrispondenza del centro di massa della manovella che si muove a ω=cost è

un‟accelerazione centrifuga, che diventa tanto maggiore quanto più grande è . Allora si contrappesa la

m

r

l‟effetto centrifugo

manovella per bilanciare ,in modo che questa grande forza non si scarichi sul cuscinetto

in O. 73

Massa che sposta il centro di massa del sistema manovella più massa ro-

tante della biella in O, ossia sul perno di banco. Tale massa bilancia le forze

centrifughe ma aumenta l‟inerzia, quindi occorrerà un po‟ di energia in più

m

per la movimentazione. Il valore della massa del contrappeso, , è ricava-

c

bile dalla seguente equazione:

m C − O = m G − O + m A − 0

c m m r

Equazioni di equilibrio del sistema biella-manovella semplificato:

- EQUILIBRIO ALLE TRASLAZIONI

x

R + R = 0

B

O

(L‟uguaglianza a zero è dovuta al fatto che si sta usando il principio di D‟Alembert, quindi le forze

d‟inerzia sono considerate forze esterne)

Dall‟equazione precedente si ricava che le forze che si scaricano sul perno di banco e sulla camicia del

pistone sono uguali in modulo ma in verso opposto, quindi danno origine a una coppia di forze che tende

a ribaltare il motore.

y

R − m + m a − F = 0

p t p g

O

- EQUILIBRIO ALLE ROTAZIONI RISPETTO AL POLO O

G

−R y − I α − I′ α + M = 0

m

B p b b m G

I α I′ α

Il termine è sempre diverso da zero, ma piccolo, mentre il termine se il motore gira a velocità

m

b b m

è nullo; quindi, in prima approssimazione si può riscrivere l‟equazione precedente

angolare costante

come: M

R y = M → R =

B p B y

p

x x

formano la coppia di forze che equilibra M, per cui se non c‟è coppia resistente (al minimo)

R e R R e R

B B

O O

sono molto basse. Blocco

Per evitare che il motore si ribalti per effetto della coppia motore

x

R , R deve essere opportunamente montato.

B

O Elementi

sospensioni bloccaggio

motore 74

Considerando il blocco motore nel suo insieme, e non soltanto il manovellismo di spinta si ha che lungo y

y

l‟equilibrio alle R = m + m a F

traslazioni è , infatti nel blocco motore è equilibrata perché il manovelli-

p t p g

O

smo genera una forza uguale in modulo e opposta in verso. Il blocco motore si comporta quindi come un o-

scillatore semplice soggetto a un carico inerziale, questo se la coppia M è piccola (condizione di minimo),

x

R , R

altrimenti si genera anche la coppia di forze , che tende a ribaltare il motore e aggiunge un altro gdl.

B

O

Si supponga di essere al minimo, si può allora studiare il blocco motore come un oscillatore semplice sog-

− m + m a

getto alla forza (forza prodotta dal meccanismo interno).

p t p

− m + m a

p t p m = massa del blocco motore = massa ferma + massa in rotazione

b

m − m + m a

m u + cu + ku =

b p t p

b u

k c L‟accelerazione del pattino non sarà solo l‟accelerazione del pattino B rispetto al

perno di banco O, questa infatti, è un‟accelerazione relativa, a , dato che il pattino è

r

B montato nel blocco motore che a sua volta si muove, pertanto si ha:

a = a ; = acc. blocco motore, a = acc. relativa

u + u

p r r

m − m + m a − m + m a − m + m

u + cu + ku = = u

b p t p p t r p t

A m + m + m u + cu + ku = − m + m a

b p t p t r

mu + cu + ku = − m + m a

p t r

O equazione differenziale a coefficienti costanti dell‟oscillatore semplice.

a

APPROCCIO PER CAPIRE , PER MECCANISMI BIELLA MANOVELLA CENTRATI (Non ha validità gene-

r

rale!!!) ϑ = coordinata libera = posizione di manovella

x = posizione del pattino

A p

k

r 2 2 2

x = rcosϑ + k − r sin ϑ = x ϑ = x ωt

ϑ p p p

B 2 2 2

x = rcos ωt + k − r sin ωt

p

O x p 75

, anche l‟accelerazione

T = 2π ω a = x

Lo spostamento è una funzione periodica di periodo è una funzione

r p

a t = a t + T

periodica r r

dx dx dx

dϑ

p p p

ϑ = = ω

dt dϑ dt dϑ

2 2

d x d x dx

p p p

2

ϑ = ω + α

2 2

dt dϑ dϑ

l‟accelerazione è periodica

Dato che può essere espressa come una somma numerabile di infiniti termini

ω.

armonici di pulsazione multipla intera di

Lo sviluppo in serie di Fourier dell‟accelerazione è il seguente:

∞

a = A cos nω t + α

r n n

n=0

La prima componente armonica è data dal primo sviluppo in serie.

2

r

2 2 2 2

x = rcosϑ + k − r sin ϑ = rcosϑ + k 1 − sin ϑ

p 2

k

r = λ rapporto lunghezza manovella su biella < 1

k 2

r ≪ 1 → x ≅ rcosϑ + k

p

k dx p

x = = −ωrsin ωt

p dt

2

d x p 2

x = = −ω rcos ωt

p 2

dt a

Dato che è periodica il motore è soggetto ad una forzante periodica, per cui la sua risposta sarà per il

r

principio di sovrapposizione degli effetti la somma delle risposte ai vari contributi periodici.

2

m + m ω rcos ωt

mu + cu + ku = p t

2

m + m ω rcos ωt

p t ′

= FORZA ALTERNA DEL I ORDINE che agisce sul sistema, F (forza d inerzia dovuta a massa in moto alternativo)

AI

NOTA: l‟estremità della manovella per ω costante ha accelerazione armonica, ma questa si trasmette alla

biella come accelerazione periodica!

s = m + m r

p t 2

sω cos ωt SBILANCIAMENTO STATICO

mu + cu + ku = 76

Come prima approssimazione il sistema risponde alle

x iω forze alterne del primo ordine come un oscillatore

plice sottoposto a sbilanciamento statico. Quindi a re-

gime minimo si dovrebbero avere