Appunti teoria Meccanica delle vibrazioni

FRF

equazione di moto: mẍ + hẋ + kx = F(t)

1. CASO BANALE:

mẍ + kx = 0 SISTEMA NON SMORZATO (OMEGENEO)

soluzioni generiche:

x(t) = x̅1λ₁^t

ẋ(t) = x̅1λ₁^t

ẍ(t) = x̅1λ₁^t

PULSAZIONE PROPRIA

SOLUZIONE INTEGRALE GENERALE.

X = X₀e^iω0t + X̅₂e^−iω0t

• x₁ e x₂ condizioni di contorno a t = 0
• soluzioni reali modo x₁ x₂ sono coniugate coniugate i.cit. simmetriche rispetto all'asse dei

dove il periodo T = ^2π/_ωd → ALFA frequenza se ω ↑⟺ k↑↑ m↓

GRAFICAMENTE

ARMONICO

x(t)

+h ≠ 0 SMORZATO (OMEGENEO)

soluzioni generiche

ẋ = x̅1λ₁^t

ẍ = x̅1λ₁^t

note: sistema smorzato ha una frequena caratteristica

Definiamo:

1. h = ^h/_2mω0 FATTORE DI SMORZAMENTO
2. RIC. = 2mω0 SMORZAMENTO CRITICO → per Δ = 0

Risolvendo λ_1,2 = -ω0h ± √ω₀²h⁻¹

il Δ definisce la frontiera fra un sistema che vibra e che non vibra

soluzioni [STABILE NON ASINTOTICA]

Δ > 0 → ℝ⁻ non oscilla

Δ < 0 → ℝ⁺ oscilla

Il fattore di smorzamento domina il moto e si distinguono 3 casi

1. Sistema sottosmorzato

   < M > 1

   λ_1,2 = -ω_N ± i ω_N√1-h² = -σ ± i ω_D

   Integrale generale:

   x(t) = e^-σt (x₁e^iω_Dt + x₂e^-iω_Dt) = e^-σt (A cos ω_Dt + B sen ω_Dt) = e^-σt [cos (ω_Dt + ψ)]

   Grafico:

   • L'ampiezza decresce esponenzialmente con il tempo

2. Sistema sovrasmorzato

   ω_N> h > 1

   λ_1,2 = -ω_N h ± ω_N√h²-1

   Soluzione generale: x = x₁ e^λ₁t + x₂ e^λ₂t

   Grafico:

   • Il sistema torna in equilibrio senza compiere oscillazioni

3. Caso critico

   h = 1: M = M_c

   Δ=0 → x(t) = x₁ e^λ₁t + t x₂ e^λ₁t

   b λ_1,2 = -π/2m

LAGRANGE

(SCRITTURA EQ DI MOTO)

• qⁱ = coordinata libera
• E_c = energia cinetica

dalla posizione della massa nel sistema:

monoelismo: qⁱ = d_g/dt

per questo m = f(posizione)

Quindi:

d/dt [ E_c/∂qⁱ ] + ∂V/∂qⁱ + ∂D/∂qⁱ = 0

1) E_c = m(q) ẏ²

d/dt [ E_c/∂qⁱ ] = m(q)ẏ ẏ̇ + d/dt ( m(q)) ẏ = m(q)ẏ ẏ̇ + (dm/q_i)(q)_i ẏ²

2) E_c = 1/2 [m(q)/∂qⁱ] ẏ²

⇒ d/dt [ E_c/∂qⁱ ] - ∂E_c/∂qⁱ = m(q)ẏ ẏ̇ + 1/2 [∂/∂qⁱ] [m(q)/∂qⁱ] ẏ²

Se la massa generalizzata non dipende dalla posizione (q), mi aspetto solo termini inediti lineari ;

d/dt [ E_c/∂qⁱ ] - ∂E_c/∂qⁱ = m ẏ ẏ̇ ⇒ E_c forma quadratica

* ∂V/∂qⁱ = ENERGIA POTENZIALE

V = V_k + V_g M^k molle, mi capovolge ⇒ V = 1/2 ∑_i=1^M_k k_i Δ_i² + ∑_j=1^M_g mh ẏ_gj

Se x = posizione (at equilibrato) ⇒ V = ∑_i=4^k_i j

V = V_k + ∑k Δ_jⁱ x + Δ_jⁱ km

Stabilire dell’allungamento rispetto alla coordinata libera, componenti tangenziale della forza elastica per quella nello spostamento del condilosi Tutta la forza alla massa nell’allungamento della massa stessa

PRESENZA DI UNA FORZANTE

Campi di forze: Ipotesi che F non sia funzione del tempo ma della posizione

Stato del sistema: z = [ x, ẋ ] F è una funzione dello stato F = F(x,ẋ)

EDM: mẍ + Hẋ + Kx = F(x,ẋ)

1. Calcolo la posizione di equilibrio: KXₒ = F(Xₒ,0)

Con Xₒ: posizione di equilibrio statico

2. Line­arizzo

mẍ + Hẋ + Kx = F(Xₒ,0) + (∂F/∂x)_x=Xₒ(x−Xₒ) + (∂F/∂ẋ)_ẋ=0ẋ

Prendo { x̃ = x−Xₒ x̃̇ = ẋ x̃̈ = ẍ

Sostituisco (2) in (1)

mx̃̈ + Hx̃̇ + K(x̃+Xₒ) = F(Xₒ,0) + (∂F/∂x)_x=Xₒ + (∂F/∂ẋ)_ẋ=0

=> mx̃̈ + Hx̃̇ + Kx̃ + KXₒ = F(Xₒ,0) - Kx̃ - H_F x̃̇

Da cui: m x̃̈ + ( H + H_F ) x̃̇ + ( K + K_F ) x̃ = 0

• K_F funzione della posizione;
• H_F funzione della velocità.

Equazioni che derivano il moto libero del sistema, omogenea.

ω₀ = √K_r/m h = H_r/m

NB: K_F ≥ 0 ⇒ K_r ≥ 0 H_F ≥ 0 ⇒ H_r ≥ 0

Rotazione del Profilo: (Vibrazioni Torsionali)

BF: Rotazione

• a: 2 sistemi molla-smorzatore rappresentano la rigidezza flessionale del profilo dove
• b: distanza dall'asse di rotazione

EDM: Jθ̈ + nbθ̇ + kbθ = M (coppia aerodinamica)

• M = (1/2)ρVr²cClh(9)s c

c: corda

Osservazioni:

VR = Vrθ(θ,θ̇) → Jθ̈ + kθ̇ + kβ = M(θ,θ̈)

ci aspettiamo che il campo di forze modifichi lo smorzamento e la rigidezza del sistema

relativi con cui il profilo viene riportato

√n_z² = (bθ̅′)² + u²

• γ = α + ψsn dipenda da u_∞ → ψ = arch bθ̅′^u_∞
• dipende dalla posizione (angolo rispetto all’orizzontale)

α = θ - ψ = θ - arch bθ̅′^u_∞

portalo Clh(s) → Clh(θ, θ̈) M(θ,θ̈) → qScClh(θ,θ̈)

Ondezzanno i trunini: (Piccole Oscillazioni)

√n_z² ≈ u ∞² perche bθ̅′ piccolo

• M = A₂ ρVr² Sc Clh(θ, θ̈) → (1/2)ρu² Sc Clh(θ,θ̈)

q: non dipenda del movimento del sistema

ψ = arch bθ̅′^u_∞ → α = θ - bθ̅′^u_∞ → non lineare → Clh(x)

Energia Potenziale

V = ₁/₂ ∑_{j = 1}^mk K_jΔξ_j² = ₁/₂ ΔΞ^T[K]ΔΞ + P^Th

dove ΔΞ^T = [Δξ₁, Δξ₂ ... Δξ_mk] [K] = [_{[K]11 ... [K]mk}] P^T = [ρ₁ ... ρ_mp h^T = [h₁ ... h_mp]

Δξ_j = Δξ_j(x, x₁, x₂,..., x_ns) ⇒ ΔΞ = ΔΞ(x) l_rj = l_rj (x₁, x₂,..., x_ms) = l_rj(x) ⇒ h = h(x) [Σ funzione delle posizioni]

[Σ] il potenziale: V = ₁/₂ ΔΞ^T(x) [K]_stΔΞ(x) + P^Th(x)

Provo a linearizzare cercando una forma quadratica sviluppando V in serie di Taylor intorno a [Σ] una posizione di eq. Statica x' = x - x_o V = V(x₀) + ∣ _dV/_dx ∣_x=xo × ₁/₂ x_{1 d}/_jx)² (b)

1. Derivata Prima:

• ∣_d/_dx ∣[K] [_dk]/[dx]
• dΨ^TQ ∣ _di/_dx Ψ ⇒ 3 variabili → matrici

[ΔΞ] e [∫∫] sono matrici; quando faccio la derivata seconda diventano matrici tridimensionali Scrivo & Ξ' secondario svolto scrivo in una forma mista fra la sezione ₁[ Ξ j ] h [ Ξ'/ ∂xi ] = (∑^mk Kj Ξi j [ Ξ'/ ∂x ] ) ^T (∑ _[Ψ]j [ Ξj ] )

b) Derivata Seconda: ∣ [Ξ'/Ξ'] = (∑^mk ( dlil/Kdll Ξi Ξ )_x=xo]) (b.1) ∣ Ξi'_J=1^mk Ξj Kj _{dξj d}/_jx_i ∣ = [ΔΞ [K] [Λ_k] ∣ = ∣ _{/ ∂Xo x=xo}

con [Λ_K] = [ ∣ _0'(o)/ ∂x_i ∣ ] valutato nella posizione di eq. statico x = x₀