Appunti di meccanica dei sistemi biologici

Rotazione elementare di un angolo α intorno asse x

• 1
• 0 cosα -senα
• 0 senα cosα

Rotazione elementare di un angolo β intorno all'asse y

• cosβ 0 senβ
• 0 1 0
• -senβ 0 cosβ

Rotazione elementare di un angolo γ intorno all'asse z

• cosγ -senγ 0
• senγ cosγ 0
• 0 0 1

Angoli di Eulero:

Descrivono la posizione di un sist. di riferimento XYZ solidale con un corpo rigido attraverso una serie di rotazioni a partire da un sist. di rif.inermio fisso xyz. Se i piani xy e XY sono distinti, si intersecano in una retta passante per l'origine, la linea dei nodi.

• α → Tra l'asse X e la linea dei nodi angolo di precessione
• β → Tra gli assi Z e z angolo di nutazione
• γ → Tra la linea dei nodi e l'asse x angolo di rotazione propria

Angoli di Tait-Bryan

• α: imbardata
• β: rollio
• γ: beccheggio

Descrizione di un sist. di riferimento solidale a un corpo mobile

• Posizione dell'origine di [B] rispetto [A]
• Orientazione di [B]

CAMBIARE IL RIFERIMENTO DI POSIZIONE E ORIENTAMENTO DI UN PUNTO

Voglio cambiare di riferimento rispetto (A), il punto che è rispetto al sistema (B) che è:

A_P = B_P + A_BORG

In questo caso ho traslato (B) rispetto (A), in modo che gli assi restano orientamenti paralleli - MAPPATURA

MAPPATURA DI UN VETTORE TRA SIST. DI RIFERIMENTO RUOTANTI CON LA STESSA ORIGINE

A_P = A_RBP_P

ROTO

O

MATRICE DI ORIENTAMENTO

MAPPATURA PER SISTEMI DI RIFERIMENTO RUOTATI E TRASLATI

1) Mappo i vettori considerando solo la rotazione.

A_P = A_RPB_P

2) Considero la Traslazione:

A_P = B_RPB_P + A_PORG

→ A_P = A_BAT^B_P

TRASLAZIONE DI UNO SPOSTAMENTO RAPPRESENTATO DA UN VETTORE

A_B = P_B + Q

→ A_AB = Da(q)A_P

Da(q) =

• [0 0 qx]
• [0 0 qy]
• [0 0 qz]
• [0 0 1 ]

Per calcolare _B devo conoscere ₃, poiché B si trova su ₂ accelerazione è di tipo O₂A.

Dico che _B = ₃O₂B

E calcolo _B.

Per chiudere il poligono fittizio do B e traccio ₃, O₂B nel verso da B verso O₄ + traccio perpendicolarmente a questo ₃O₂B + intersezione delle linee fornisce la punta del vettore AB.

SISTEMA ARTICOLATO CON 2 SEGMENTI

Due corpi collegati da un giunto rotoidale.

Il corpo è collegato al suolo con un giunto rotoidale.

Scegli i sistemi di riferimento con Denavit-Hunteinberg:

• Asse sul senso di rotazione dei singoli giunti
• Asse deve essere asse dei sormetto
• Asse forma una terna destra con i primi due

Per ottenere la posizione del punto 3 rispetto al sistema fisso e sapendo che ₁, ₁ e i ₂ si ha:

₃ = ₂sin⍺₂ - ₂cos⍺₂ 00 ⍺₃ −₂m_x1 m_{⍺3 2}m_⍺x2

Per ottenere la velocità di ₃ devo le matrici precedenti:

₃ = [-₂m_⍺12 + ₂km_s⍺2 − ₂m_{x1 2}2205   a₂m_x1zka₂m_x2

() = JACOBIANO

La velocità può essere espresso come prodotto di una matrice dipendnti dagle angoli ⍺_i e di un vettore derivato di questi angoli.

Momento d'inerzia

Il momento d'inerzia di un corpo, rispetto un dato asse, descrive la tendenza ad opporsi alla rotazione.

Il momento d'inerzia di massa è funzione di come è distribuita la massa al suo interno.

Indica la resistenza alle variazioni dello stato di moto.

Il momento d'inerzia di superficie indica la resistenza di una sezione a flettersi rispetto un asse di riferimento.

Matrice di inerzia

J = _{Jxx -Jxy -Jxz-Jxy Jyy -Jyz-Jxz -Jyz Jzz}

J = _Jxx 0 00 _Jyy 00 0 _Jzzse l'asse di simmetria coincide con l'asse d'inerzia

Solido cilindrico

dJzz = ∫₀^R(r²drdθ)dz = ρ ∫₀^Rr²dr = ρ πR⁴/2 dz = ρ πR⁴/2 H

dJxx = ∫(y²dr)dz = ρ( ∫₀^2π) dε f(r)dr)dz == ρ( ∫₀^R∫₀^2π r³cos²zdr)dz = ρ R⁴ ( ∫₀^π 1/2(1+cos2z) dz) dz == ρ R⁴ πR = 1/4 H R²

H = πR²H

I_yy = ρ( ∫(x²dz)dz = ρ( ∫₀^2π r²cos² θ(drdθ )dz == ρ( ∫ r⁴/2 dz)

= ρ^R4/4 πR = 1/4 H R²