Appunti di meccanica dei sistemi biologici

ROTATIONE ELEMENTARE DI UN ANGOLO α INTORNO ASSE X

[ 1       0       0 ][ 0   cosα   -senα ][ 0   senα   cosα ]

ROTATIONE ELEMENTARE DI UN ANGOLO β INTORNO ALL' ASSE Y

[ cosβ   0   senβ ][     0      1       0 ][ -senβ   0   cosβ ]

ROTATIONE ELEMENTARE DI UN ANGOLO γ INTORNO ALL' ASSE Z

[ cosγ   -senγ   0 ][ senγ    cosγ   0 ][     0        0       1 ]

ANGOLI DI EULERO

Descriviamo la posizione di un sist. di riferimento XYZ solidale con un corpo rigido attraverso una serie di rotazioni a partire da un sist. di riferi-

mento fisso xyz.

Se i piani xy e XY sono distinti, si intersecano in una retta passante per l'origine,

LA LINEA DEI NODI.

• α → Tra l'asse x e la linea dei nodi ANGOLI DI PRECESSIONE
• β → tra gli assi z e Z ANGOLI DI NUTAZIONE
• γ → Tra la linea dei nodi e l'asse X ANGOLI DI ROTAZIONE PROPRIA

ANGOLI DI TAIT-BRYAN

• α: IMBARDATA
• β: ROLLIO
• γ: BECCHEGGIO

DESCRIZIONE DI UN SIST. DI RIFERIMENTO SOLIDALE A UN CORPO MOBILE

[B] = [B_R, AP_orgA] → POSIZIONE DELL'ORIGINE

[ T ]_{TERRA MOBILE} ORIENTAZIONE DI [B]

1

ROTATIONE ELEMENTARE DI UN ANGOLO α INTORNO ASSE X:

1 0 00 cosα -senα0 senα cosα

ROTATIONE ELEMENTARE DI UN ANGOLO β INTORNO ALL' ASSE Y:

cosβ 0 senβ0 1 0-senβ 0 cosβ

ROTATIONE ELEMENTARE DI UN ANGOLO γ INTORNO ALL' ASSE Z:

cosγ -senγ 0senγ cosγ 00 0 1

ANGOLI DI EULERO:

Descriviamo la posizione di un sist. di riferimento XYZ solidale con un corpo rigido attraverso una serie di rotazioni a partire da un sist. di riferi-mento fisso xyz.Se i piani xy e xy sono distinti, si intersecano in una retta passante per l'origine,la LINEA DEI NODI.

• α -> Tra l'asse x e la linea dei nodi ANGOLO DI PRECESSIONE
• β -> Tra gli assi z e z' ANGOLO DI NUTAZIONE
• γ -> Tra la linea dei nodi e l'asse X ANGOLO DI ROTAZIONE PROPRIA

ANGOLI DI TAIT-BRYAN

α: IMBARDATAβ: ROLLIOγ: BECCHEGGIO

DESCRIZIONE DI UN SIST. DI RIFERIMENTO SOLIDALE A UN CORPO MOBILE

[_B] = [_BRBpos] TTerramobile

• [_Bpos] POSIZIONE DELL'ORIGINE DI [_B] RISPETTO (A)
• [_BR] ORIENTAZIONE DI [_B]

1

CAMBIARE IL RIFERIMENTO DI POSIZIONE E ORIENTAMENTO DI UN PUNTO

Voglio cambiare di riferimento rispetto [A], il punto che è rispetto al sistema [B] che è Bp'.

Ap = Bp' + ABorg (TRASLO)

In questo caso ho traslato [B] rispetto [A], in modo che gli assi restano orientamenti paralleli => MAPPATURA

MAPPATURA DI UN VETTORE TRA SIST. DI RIFERIMENTO RUOTANTI CON LA STESSA ORIGINE

Ap = _AR^Bp

• matrice di rotazione orientamento

• ruoto rappresenta se nel posiz.omina

MAPPATURA PER SISTEMI DI RIFERIMENTO RUOTATI E TRASLATI

1. Mappe il vettore considerando solo la rotazione:

Ap = _AR^Bp

2. Considero la traslazione:

Ap= B

A = (B_R^B_p' + Apcorr,) => Ap= A_T^Bp

rototraslazione matrice di trasformazione

TRASLAZIONE DI UNO SPOSTAMENTO RAPPRESENTATO DA UN VETTORE

AB = Pa' + Q

AB = Da(q) Pa

Da(q) = [.01qX00qY0000qZ00001]

VETTORE TRASLAZIONE

Operatori di Rotazione

Rotazione intorno x

Vettore posizione nullo

Operatori di Rototraslazione (pag. 42)

β₂ = T₂P₁

• P₂ può mappare z fumi traslate e mutati
• P₁ può compiere una rototraslazione a un vettore

Sequenza di rotazione intorno ad assi fissi

ci sono 12 sequenze rispetto ad assi fissi e mobili.

R_x(α,γ,β,z,y,x) = R_z(γ) R_y(β) R_x(α)

Il risultato del prodotto matriciale va messo in ordine inverso rispetto alla sequenza di rotazione.

Se ho assi mobili posso anche non tener conto dell'ordine.

Cos'è il blocco cardanico (Gimbal Lock)?

È causato dall'allineamento di 2 assi iscenti verso la stessa direzione. Il blocco causa la perdita di un grado di libertà così portando all'asse bloccato.

Per ricavare gli angoli da una matrice di rotazione uso:

γ = Atan2(0.311x²y²z²)

y = Atan2(γ_xzzzcosβ cosγ)

x = Atan2(γ_γxγγcosβ cosγ)

Angoli di Cardano

• Una rotazione di α intorno all'asse z
• Una rotazione di β intorno all'asse x', dopo eseguite la 1° rotazione
• Una rotazione di γ intorno all'asse y', dopo eseguiti le prime 2 rotazioni

ROTATIONE INTORNO AD UN ASSE GENERICO

Devo far coincidere l'asse k con uno degli assi coordinamenti.

Ruoto intorno all'asse z di angolo φ (notazione ohara) =>

cosφ = kx senφ = ky

kxy

k = vettore unitario

= R_z1,φ [ cosφ senφ -senφ cosφ 0 0 0 ]

Ora faccio ruotare il vettore intorno k_x intorno α y dell'angolo x y. Si tratta di una rotazione ohara che porterà k_x a coincidere con l'asse z.

R_xy,δ = [ cosδ -senδ 0 senδ cosδ 0 0 0 1 ]

Campo ora una rotazione intorno l'asse z di angolo δ:

R_z1,θ = [ cosθ -senθ 0 senθ cosθ 0 0 0 1 ]

Poiché ora l'asse k nella sue posizione originaria con una rotazione intorno a y di angolo -φ che compensazione del precedente è una rotazione intorno z, θ di angelo -φ

R_xφ = R_z1,φ · R_xy,-δ · R_y,-θ · ( R_z,θ · ( R_y,δ · R_z1,ψ )

Tutte queste sono rotazioni intorno ad assi fissi.

ARTICOLAZIONE COXO-FEMORALE

GIUNTO SFERICO

Sistema fisso ₀ con origine nel baricentro del corpo.Cambio il sistema di riferimento a quello del femore [1], quindi roto-traslo:

0₂T = | 1 0 0 X₀₁ | | 0 1 0 Y₀₁ | | 0 0 1 Z₀₁ | | 0 0 0 1 | TRASLAZIONE | cosϕ 0 senϕ 0 | | 0 1 0 0 | | -senϕ 0 cosϕ 0 | | 0 0 0 1 | ROTAZIONE INTERNOY

La matrice che ottengo rappresenta la posizione e l'orientamento del sistema solidale al femore.

3 GRADI DI LIBERTÀ DI ROTAZIONE

• FLESSO-ESTENSIONE —> asse trasversale
• ROTAZIONE INTERNA/ESTERNA —> asse longitudinale del femore
• ABDUZIONE/ADDUZIONE —> asse antero-posteriore

QUADRILATERO ARTICOLATO

_{w1 w2 - w3 = 0 (3 equazioni —> per determinare w2) w1OA - w2}

PER IL PUNTO A: V_a = w₃ x OA A_a =_{... w1 x OA} + w₃ x (w₃ x OA)

_{TANGENZ. MOTIMOLA APPLICO IL TEOREMA DI RIVALS}

OSSERVAZIONE:Sto ruotando intorno ad un asse fisso, quindi va e aa hanno direzioni come l'asse z.

PER IL PUNTO B: V_B = V_a + w₂ x AB A_B = a_a + ü_a x AB + w₂ x (w₂ x AB)

Posso scrivere: V_a = w₂ x _a —> così mi trovo W₂

5

Per conoscere _AG devo conoscere W₃ poichè B è vincolato se l'accelerazione è che è di O₄.

Dico che v_B = W₃ · O₃B

e calcolo a₀.

Per chiudere il poligono riportato da B e faccio (W₃ · O₃B nel verso da B verso O₄ e traccio perpendicolarmente e ottendo W₃ · O₃B.

L'intersezione delle linee fornisce la punta del vettore AB

SISTEMA RETROBUTO CON 2 SEGMENTI

Due corpi collegati da un giunto rotoidale.

Il primo è collegato al sistema con un giunto rotoidale.

Scelgo i sistemi di riferimento con Denavit-Hartenberg:

• ASSE z secondo l'asse di rotazione dei singoli giunti
• ASSE x appoggio secondo l'asse dell'ammosso
• ASSE y che forma una terna destra con i primi due

Per ottenere la posizione del punto 3 rispetto al sistema fisso e sapendo x₁ = a₁ α₂ a sinistra e scrivo che:

INTORNO INTERNO

[ O_px 0 0 0 1 ] =

[ cosα₂ -senα₂ 0 0 0 0 0 1 ] [ cosα₂ -cosα₂ 0 0 0 1 ]

SISTEMA FISSO

Per ottenere la velocità di P₃ derivare la matrice precedamente :

v₁₃ = [ -a₂senα₁+a₂senx₁2 , -a₂senx₁2 0 a₂cosx₁+a₂cosx₁2 0 0 ]

J(x_i) = JACOBIANO

La velocità può essere espressa come prodotto di una matrice dipendenti dagli *angoli x_i* e da un vettore creato di questi angoli.

BARICENTRO CORPO ESTESO

Il baricentro è il punto d'applicazione alla risultante delle forzi elementari di massa di un corpo.

Lo possiamo determinare secondo il Teorema di Varygnon che dice :

Il momento alla forzi peso delle singole punticelle che compongono il corpo, rispetto un polo, è uguale al momento del peso del corpo rispetto lo stesso polo.

∫(ρ×g)×xg×dv = xg×∫ρ×g×dv

Si può quindi ruotare o traslare il corpo senza che la posizione del baricentro venga mutata.

Per trovare x_a, x_g secondo che :

∫ρ×dx×dy×dz = ρ_g×H

∫ρ×dx×dy×dz = y_g×H

∫ρ×dx×dy×dz = z_g×H

BARICENTRO CORPI IRREGOLARI

X_g = ∫ρ×dx×dy

Y_g = ∫ρ×dx×dy ×

Z_g = ∫ρ×dx×dy×dz

Se il corpo ha uno o più assi di simmetria il baricentro giacerà sugli assi superiori.

BARICENTRO DI FIGURE PIANE

- Se si considera una figura piana, nel quale una delle dimensioni è molto modesta rispetto le altre, la massa ha una distribuzione superficiale omogenea.

- La densità ρ diventa una densità d'area, in genere di valore unitario.

- NON REGOLARI (SEZIONE AD L)

Le aree dei rettangoli le rappresento con i vettori A₁ e A₂ e Y_g è :

Y_g = ∆_y1×A₁×∆_y2

A₁ + A₂

La coordinata Y_g del baricentro si ottiene con la condizione che la somma dei momenti, rispetto l'origine degli assi, dei vettori A₁, A₂, sia uguali al momento della risultante.

X_g = A₂×x₀ + A₂×x_g

A₁ + A₂

FORCATE

Quando una sezione non è omogenea, considero sempre le aree come vettori,e le aree vuote sono rappresentate con verso contrario a quello della areepiene.

A₂ O + A₂•Y_g = -Y_g(A₂ - A₂)

Y_g = - (A₂•Y_a) (A₂ - A₂)

BARICENTRO DI UN ARCO DI CIRCONFERENZA DI APERTURA 2Θ₀

L'arco è diviso in elementi infinitesimi di apertura de Θ°, rappresentato daforze centrali infinitesime di modulo R de Θ.La somma dei momenti di queste forze sarà uguale al momento dellarisultante il cui modulo è 2RΘ₀ con braccio Y_g.

2/Θ RReΘ cosΘ = 2RΘ₀Y_g

RdeΘ•ReΘ•S = 2RΘ_ygR•b

= 2R²senΘ = 2RΘY_g => Y_g = RsenΘ₀

BARICENTRO SETTORE CIRCOLARE

Sostituco ad ogni settore di apertura infinitesima de un punto materiali dimassa (area) 1/2 R²deΘ posto nel baricentro, a distanza 2/3 dal centro OPer deΘ -> 0 questi punti formiamo una circonferenza di raggio 3/2 R,per il quale Y_g si calcola somando i momenti delle singole aree /eguagliandolo al momento dell'intiera area.

2/3 ReΘS1 = 1/2 R²deΘ = 3/2 R²senΘ₀ = 1/2 R²Θ₀Y_gS₀

1/2 R²de = 1/2 rΘ₀^S => Y_g = 3/3 R²senΘ₀^θ

BARICENTRO SOLIDO REGOLARE

Per i solidi a simmetria cilindrica, le formule precedenti vanno trasformati in coordinate polari.

Baricentro di un Torneo d'asse.

Essendo Z asse di simmetria, si deduce che X_G = Y_G = 0

Seziono il Torneo con un piano e lo strato P0 une massa infinitesima pari a πr² dz, con raggio P₀ e spessore dz.

Se considero la massa di ogni sezione come una forza avente momento πr²z dz, allora:

∫₀^h π (R - (R-z)·z

Per il Teorema di Pappigoni dice che:

z_G = ∫₀^{h π} (R - (R-t)z

∫₀ (R - (R-z)z

= = _h⁴ = = R² + 2Rz + 3z²

∫₀

BARICENTRO CORPI REGOLARI

Spesso i segmenti del proprio corpo hanno forma irregolare a causa di flussi muscolari, intestini, vasi sanguigni.

Posso assimilare il segmento ad un solido omogeneo. Ruoto in scala il profilo, lo divido in sezioni di eguale spessore. Di ogni sezione si calcola il volume.

Conosco per ogni sezione la forza elementari applicata, che rappresenta l'area.

La somma di tutte le forze, ottengo la posizione del baricentro.

V_k = πhR_kz_k

x_a = ^{k m_k x_k}

D_k =

Traccio una serie di triangoli o altri poligoni regolari per cui determino le coordinate dei vertici e quindi del baricentro.

Una volta trovati le aree dei singoli triangolo e le coordinate del baricentro, posso calcolare il baricentro della singola fetta.

Determinazione sperimentale dei baricentri

Il paziente è disteso su una piattaforma strumentata con celle di carico che si comporta come trave appoggiata.

Per soluzione dei di calcoli il peso del lettino misura le reazioni vincolari in A e B.

Devo che:

R_B(a+b) = Wa

R_A(a+b) = Wb

R_A + R_B = W

Forze

Formulare la posizione del baricentro attraverso la lunghezza a, b e il peso del paziente.

MOMENTO D'INERZIA

Il momento d'inerzia di un corpo rispetto un dato asse, descrive la tendenza ad opporsi alla rotazione.

Il momento d'inerzia di massa è funzione di come è distribuita la massa al suo interno.

Indica la resistenza alla variazione dello stato di moto.

Il momento d'inerzia di superficie indica la resistenza di una sezione a flessione rispetto un asse di riferimento

MATRICE D'INERZIA

J = [_{Jxx -Jxy -Jxz -Jyx Jyy -Jyz -Jzx -Jzy Jzz}]

J = [_{Jxx 0 0 0 Jyy 0 0 0 Jzz}]

se l'asse di simmetria coincide con l'asse d'inerzia

SOLIDO CILINDRICO

dJzz = ρ ∫(₀^R ∫₀^2π r²drdθ)dz = ρ ∫₀^H R⁴ _π/2 dz = ρ _πR^{4 R}/2

Izz = ρ ∫(₀ ^R ∫₀ ^2π )dz = ρ _πR⁴ _R

dIxx = ρ ∫(_R ^Hπ )dz = ρ (₀ ∫^2π₀ rcosθ r dθde)dz

= ρ (₀)dz = p_R^4πR/4

= 1/2 _(1-cos2θ) dθ)dz =

=ρ _{πR⁴ H}

H=_πR²H_π

Iyy = ρ ∫(₀ ^R2)dz _{= ρ(})dz =

= ρ _{R⁴ π}⁴πH _R ¹/4

= 1/4 HR²

Teorema di Huygens:

Il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse non baricentrico si ottiene sommando al momento d'inerzia del corpo rispetto un asse baricentrico e parallelo al primo il prodotto della massa per il quadrato della distanza tra gli assi.

I_z = I_cm + M₀²

I_cm = \(\frac{\pi R⁴}{4}\) -> \(\pi R²\frac{R⁴