Appunti di Meccanica applicata alle macchine

M

smissione il cui rapporto di trasmissione in questo

esempio è unitario. Viene quindi azionata una carruco-

la a cui è agganciata una fune. Ai due capi della fune vi

sono la cabina dell’ascensore e un contrappeso.

Solitamente l’incognita del problema è la coppia resistente.

1 2

( ).

Proviamo a calcolare quindi e a disegnare il grafico di

SOLUZIONE:

Utilizziamo il bilanciamento di potenze. La potenza creata dalle due masse sulla carrucola deve

essere uguale a quella creata dalla coppia utilizzatrice e dalla velocità angolare della puleggia. Per

cui: + = −

∑ = − 1 2

Calcoliamo la coppia in funzione della velocità angolare e disegnamone il grafico.

( − )

1 2

=

Da questa relazione si potrebbe intuire che il legame è di tipo iperbolico. Bisogna però considerare

la velocità periferica dovuta allo spostamento della fune. La fune ruota senza strisciare sulla

puleggia, per cui abbiamo che: =

Sostituendo abbiamo: ( − )

1 2

= = ( − )

1 2

Otteniamo cioè una funzione costante e indipendente dalla velocità angolare:

10

L’andamento della coppia utilizzatrice potrebbe anche essere non costante e questo si vede ogni

qual volta si cambia sistema. Ad esempio prendiamo il secondo esempio:

Esempio 2: L’automobile .

Consideriamo l’auto in figura che viaggia con velocità

La coppia utilizzatrice è rappresentata dalla coppia delle

ruote dell’auto. Supponiamo che il differenziale trasferisca

la potenza con rapporto unitario. Calcoliamo la coppia

in questo caso.

SOLUZIONE:

Sempre con il bilanciamento di potenze teniamo conto dell’attrito volvente delle ruote. La distanza

.

della forza N dall’asse della ruota la denominiamo Per cui:

∑ = + = −( + )

=

Dove è la velocità angolare delle ruote, nonché quella del cambio. La potenza

dell’utilizzatore quindi è: = = −( + )

Da qui si vede subito che: = −( + )

Ovvero un secondo andamento costante.

Proviamo però ora a considerare anche le forze viscose.

La forza viscosa è dettata dalla relazione:

Forze viscose

1 2

=

2

Moltiplichiamo questa forza per la sua velocità e otteniamo:

1 3

= =

2

Sommando questa potenza a quelle di attrito volvente otteniamo: 1 3

∑ = + + = −( + ) +

2

Ovvero: 1 3

= = −( + ) +

2

11

Per cui: 12 3

−( + ) +

=

Ricordando sempre che: =

12 3 3

−( + ) + 1

2 3

= = −( + ) +

2

La coppia quindi ha una dipendenza parabolica dalla velocità angolare dell’utilizzatore. Il grafico:

1 2 3

−( + ) +

2

−( + )

1 2 3

2

12

SISTEMI MTU – TRANSITORIO

Nel momento in cui azioniamo una macchina o la spegniamo, la freniamo o la acceleriamo, le

grandezze cinematiche del sistema considerato non sono quelle che calcoliamo di norma ma variano

nel tempo con una certa legge o funzione del tempo. Questi fenomeni si chiamano transitori e

compongono quella parte della meccanica che si pone il problema di come funziona un sistema tra

il momento dell’accensione del macchinario e il funzionamento a regime.

I tipi di moto che distingueremo nel prosieguo del corso sono di 3 tipi:

• Moto transitorio o moto vario – moto con grandezze non costanti nel tempo. Una funzione

del tempo regola tale funzionamento. Le grandezze cinematiche variano e varia anche

l’energia cinetica del sistema. Si Utilizza quindi il teorema dell’energia cinetica:

≠0

• Moto a regime assoluto – moto costante in cui le grandezze sono costanti. Non vi è nessuna

variazione di energia cinetica. =0

• Moto a regime periodico – moto costante con grandezze non costanti. Il regime del moto è

comandato semplicemente dalla periodicità del moto e quindi dalla sua regolarità. Le

grandezze tuttavia possono cambiare.

Nella prima parte affronteremo i primi due moti.

Utilizziamo il teorema dell’energia cinetica per il calcolo dei parametri cinematici.

∑ =

Dove: +

∑ =

1 1

= +

2 2

2 2

L’energia cinetica è data principalmente dalle inerzie del sistema e dalle velocità angolari di

rotazione degli alberi. Derivando l’energia cinetica ed applicando il bilancio abbiamo:

13

+ = ̇ + ̇

Volendo, possiamo applicare anche il bilancio di potenze con le forze di inerzia:

= 0 → + + = 0

∑ ∗

Dove : = +

⏟

⏟

=0 =− ̇ − ̇

Esattamente il termine trovato in precedenza.

ANALISI DEL SISTEMA

Calcolate le relazioni che regolano le grandezze cinematiche, cerchiamo di fare delle considerazioni

sull’intero sistema MTU.

̇ M

Trasmissione

̇

̇

U

̇

In un moto diretto, il motore produce potenza sotto forma di coppia motrice e velocità angolare. In

un transitorio di avviamento avremo che l’accelerazione angolare è positiva e concorde con il verso

del moto. Ciò che si oppone al moto del motore al momento dell’accensione è il volano, la cui

potenza risulta negativa. Lo stesso si può dire per l’utilizzatore, la cui coppia e velocità angolare

danno potenza negativa (in un moto diretto).

Vediamo la casistica di valori che può assumere la potenza dell’intero sistema secondo il teorema

dell’energia cinetica:

+ + =

Moto diretto 0 0 0 0

Moto retrogrado 0 0 0

14

Analizziamo i termini della relazione scritta sopra:

=

= −| |

= −|(1 − ) |

1

è la potenza che direttamente dal motore va alla trasmissione.

Dove 1

̇ M

Trasmissione

̇

̇

U

̇

1

−

1

= + ̇

Per cui abbiamo che:

+ + =

= − (1 − )( − ̇ ) − ( ̇ + + ̇ ) = 0

⏟ ⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟ ⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟

| |

∣ ∣

Ricordando che: =

̇ = ̇

Sostituiamo:

− (1 − )( − ̇ ) − ̇ − − ̇ = 0

− ̇ − ̇ − = 0 → ̇ + ̇ = −

2 2

̇ ( + ) = −

2

E quindi abbiamo:

−

−

̇ = =

+ 2

2 +

Da questa relazione si capisce che, per accelerare un sistema meccanico è possibile aumentare la

coppia motrice, diminuire quella frenante, diminuire il carico inerziale sul volano motore.

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RISOLUZIONE DEL TRANSITORIO

Prendiamo come esempio un motore a corrente 0

continua, il cui grafico caratteristico è quello di

fianco. La relazione che esprime la coppia motri-

ce in funzione della velocità angolare è di tipo li-

neare.

( ) = (1 − )

0

Prendiamo ora il grafico caratteristico dello

utilizzatore; vediamo una coppia costante che

vale proprio la coppia di spunto.

Sovrapponendo i grafici della coppia (tendendo

conto del rendimento meccanico), abbiamo che

essi si incontrano in un punto , dove il siste-

ma raggiunge la velocità di regime.

0

Scriviamo quindi l’equazione in incognita :

• La curva reale del grafico caratteristico del motore a corrente continua è:

( ) = (1 − )

0

• Sottraiamo la quantità dovuta all’utilizzatore:

( ) = (1 − ) −

0

• Eguagliamo