Appunti di Matematica per il marketing

Dispensa

di

Matematicaper ilMarketing

Indice

1. Le serie ..................................................................... Pag. 1
2. Gli integrali ................................................................. Pag. 14
3. Algebra Lineare ......................................................... Pag. 33
4. Matematica Finanziaria ............................................... Pag. 53

Serie Armonica Generalizzata

∑_n=1 1/n^α dove α ∈ ℝ

• Converge se α > 1
• Diverge se α ≤ 1

Condizione di Convergenza

Teorema: Se una serie ∑_n=1 u_n converge allora lim_n→∞

deve essere necessariamente infinitesimo, cioè

• lim_n→∞ u_n = 0

Se lim_n→∞ u_n ≠ 0, allora la serie non può convergere.

Se lim_n→∞ u_n = 0, allora la serie potrebbe convergere.

Serie Armomica: il termine generale tende a 0 ma non converge.

Casi Particolare

∑_n=1 αⁿ/n^d

• lim_n→∞ αⁿ/n^d = ∞ per ogni α > 1 e d ∈ ℕ

La serie è divergente

x ed esponenziali crescono più velocemente di qualsiasi polinomio.

Gerarchie Degli Infiniti

1. Fattoriali
2. Funzioni Esponenziali
3. Polinomi
4. Funzioni Logaritmiche

• Lim _n→∞ n^d / logn = ∞
• Lim _n→∞ logn / n^d = 0 ∀d ∈ N
• Lim _n→∞ aⁿ / n^d = ∞
• Lim _n→∞ n^d / aⁿ = 0 ∀d ∈ N e ∀a > 1
• Lim _n→∞ n! / aⁿ = ∞
• Lim _n→∞ aⁿ / n! = 0 ∀a > 1

Gli Integrali

Anti-derivata o Primitiva: Data una funzione f si definisce anti-derivata o primitiva di f in un intervallo I, una funzione F tale che F'(x) = f(x) ∀x ∈ I è sconosciuta.

Integrali Indefiniti

Integrale Indefinito: Si definisce integrale indefinito di una funzione f in un intervallo I l'insieme di tutte le sue antiderivate o primitive ∫f(x)dx

Perché insieme?

Se F(x) è una primitiva di f(x) allora qualsiasi funzione della forma F(x) + C (C ∈ ℝ) è una primitiva poiché C' = 0

Integrali Definiti

Premessa

Data una funzione f: [a, b] → ℝ limitata (ovvero esistono 2 costanti M e m tali che M ≥ f(x) ≥ m ∀x ∈ [a, b]) si consideri la seguente costruzione:

Si suddivida l'intervallo [a, b] utilizzando i punti

a = x₀ < x₁ < ... < xₖ = b

Al sottointervallo [x_k-1, xₖ], (k varia da 1 a n), si associ l'estremo superiore Lₖ e l'estremo inferiore lₖ, assunti da f in [x_k-1, xₖ], ovvero se x ∈ [x_k-1, xₖ] allora lₖ ≤ f(x) ≤ Lₖ.

(Se la funzione è continua lₖ ed è il minimo di f(x) in [x_k-1, xₖ] e Lₖ è il massimo di f(x) in [x_k-1, xₖ].)

Si formino i prodotti lₖΔxₖ e LₖΔxₖ, dove, per definizione Δxₖ = xₖ - x_k-1.

Si considerino le somme

S = Σ lₖΔxₖ e S̅ = Σ LₖΔxₖ

S ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ S̅

Teorema di Lagrange o del valore medio

Se la funzione f: [a,b] è continua nell'intervallo [a,b]

Allora esiste almeno un punto c ∈ [a,b] per cui riscuo

∫_a^bf(x)dx = f(c) . (b-a)

Interpretazione geometrica

Il teorema esplicitamente afferma che

esiste un punto c tale che il rettangolo

di base b-a ed altezza f(c) abbia

stessa area f(c) . (b-a) della figura

delimitata dalla curva f(x), l'asse delle

x e le rette x=a e x=b, ovvero,

∫_a^bf(x)dx

Teorema: Data una funzione continua f [a,b) → ℝ (b non incluso) se la funzione f, per x → b^- è infinita di ordine k, per k _>1, allora l’integrale generalizzato in detto intervallo [a,b] esiste.

Data una funzione continua f (a,b) → ℝ (b non incluso) si dice che la funzione f, per x → b è infinita di ordine k, per k _>0 (cresce relativamente come la ¹⁄_(b-x)^k)

^lim _x→b

f(x)

_(b-x)^k

= ^lim _x→b

f(x)(b-x)^k = l

Dove l ≠ 0.

Proprietà applicate ai vettori

Dato che:

• X = (x₁, ..., x_n) ∈ Rⁿ
• Y = (y₁, ..., y_n) ∈ Rⁿ
• k, h ∈ R

X + Y = Y + X

X + 0 = 0 + X = X

X + (-X) = X - (X) = 0

(hk) X = h (k X)

1 ⋅ X = X

k (X + Y) = k X + k Y

(k + h) X = k X + h X

LE MATRICI

Una matrice n x m è una tabella rettangolare di numeri reali con n righe ed m colonne. (Accostamento di vettori). Il generico elemento che appartiene alla i-esima riga e alla j-esima colonna si indica con a_i,j.

Condizioni affinché tra 2 matrici si possano eseguire operazioni

• Due o matrici n x m A e B sono uguali solo se hanno lo stesso ordine e gli stessi elementi, cioè: ∀i, j a_i,j = b_i,j (sono la stessa tabella)
• Due o matrici n x m (con lo stesso ordine), la somma si fa elemento per elemento o termine per termine.
• Data una matrice n x m A e h∈R il loro prodotto è ogni elemento moltiplicato per h.

La matrice n x m che ha tutte le entrate nulle si denota con il simbolo 0 indipendentemente dall'ordine.

Data la matrice n x m A si denota con -A la matrice che ha ogni entrata uguale esattamente all'opposto di quella di A.

Se A = (a_i,j)_i=1..n^t e una matrice n x m e B = (b_i,j)_i=1..m^t è una matrice m x p il loro prodotto è la matrice C_{n x p} = C(_i,j)_i=1..n^j=1..p con c_i,j = Σ_k=1..m a_i,k b_k,j.

Il numero delle colonne di A deve essere uguale al numero di righe di B.

Il prodotto potrà essere 0 anche se le 2 matrici sono ≠0.

Proprietà Determinante

1. Se A è una matrice quadrata ⇒ Det A = Det A^t
2. Se ogni elemento di una riga/colonna è 0 allora Det = 0
3. Se in una matrice A una riga o una colonna è ↆ spostata verso l'alto o il basso / verso Dx o Sx di p posizioni il Det risulta moltiplicato per (-1)^p
4. Se in una matrice quadrata 2 righe/2 colonne si scambiano il Det cambia di segno ma rimane uguale in valore assoluto
5. Se in una matrice quadrata 2 righe/2 colonne sono = il Det è nullo (Conseguenza regola 4)
6. Se in una matrice quadrata gli elementi di una riga o di una colonna vengono moltiplicati per una costante k il Det risulta moltiplicato per k
7. Se in una matrice quadrata 2 righe (o 2 colonne) sono proporzionali (a riga = 2a/3a ⋅ k) il determinante è nullo (conseguenza della 5 e 6)
8. Date 2 matrici n×n A e B → Det (A⋅B) = Det A ⋅ Det B
9. Se ad una riga (o una colonna) di una matrice si somma un'altra riga (o colonna) moltiplicata per una costante il Det non cambia (conseguenza della 5)

! Det (A + B) ≠ Det A + Det B