Appunti di Matematica generale

Revisionato il 29/06/2026

di claudia.lt

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Appunti di Matematica generale basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Marcarelli dell’università degli Studi del Sannio - Unisannio, facoltà …

Esame Matematica generale

Facoltà Economia

Dal corso del Prof. Marcarelli Gabriella

Università Università degli Studi del Sannio

A.A. 2021-2022

62 pagine

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Estratto del documento

NUMERI E FUNZIONI REALI

PRESUPPOSTI:

Postulati, assiomi

DIMOSTRAZIONI ->

TEOREMI (enunciati), quanti condizioni, proposizioni

Postulato: esistenza dell’insieme dei numeri reali

L’insieme dei numeri “reali” (R) in cui èpossibile eseguire +, -, x, : è so

ad insieme chiuso

Fra due numeri reali a e b, valgono i seguenti assiomi:

Assiomi relativi alle operazioni fra numeri reali(distributive, additive, multiplicative):

Proprietà associativa(a+b)+c = a+(b+c)(a•b)c = a(b•c)
Proprietà commutativaa+b = b+aa•b = b•a
Proprietà distributivaa(b+c) = a•b + a•c
Esistenza degli ELEMENTI NEUTRIIn R esistono due numeri 0 e 1 taliche a+0 = aa•1 = a
Esistenza degli OPPOSTIPer ogni numero reale a esiste un numero reale-a tale che a+(-a)=0
Esistenza degli INVERSEPer ogni numero reale a,^≠0 esiste un numeroa^-1 tale che a•a^-1=1

NUMERI E FUNZIONI REALI

PRESUPPOSTI
TEOREMI (teorici)

Postulati, assiomi, -> DIMOSTRAZIONI ->

quindi condizioni, proprietà

Postulato: esistenza del sistema dei numeri reali.

L'insieme dei numeri "reali" (R) in cui è possibile eseguire +, -, x, / e ottenere sempre un risultato.

Due numeri reali a e b, valgono le seguenti condizioni:

Assiomi relativi alle proprietà (rispetto ad addizione e moltiplicazione)
Proprietà associativa

(a+b)+c = a+(b+c)

(a.b)c = a(b.c)
Proprietà commutativa

a+b = b+a

a.b = b.a
Proprietà distributiva

a(b+c) = a.b + a.c

Esistenza degli elementi neutri

In R esistono due numeri 0 e 1 tali che a+0 = a a.1 = a

Esistenza degli opposti

Per ogni numero reale a esiste un numero reale -a tale che a + (-a) = 0

Esistenza degli inversi

Per ogni numero reale a ( 0) esiste un numero a⁻¹ tale che a.a⁻¹ = 1

Assiomi relativi agli ordinamenti

(definizione mediante ≤, <)

dicotomia per ogni coppia di numeri reali a, b: s.h. a ≤ b ∨ b ≤ a
proprietà asimmetrica se valgono contemporaneamente a ≤ b e b ≤ a, allora a=b
a ≤ b allora vale a+≤ b+c
se a ≤ b e 0 ≤ b allora valgono anche 0 ≤ a < a ≤ b

Assiomi di completezza

Siano A e B due insiemi non vuoti di numeri realitali che per ogni a∈A e b∈B, comunque si scelgano ae b, comunque si scelgano aelemento di A e b elemento di B, allora s.h. esiste almenoalmeno ᴦ₀∈ℝ tale che s ≤ c≤ b, qualunque siaa⁄∈ A e b⁄∈ B.

CONSEGUENZE DEGLI ASSIOMI

Regola del sempi` di ordine rispetto alla balconata: a+b≤a+c ᐽ b ≤ c dim: b=0+b = [ a+(a) ]+b = [ = a+(a+b) ] = a+(a+b)
b ≤ c allora b=(a)+(a+b) =(t)+t(a+c) = [ -a]+0+ c = 0+c c+0 ≤ c
Semiregolarizzazione rispetto al prodotto: a ≤ b e c ≥ a+0, allora b ≤ c
dim: b=b.1=1.b≬(a-a)-b=(t-a)b=1 (a.b) = =a. .(a.c) = (a.t a) c = (a a-1).c = : a. c =.: b.t =: =. [ [ c

Il prodotto di a.b è nullo se e solamente se uno dei due fattori è nullo.

Infatti dalla proprietà associativa:

a⋅a^-1 = a⋅1 : a⋅0 = a(1⋅0) = a⋅1 = a = a⋅0

da cui otteniamo a⋅0 = 0

b⋅a⋅1 = [b.(a

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