Appunti di Matematica generale

Numeri e Funzioni Reali

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Postulato: esistenza dell'sistema dei numeri reali

L'insieme dei numeri "reali" (ℝ) in cui è definita un'operazione tra +, -, ×, ÷ soddisfa alcune proprietà.

Per due numeri reali a, b, vegono: i seguenti assiomi

• Assiomi relativi alle operazioni (definite +, ×)
• proprietà associativa
• (a+b)+c=a+(b+c)
• (a·b)·c=a·(b·c)
• proprietà commutativa
• a+b=b+a
• proprietà distributiva
• a(b+c)=ab+ac
• esistenza degli elementi neutri
• in ℝ esistono due numeri 0 e 1 tali che o+a=a a·1=a
• esistenza degli opposti
• per ogni numero reale a esiste un numero reale -a tale che a+(-a)=0
• esistenza degli inversi
• per ogni numero reale ∀a≠0 esiste un numero a^-1 tale che a·a^-1=1

Assiomi relativi all'ordinamento

Definizione dell'ordine <

• Dicotomia Per ogni coppia di numeri reali a, b si ha: a < b o b < a
• Proprietà antisimmetrica Se valgono contemporaneamente a < b e b < a allora a = b
• a < b allora vale a + c < b + c
• Se a < b e 0 < c allora valgono anche 0 < a c 0 < b c

Assioma di proprietà

Siano A e B due insiemi non vuoti di numeri realicon la proprietà che a < b, comunque si scelgano aelemento di A e b elemento di B. Allora esiste almenoun numero reale c tale che a < c < b, qualunque sianoa in A e b in B.

Conseguenze degli assiomi

• Regola di semplificazione rispetto alla somma: a + b = a + c → b = c
  • Dim: b = 0 + b = [a + (-a)] + b = [a] + (-a) + b = a + (a + b)
  • a + b = a + c
  • b = [a] + (a + b) = ([-a] + a + c) = [-a] + a + c
  • = [ -a ] + a + c = 0 + c = 0 + c
• Semplificazione rispetto al prodotto: a b = a c, e a ≠ 0, allora b = c
  • Dim: b = b . 1 = b . (a . a⁻¹)b = (a . a⁻¹)b = a⁻¹(a b)
  • = a⁻¹(a c) = (a⁻¹ a)c = (a . a)c = c . c . b = c

Transitiva: se (a,b)∈R e (b,c)∈R allora (a,c)∈R

Se (a,b)∈R si scrive a ≅ b sono EQUIVALENTI

[a]= classe di equivalenza di a ∈A, ovvero l'insieme degli elementi di A, equivalenti ad a

L'insieme di classi di equivalenza tra due elementi di A rispetto alla relazione R, si chiamano insiemi quoziente: A/R = {[a] di a ∈A}

Relazione binaria R su A è una RELAZIONE D'ORDINE gode della seguente proprietà:

1. Riflessiva
2. Transitiva
3. Antisimettrica: se (a,b)∈R e (b,a)∈R allora a=b

Es : relazione di minore o uguale

• NUMERI NATURALI

dagli assiomi → esistenza elementi neutri 0 ≤ x ∈ R appartenendo ad RI deriva i numeri definiti dalle operazioni eseguite con naturali

N= {1,2,3,...} ⊂ R

Numeri numerabili e 0 e opposti

Z= {}U{}U{m:m∈N}

risolvendo divisore mm oou mm∈Z, m≠0 sotto i NUMERI RAZIONALI M

insieme Q = Q = {m/m:m,m∈Z m≠0}

N⊆Z⊆Q⊆R

PROPRIETÀ VALORE ASSOLUTO

• |x| ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ
• |x| = 0 ⇔ x = 0
• |-x| = |x| ∀ x ∈ ℝ
• |x₁⋅x₂| = |x₁|⋅|x₂| ∀ x₁, x₂ ∈ ℝ
• |x₁/x₂| = |x₁|/|x₂| ∀ x₁, x₂ ∈ ℝ, x₂ ≠ 0
• |-x| = |x|

Se x > 0 allora |x| = x, quindi x > 0

x |x| > 0 ⇔ x = x, e quindi essendo x > 0 > |x| > 0

in definitiva |x| > 0 ∀ x ∈ ℝ

• x > 0 allora |x| = x o 1 - x = -(-x) = x
• x < 0 perciò |x| = (-x) x > 0

x < 0 risulta |x| = -x e -(-x) = x > 0

|x| = x

Se x < 0 si ha 0 ≤ 0 ⟹ -0 > 0

∀ x ∈ ℝ

PER OGNI INTERO REALE r > 0 valgono le equivalenze:

• |x| ≤ r ⇔ -r ≤ x ≤ r
• |x| < r ⇔ -r < x < r

0 < x < 0 {

|x| ≤ r ∪ { } x ≤ r

⟶ -r ≤ x ≤ r

|x| ≤ r

⇓

ok < < <

-k < k ≤ 0

Disuguaglianza triangolare

Per ogni coppia di numeri reali x₁, x₂ vale la disuguaglianza:

|x₁ + x₂| ≤ |x₁| + |x₂|

Se x e x₂ sono concordi {

|x₁ + x₂| = |x₁| + |x₂|

Se x e x₂ sono discordi {

|x₁ + x₂| ≤ { |x₁| + |x₂|

dim. |x₂| < |x₁| allora: |(-x₁)⋅| ≤ |x₁|

-|x₁| ≤ |x₁| ≤ |x₂| + |x₁|

Principio di induzione

Proposizione P_m

0 < x₁ < x₂ ⇒ x₁^m < x₂^m, ∀ m ∈ ℕ

P_m per m = 1 ⇒ P_m vero

P_m = ?

x₁^m+1 = x_1^m • x₁ < x_2^m • x₂ < x_2^m+1

P_m vero anche per n successivo

Sempre vera

Principio di induzione

Supponiamo che una proposizione dipendente da un indice m ∈ ℕ sia vera per m = 1 e, ad indici successivi per m , sia vera per il successivo m + 1

La proposizione è vera per ogni m ∈ ℕ

Quantificando con un'induzione la formula che esprime la somma dei primi m numeri naturali 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + m = m (m - 1) / 2 ⇒ vera per m = 1

Per m + 1 ?

1 + 2 + ... + m + (m + 1) = m (m + 1) / 2 (+m + 1)

true se = (m + 1) (m + 2) =

→ VERA

Vera per ogni m ∈ ℕ

Da disuguaglianza di Bernoulli

Per ogni numero reale x > -1 e ogni naturale m risulta

(1 + x)^m ≥ 1 + mx

Vero per m = 1 con segno =

(1 + x) (1 + x) ≥ 1 + (m + 1) (x)

→ Per u = m

ipotesi: a < 0 < b D ovvio

ipotesi: a < 0 e b > 0 D' ancora b₁ = α

β: x ∈ &mathbb;Q → D'_x ∈ &mathbb;R⁺

determinante crescente per a > 1

strettamente decrescente per 0 < a < 1

Per definire la funzione esponenziale su &mathbb;R

LEMMA DI DENSITA: considerando l'immagine e la funzione Y_α(Q) dell'algebra m/n

dim: verifichiamo che per ogni coppia x, y di numeri razionali positivi con α < β. Esiste γ ∈ &mathbb;Q tale che p < x < β

m