Appunti di matematica finanziaria I (Di Lorenzo E., Di Lorenzo G., Politano)

Concetti di capitale e interessi

C = 100, M = 120, I = 20
Cap. iniz. = cap. investito al tempo 0 = 100
Cap. fin. = cap. realizzato al tempo t = 120
M = C + I = 100 + 20 = 120
M - C = I
C + I = 100 + 20 = 120
I = M - C^M
C + I = _CC → f = fattore di capitalizzazione_MC = I è il montante del cap. C_MC = f è il fattore di capitalizzazione, il montante di una unità di cap. C
I = M - C è l'int. prodotto dal cap. C_IC = i è l'int. prodotto da un'unità (tasso d'int.) di cap. C
120 / 100 = f_t → 1,220 / 100 = 0,2
quindi f = 1 + i t₁ = 1 + 0,2

Capitalizzazione e attualizzazione

Capitalizza: calcoliamo il valore in un tempo futuro di un cap. disponibile al tempo presente
Attualizza: valutiamo una somma futura al tempo presente
Calcoliamo il valore attuale di un cap. che tra come maturato scadrà a una data futura
S cap. utile scadenza al tempo t → A valore attuale del cap. alla scadenza; S - A = D è lo sconto che riduce il cap. S per anticiparlo da t a 0; in altre parole, è la quantità a cui rinunciamo togliendola la restituzione del capitale rispetto alla scadenza (cioè al tempo 0. Con gli interessi che è il montante!)
A_SD = _AS → φ = fattore di attualizzazione.
A = S - D
S = A + D → A = S (1 - d)
D = S - A → D = iA quindi φ = 1 - d

Dettaglio di capitali e interessi

C = 100, M = 120, I = 20
Cap. iniz. = cap. investito al tempo 0 = 100
Cap. fin. = cap. realizzato al tempo 1 = 120
C    cap. C    cap. inz. o inizialetto
M    cap. M    montante del cap. C
M = C + I = 100 + 20 = 120
C + I = M
M/C = C + I/C_M/_C    l = fattore di capitalizzazione
M = C + I    è il montante del cap. C_M/_C = l    è il fattore di capitalizzazione         è il montante di una unità di cap. C
120/100 = 1,2
I = M - C    è l'int. prodotto dal cap. C_I/_C = i    è l'int. prodotto da un'unità (una unità)       di cap. C
20/100 = 0,2
quindi   _M/_C = _C+I/_C = 1 + _I/_C = 1 + i_I/_C  i

Capitalizzazione e attualizzazione dettagli

Capitalizzazione: calcoliamo il valore in un tempo futuro di un cap. disponibile al tempo presente
Attualizzazione: valutiamo una somma futura al tempo presente
Se     t---------------->0         t
S cap. utile scadente al tempo t    A valore attuale del cap. utile maturando al tempo t (cogli)
S - A = D    D è lo sconto che matura al cap. S, per anticiparlo da t a 0; in altre parole è la quantità a cui rinuncio            rinuncio alla restante del reddito utile che riscuoto a (ricevuto e maturato 1)
A = S - D    A/S=D    φ= fattore di attualizzazione
A = S &otp; φ     è il valore attuale del cap. S
D = S &otp; i     è lo sconto maturo in una unità di tempo     posto &TO& il tempo si ottiene i = unico di S           i > 0
quindi φ = 1 - d

Relazioni tra capitalizzazione e attualizzazione

C₀          M_e
M = C + I
M_e   l   → fattore di capitalizzazione     C₀    (montante al tempo e di un'unità di cap. investito al tempo 0)
I     → tasso di int. C (int. maturo da un'unità di cap.)
l = M_e = C + I = 1 + I = 1 + i    Cl = M_e = 1 + i
A₀        S_e
A₀ = S - D
A₀ Φ S_e   → fattore di attualizzazione (valore attuale al tempo 0 di un'unità di cap. scontato al tempo e)
D = d   → tasso di sconto S (sconto maturato su un'unità di cap. S)
A₀ = Φ = S - D = 1 - D = 1 - d
SA₀   S_e = 1 - d Φ = A₀ = 1 - d

Capitalizzazione e attualizzazione sono grandezze reciproche, cioè l'una opposta all'altra, contrarie
l = 1 = 1 Φ = 1 = 1 Φ 1 - d l 1 + i
Ho l Φ 1    i    voglio l   -    Φ l    1 -    i + i

Leggi di capitalizzazione e attualizzazione

Legge di capitalizzazione: Φ(t) = 1 + i(t) = l + i(t)
Legge di attualizzazione: Φ(t) = Φ(t) = 1   l(t)  1 + i(t)